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4.5 导学3　函数模型的应用
知识点一　应用已知函数模型解决实际问题
　 知识梳理
常见的几种函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
反比例函数模型 f(x)＝ 　(k，b为常数且k≠0)
二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数型函数模型 f(x)＝　 　(a，b，c为常数，b≠0，a＞0，且a≠1)
对数型函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a＞0，且a≠1)
幂函数模型 f(x)＝　 　(a，b为常数，a≠0)
　　　　　　　　　　　　　　　　
例1　人们通常以分贝(符号是dB)为单位来表示声强级，其中0 dB是人们能听到的最低声强对应的声强级.一般地，如果声强为x的声音对应的等级为f(x)dB，则有f(x)＝alg(a为常数).已知人正常说话时的声强级约为60 dB，嘈杂的马路声的声强级约为90 dB，而90 dB对应的声强是60 dB对应的声强的1 000倍.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若某种喷气式飞机起飞时，声强级约为150 dB，计算该种喷气式飞机起飞时的声强是人正常说话时声强的多少倍.
[反思感悟]　利用已知函数模型解决实际问题的步骤
(1)确定已知函数模型解析式中的未知参数；
(2)利用已知函数模型相关的运算性质、函数性质解决实际问题；
(3)涉及较为复杂的指数运算时，常常利用等式的两边取对数的方法，将指数运算转化为对数运算.
知识点二　建立函数模型解决实际问题
例2　某地规划对一片面积为a的沙漠进行治理，每年治理面积占上一年年底沙漠面积的百分比均为x(0＜x＜1).当治理面积达到这片沙漠面积的一半时，正好用了10年时间.
(1)求x的值；
(2)若今年初这片沙漠面积为原沙漠面积的，按照规划至少还需多少年，使剩余沙漠面积至多为原沙漠面积的
[反思感悟]　与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题意，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.
知识点三　建立拟合函数解决实际问题
例3　某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商场一种品牌服装销售情况的调查发现：该服装在过去的一个月内(以30天计)每件的销售价格P(x)(单位：百元)与时间x(单位：天)的函数关系近似满足P(x)＝1＋(k为正常数)，日销售量Q(x)(单位：件)与时间x(单位：天)的部分数据如下表所示：
x 10 20 25 30
Q(x) 110 120 125 120
已知第10天的日销售收入为121百元.
(1)求k的值；
(2)给出以下四种函数模型：
①Q(x)＝ax＋b，②Q(x)＝a|x－25|＋b，
③Q(x)＝a·bx，④Q(x)＝a·logbx.
请根据表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述日销售量Q(x)与时间x的变化关系，并求出该函数的解析式；
(3)求该服装的日销售收入f(x)(单位：百元)的最小值.
[反思感悟]　建立拟合函数与预测的基本步骤
　 随堂巩固
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所示，那么图象所对应的函数模型是(　 　)
A. 分段函数 B. 二次函数
C. 指数函数 D. 对数函数
2. 若镭经过100年后剩余原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后的剩余量为y，则x，y的函数关系是(　 　)
A. y＝0.957 B. y＝0.957 6100x
C. y＝ D. y＝1－0.042
3. 有一组实验数据如表所示：
t 1.99 3.00 4.00 5.10 6.12
V 1.50 4.04 7.50 12.00 18.01
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个函数是(　 　)
A. V＝log2t
B. V＝lot
C. V＝
D. V＝2t－2
4. 已知一个模具厂一年中12月份的产量是1月份产量的m倍，那么该模具厂这一年中产量的月平均增长率是 　. (共25张PPT)
五、函数的应用(二)
导学3　函数模型的应用
　高中数学 必修 第一册
指数函数与对数函数
第四章
知 识 点 一
常见的几种函数模型
知 识 梳 理
知识点一　应用已知函数模型解决实际问题
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
反比例函数模型 f(x)＝_________(k，b为常数且k≠0)
二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
＋b
函数模型 函数解析式
指数型函数模型 f(x)＝__________(a，b，c为常数，b≠0，a＞0，且a≠1)
对数型函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a＞
0，且a≠1)
幂函数模型 f(x)＝__________(a，b为常数，a≠0)
bax＋c
axα＋b
例1　人们通常以分贝(符号是dB)为单位来表示声强级，其中
0 dB是人们能听到的最低声强对应的声强级.一般地，如果声强为x的声音对应的等级为f(x)dB，则有f(x)＝alg(a为常数).已知人正常说话时的声强级约为60 dB，嘈杂的马路声的声强级约为90 dB，而90 dB对应的声强是60 dB对应的声强的1 000倍.
(1)求函数f(x)的解析式；
解：设90 dB对应的声强是x1，60 dB对应的声强是x2，则＝
1 000，∴∴30＝alg ，∴30＝3a，∴a＝10，∴f(x)＝10lg ，x∈(0，＋∞).
(2)若某种喷气式飞机起飞时，声强级约为150 dB，计算该种喷气式飞机起飞时的声强是人正常说话时声强的多少倍.
解：设喷气式飞机起飞时的声强为x3，
∴
∴9＝lg ，∴＝109，故喷气式飞机起飞时的声强是人正常说话时声强的109倍.
[反思感悟]　利用已知函数模型解决实际问题的步骤
(1)确定已知函数模型解析式中的未知参数；
(2)利用已知函数模型相关的运算性质、函数性质解决实际问题；
(3)涉及较为复杂的指数运算时，常常利用等式的两边取对数的方法，将指数运算转化为对数运算.
知 识 点 二
知识点二　建立函数模型解决实际问题
例2　某地规划对一片面积为a的沙漠进行治理，每年治理面积占上一年年底沙漠面积的百分比均为x(0＜x＜1).当治理面积达到这片沙漠面积的一半时，正好用了10年时间.
(1)求x的值；
(2)若今年初这片沙漠面积为原沙漠面积的，按照规划至少还需多少年，使剩余沙漠面积至多为原沙漠面积的
解：(1)由于每年治理面积占上一年底沙漠面积的百分比均为x(0＜x＜1)，则a(1－x)10＝a，即(1－x)10＝，解得x＝1－.
(2)设从今年开始，还需治理n年，则n年后剩余面积为a(1－x)n，令a(1－x)n≤a，即(1－x)n≤，
≤≥，解得n≥15，故至少还需治理15年.
[反思感悟]　与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题意，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.
知 识 点 三
知识点三　建立拟合函数解决实际问题
例3　某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商场一种品牌服装销售情况的调查发现：该服装在过去的一个月内(以30天计)每件的销售价格P(x)(单位：百元)与时间x(单位：天)的函数关系近似满足P(x)＝1＋(k为正常数)，日销售量Q(x)(单位：件)与时间x(单位：天)的部分数据如下表所示：
x 10 20 25 30
Q(x) 110 120 125 120
已知第10天的日销售收入为121百元.
(1)求k的值；
解：依题设P(10)·Q(10)＝121，则×110＝121，解得
k＝1.
(2)给出以下四种函数模型：
①Q(x)＝ax＋b，②Q(x)＝a|x－25|＋b，
③Q(x)＝a·bx，④Q(x)＝a·logbx.
请根据表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述日销售量Q(x)与时间x的变化关系，并求出该函数的解析式；
解：由表中的数据知，当时间变化时，日销售量有增有减并不单调，故只能选②Q(x)＝a|x－25|＋b.
取表中两组数据(10，110)，(30，120)代入得解得
∴Q(x)＝125－|x－25|，其中1≤x≤30，且x∈N*.
(3)求该服装的日销售收入f(x)(单位：百元)的最小值.
解：由(2)知Q(x)＝
∴f(x)＝P(x)·Q(x)＝
当1≤x＜25时，y＝x＋在[1，10]上单调递减，在[10，25)上是单调递增，∴当x＝10时，f(x)取得最小值f(x)min＝121.
当25≤x≤30时，y＝－x单调递减，∴当x＝30时，f(x)取得最小值f(x)min＝124.
综上所述，当x＝10时，f(x)取得最小值，f(x)min＝121，∴该服装的日销售收入的最小值是121百元.
[反思感悟]　建立拟合函数与预测的基本步骤
随 堂 巩 固
1. 一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所示，那么图象所对应的函数模型是(　　)
A. 分段函数 B. 二次函数
C. 指数函数 D. 对数函数
A
2. 若镭经过100年后剩余原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后的剩余量为y，则x，y的函数关系是(　　)
A. y＝0.957 B. y＝0.957 6100x
C. y＝ D. y＝1－0.042
A
3. 有一组实验数据如表所示：
t 1.99 3.00 4.00 5.10 6.12
V 1.50 4.04 7.50 12.00 18.01
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，
其中最接近的一个函数是(　　)
A. V＝log2t B. V＝lot
C. V＝ D. V＝2t－2
C
4. 已知一个模具厂一年中12月份的产量是1月份产量的m倍，那么该模具厂这一年中产量的月平均增长率是___________.
－14.5 导学3　函数模型的应用
知识点一　应用已知函数模型解决实际问题
　 知识梳理
常见的几种函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
反比例函数模型 f(x)＝ ＋b　(k，b为常数且k≠0)
二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数型函数模型 f(x)＝　bax＋c　(a，b，c为常数，b≠0，a＞0，且a≠1)
对数型函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a＞0，且a≠1)
幂函数模型 f(x)＝　axα＋b　(a，b为常数，a≠0)
　　　　　　　　　　　　　　　　
例1　人们通常以分贝(符号是dB)为单位来表示声强级，其中0 dB是人们能听到的最低声强对应的声强级.一般地，如果声强为x的声音对应的等级为f(x)dB，则有f(x)＝alg(a为常数).已知人正常说话时的声强级约为60 dB，嘈杂的马路声的声强级约为90 dB，而90 dB对应的声强是60 dB对应的声强的1 000倍.
(1)求函数f(x)的解析式；
解：设90 dB对应的声强是x1，60 dB对应的声强是x2，则＝1 000，
∴∴30＝alg ，∴30＝3a，∴a＝10，∴f(x)＝10lg ，x∈(0，＋∞).
(2)若某种喷气式飞机起飞时，声强级约为150 dB，计算该种喷气式飞机起飞时的声强是人正常说话时声强的多少倍.
解：设喷气式飞机起飞时的声强为x3，
∴
∴9＝lg ，∴＝109，故喷气式飞机起飞时的声强是人正常说话时声强的109倍.
[反思感悟]　利用已知函数模型解决实际问题的步骤
(1)确定已知函数模型解析式中的未知参数；
(2)利用已知函数模型相关的运算性质、函数性质解决实际问题；
(3)涉及较为复杂的指数运算时，常常利用等式的两边取对数的方法，将指数运算转化为对数运算.
知识点二　建立函数模型解决实际问题
例2　某地规划对一片面积为a的沙漠进行治理，每年治理面积占上一年年底沙漠面积的百分比均为x(0＜x＜1).当治理面积达到这片沙漠面积的一半时，正好用了10年时间.
(1)求x的值；
(2)若今年初这片沙漠面积为原沙漠面积的，按照规划至少还需多少年，使剩余沙漠面积至多为原沙漠面积的
解：(1)由于每年治理面积占上一年底沙漠面积的百分比均为x(0＜x＜1)，则a(1－x)10＝a，即(1－x)10＝，解得x＝1－.
(2)设从今年开始，还需治理n年，则n年后剩余面积为a(1－x)n，令a(1－x)n≤a，即(1－x)n≤，
≤≥，解得n≥15，故至少还需治理15年.
[反思感悟]　与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题意，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.
知识点三　建立拟合函数解决实际问题
例3　某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商场一种品牌服装销售情况的调查发现：该服装在过去的一个月内(以30天计)每件的销售价格P(x)(单位：百元)与时间x(单位：天)的函数关系近似满足P(x)＝1＋(k为正常数)，日销售量Q(x)(单位：件)与时间x(单位：天)的部分数据如下表所示：
x 10 20 25 30
Q(x) 110 120 125 120
已知第10天的日销售收入为121百元.
(1)求k的值；
解：依题设P(10)·Q(10)＝121，则×110＝121，解得k＝1.
(2)给出以下四种函数模型：
①Q(x)＝ax＋b，②Q(x)＝a|x－25|＋b，
③Q(x)＝a·bx，④Q(x)＝a·logbx.
请根据表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述日销售量Q(x)与时间x的变化关系，并求出该函数的解析式；
解：由表中的数据知，当时间变化时，日销售量有增有减并不单调，故只能选②Q(x)＝a|x－25|＋b.
取表中两组数据(10，110)，(30，120)代入得解得
∴Q(x)＝125－|x－25|，其中1≤x≤30，且x∈N*.
(3)求该服装的日销售收入f(x)(单位：百元)的最小值.
解：由(2)知Q(x)＝
∴f(x)＝P(x)·Q(x)＝
当1≤x＜25时，y＝x＋在[1，10]上单调递减，在[10，25)上是单调递增，∴当x＝10时，f(x)取得最小值f(x)min＝121.
当25≤x≤30时，y＝－x单调递减，∴当x＝30时，f(x)取得最小值f(x)min＝124.
综上所述，当x＝10时，f(x)取得最小值，f(x)min＝121，∴该服装的日销售收入的最小值是121百元.
[反思感悟]　建立拟合函数与预测的基本步骤
　 随堂巩固
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所示，那么图象所对应的函数模型是(　A　)
A. 分段函数 B. 二次函数
C. 指数函数 D. 对数函数
2. 若镭经过100年后剩余原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后的剩余量为y，则x，y的函数关系是(　A　)
A. y＝0.957 B. y＝0.957 6100x
C. y＝ D. y＝1－0.042
3. 有一组实验数据如表所示：
t 1.99 3.00 4.00 5.10 6.12
V 1.50 4.04 7.50 12.00 18.01
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个函数是(　C　)
A. V＝log2t
B. V＝lot
C. V＝
D. V＝2t－2
4. 已知一个模具厂一年中12月份的产量是1月份产量的m倍，那么该模具厂这一年中产量的月平均增长率是 －1　.

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