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5.1 导学1　任意角
知识点一　任意角的概念
　　　　　　　　　　　　　　　　
　 知识梳理
1. 角的概念及其表示
角可以看成一条　射线　绕着它的端点　旋转　所成的　图形　.如图所示，
(1)始边：射线的　起始　位置OA；终边：射线的　终止　位置OB；顶点：射线的端点O.
(2)记法：图中的角可记为“角α”或“∠α”或“∠AOB”.
2. 角的分类
3. 角的相等
如果角α和角β的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称　α＝β　.
4. 角的加法
设α，β是任意两个角，我们规定，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是　α＋β　.
5. 相反角
把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为　相反角　，角α的相反角记为　－α　，α－β＝α＋　(－β)　.
例1　(1)射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB位置，由OB位置顺时针旋转270°到达OC位置，则∠AOC＝(　B　)
A. 150° B. －150°
C. 390° D. －390°
【解析】各角和的旋转量等于各角旋转量的和，
∴∠AOC＝120°＋(－270°)＝－150°.
(2)经过2个小时，钟表的时针和分针转过的角度分别是(　B　)
A. 60°，720°
B. －60°，－720°
C. －30°，－360°
D. －60°，720°
【解析】钟表的时针和分针都是顺时针旋转，∴转过的角度都是负的，而×360°＝60°，2×360°＝720°，故钟表的时针和分针转过的角度分别是－60°，－720°.
[反思感悟]　正确理解锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小.逆时针旋转形成一个正角，顺时针旋转形成一个负角.正角与负角是表示具有相反意义的旋转量，它的正负规定纯属习惯，就好像正数和负数的规定一样.
知识点二　象限角
　　　　　　　　　　　　　　　　
　 知识梳理
象限角：在平面直角坐标系中，若角的顶点与　原点　重合，角的始边与　x　轴的非负半轴重合，那么，角的　终边　在第几象限，就说这个角是第几　象限角　；如果角的终边在　坐标轴上　，那么就认为这个角不属于任何一个象限.
例2　(1)在①160°；②480°；③－960°；④1 530°这四个角中，属于第二象限角的是(　C　)
A. ① B. ①②
C. ①②③ D. ①②③④
【解析】①160°很显然是第二象限角；②480°＝120°＋360°是第二象限角；
③－960°＝－3×360°＋120°是第二象限角；④1 530°＝4×360°＋90°不是第二象限角.
(2)(多选)下列说法中，正确的有(　AD　)
A. 锐角都是第一象限角
B. 第一象限角一定不是负角
C. 小于180°的角是钝角、直角或锐角
D. 在90°≤β＜180°范围内的角β不一定是钝角
【解析】锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，是第一象限角，∴A正确；－350°角是第一象限角，但它是负角，∴B错误；0°角是小于180°的角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，∴C错误；由于在90°≤β＜180°范围内的角β包含90°角，∴角β不一定是钝角，∴D正确.
[反思感悟]　象限角的判定方法
(1)根据画图判定.利用画图实际操作时，依据是终边相同的角的思想，因为0°~360°之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系.
(2)将角转化到0°~360°范围内.在平面直角坐标系中，在0°~360°之间没有两个角终边是相同的.
知识点三　终边相同的角
　　　　　　　　　　　　　　　　
　 知识梳理
终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝　{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}　，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与　整数个周角　的和.
点拨：对集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}的理解：
(1)角α为任意角，“k∈Z”不能省略.(2)k·360°与α中间要用“＋”连接，k·360°－α可理解成k·360°＋(－α).(3)相等的角的终边一定相同，而终边相同的角不一定相等；终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍.
例3　已知α＝－1 845°，在与α终边相同的角中，求满足下列条件的角：
(1)最小的正角；
(2)最大的负角；
(3)－360°~720°范围内的角.
解：∵－1 845°＝－45°＋(－5)×360°，
即－1 845°角与－45°角的终边相同，∴与角α终边相同的角的集合是{β|β＝
－45°＋k·360°，k∈Z}.
(1)最小的正角为315°.
(2)最大的负角为－45°.
(3)－360°~720°范围内的角分别是－45°，315°，675°.
[反思感悟]　终边相同的角的表示
(1)终边相同的角都可以表示成α＋k·360°(k∈Z)的形式.
(2)终边相同的角相差360°的整数倍.
(3)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍.
知识点四　区间(域)角的表示
例4　已知角α的终边落在如图所示的阴影范围内(包括边界)，求角α的集合.
解：终边在y轴上的角为α＝90°＋k·180°，k∈Z，终边在直线y＝－x上的角为α＝135°＋k·180°，k∈Z，由图知，当α的终边在阴影范围内时，角α的取值集合为{α|90°＋k·180°≤α≤135°＋k·180°，k∈Z}.
[反思感悟]　1. 表示区域角的三个步骤
(1)先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；
(2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°~360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α＜x＜β}，其中β－α＜360°；
(3)起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区域角的集合.
2.实线包括边界，虚线不包括边界.
　 随堂巩固
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. “α是锐角”是“α是第一象限角”的(　A　)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
2. 2 024°角是(　C　)
A. 第一象限角 B. 第二象限角
C. 第三象限角 D. 第四象限角
3. 与－460°角终边相同的角可以表示成(　C　)
A. 460°＋k·360°，k∈Z
B. 100°＋k·360°，k∈Z
C. 260°＋k·360°，k∈Z
D. －260°＋k·360°，k∈Z
4. 已知角α的终边在图中阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角α的集合是　{α|45°＋k·360°＜α＜150°＋k·360°，k∈Z}　. (共26张PPT)
一、任意角和弧度制
导学1　任意角
　高中数学 必修 第一册
三角函数
第五章
知 识 点 一
1. 角的概念及其表示
角可以看成一条__________绕着它的端点
__________所成的__________.如图所示，
(1)始边：射线的__________位置OA；终边：
射线的__________位置OB；顶点：射线的端点O.
(2)记法：图中的角可记为“角α”或“∠α”或“∠AOB”.
知 识 梳 理
知识点一　任意角的概念
射线
旋转
图形
起始
终止
2. 角的分类
逆时针
顺时针
没有
3. 角的相等
如果角α和角β的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称
__________.
4. 角的加法
设α，β是任意两个角，我们规定，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是__________.
5. 相反角
把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为__________，角α的相反角记为__________，α－β＝α＋__________.
α＝β
α＋β
相反角
－α
(－β)
例1　(1)射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB位置，由OB位置顺时针旋转270°到达OC位置，则∠AOC＝(　　)
A. 150° B. －150°
C. 390° D. －390°
【解析】各角和的旋转量等于各角旋转量的和，
∴∠AOC＝120°＋(－270°)＝－150°.
B
(2)经过2个小时，钟表的时针和分针转过的角度分别是(　　)
A. 60°，720°
B. －60°，－720°
C. －30°，－360°
D. －60°，720°
【解析】钟表的时针和分针都是顺时针旋转，∴转过的角度都是负的，而×360°＝60°，2×360°＝720°，故钟表的时针和分针转过的角度分别是－60°，－720°.
B
[反思感悟]　正确理解锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小.逆时针旋转形成一个正角，顺时针旋转形成一个负角.正角与负角是表示具有相反意义的旋转量，它的正负规定纯属习惯，就好像正数和负数的规定一样.
知 识 点 二
象限角：在平面直角坐标系中，若角的顶点与__________重
合，角的始边与__________轴的非负半轴重合，那么，角的__________在第几象限，就说这个角是第几__________；如
果角的终边在____________，那么就认为这个角不属于任何一个象限.
知 识 梳 理
知识点二　象限角
原点
x
终边
象限角
坐标轴上
例2　(1)在①160°；②480°；③－960°；④1 530°这四个角中，属于第二象限角的是(　　)
A. ① B. ①②
C. ①②③ D. ①②③④
【解析】①160°很显然是第二象限角；②480°＝120°＋360°是第二象限角；③－960°＝－3×360°＋120°是第二象限角；④1 530°＝4×360°＋90°不是第二象限角.
C
(2)(多选)下列说法中，正确的有(　 　)
A. 锐角都是第一象限角
B. 第一象限角一定不是负角
C. 小于180°的角是钝角、直角或锐角
D. 在90°≤β＜180°范围内的角β不一定是钝角
【解析】锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，是第一象限角，∴A正确；－350°角是第一象限角，但它是负角，∴B错误；0°角是小于180°的角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，∴C错误；由于在90°≤β＜180°范围内的角β包含90°角，∴角β不一定是钝角，∴D正确.
AD
[反思感悟]　象限角的判定方法
(1)根据画图判定.利用画图实际操作时，依据是终边相同的角的思想，因为0°~360°之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系.
(2)将角转化到0°~360°范围内.在平面直角坐标系中，在0°~360°之间没有两个角终边是相同的.
知 识 点 三
终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝____________________________，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与______________的和.
知 识 梳 理
知识点三　终边相同的角
{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}
整数个周角
点拨：对集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}的理解：
(1)角α为任意角，“k∈Z”不能省略.(2)k·360°与α中间要用“＋”连接，k·360°－α可理解成k·360°＋(－α).(3)相等的角的终边一定相同，而终边相同的角不一定相等；终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍.
例3　已知α＝－1 845°，在与α终边相同的角中，求满足下列条件的角：
(1)最小的正角；
(2)最大的负角；
(3)－360°~720°范围内的角.
解：∵－1 845°＝－45°＋(－5)×360°，
即－1 845°角与－45°角的终边相同，∴与角α终边相同的角的集合是{β|β＝－45°＋k·360°，k∈Z}.
(1)最小的正角为315°.
(2)最大的负角为－45°.
(3)－360°~720°范围内的角分别是－45°，315°，675°.
[反思感悟]　终边相同的角的表示
(1)终边相同的角都可以表示成α＋k·360°(k∈Z)的形式.
(2)终边相同的角相差360°的整数倍.
(3)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍.
知 识 点 四
知识点四　区间(域)角的表示
例4　已知角α的终边落在如图所示的阴影范围内(包括边界)，求角α的集合.
解：终边在y轴上的角为α＝90°＋k·
180°，k∈Z，终边在直线y＝－x上的
角为α＝135°＋k·180°，k∈Z，由图
知，当α的终边在阴影范围内时，角α的
取值集合为{α|90°＋k·180°≤α≤
135°＋k·180°，k∈Z}.
[反思感悟]　1. 表示区域角的三个步骤
(1)先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；
(2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°~360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α＜x＜β}，其中β－α＜360°；
(3)起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区域角的集合.
2.实线包括边界，虚线不包括边界.
随 堂 巩 固
1. “α是锐角”是“α是第一象限角”的(　　)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
A
2. 2 024°角是(　　)
A. 第一象限角 B. 第二象限角
C. 第三象限角 D. 第四象限角
C
3. 与－460°角终边相同的角可以表示成(　　)
A. 460°＋k·360°，k∈Z
B. 100°＋k·360°，k∈Z
C. 260°＋k·360°，k∈Z
D. －260°＋k·360°，k∈Z
C
4. 已知角α的终边在图中阴影表示的范围内(不包含边界)，那么
角α的集合是_____________________________________________.
{α|45°＋k·360°＜α＜150°＋k·360°，k∈Z}5.1 导学1　任意角
知识点一　任意角的概念
　　　　　　　　　　　　　　　　
　 知识梳理
1. 角的概念及其表示
角可以看成一条　 　绕着它的端点　 　所成的　 　.如图所示，
(1)始边：射线的　 　位置OA；终边：射线的　 　位置OB；顶点：射线的端点O.
(2)记法：图中的角可记为“角α”或“∠α”或“∠AOB”.
2. 角的分类
3. 角的相等
如果角α和角β的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称　 　.
4. 角的加法
设α，β是任意两个角，我们规定，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是　 　.
5. 相反角
把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为　 　，角α的相反角记为　 　，α－β＝α＋　 　.
例1　(1)射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB位置，由OB位置顺时针旋转270°到达OC位置，则∠AOC＝(　 　)
A. 150° B. －150°
C. 390° D. －390°
(2)经过2个小时，钟表的时针和分针转过的角度分别是(　 　)
A. 60°，720°
B. －60°，－720°
C. －30°，－360°
D. －60°，720°
[反思感悟]　正确理解锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小.逆时针旋转形成一个正角，顺时针旋转形成一个负角.正角与负角是表示具有相反意义的旋转量，它的正负规定纯属习惯，就好像正数和负数的规定一样.
知识点二　象限角
　　　　　　　　　　　　　　　　
　 知识梳理
象限角：在平面直角坐标系中，若角的顶点与　 　重合，角的始边与　 　轴的非负半轴重合，那么，角的　 　在第几象限，就说这个角是第几　 　；如果角的终边在　 　，那么就认为这个角不属于任何一个象限.
例2　(1)在①160°；②480°；③－960°；④1 530°这四个角中，属于第二象限角的是(　 　)
A. ① B. ①②
C. ①②③ D. ①②③④
(2)(多选)下列说法中，正确的有(　 　)
A. 锐角都是第一象限角
B. 第一象限角一定不是负角
C. 小于180°的角是钝角、直角或锐角
D. 在90°≤β＜180°范围内的角β不一定是钝角
[反思感悟]　象限角的判定方法
(1)根据画图判定.利用画图实际操作时，依据是终边相同的角的思想，因为0°~360°之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系.
(2)将角转化到0°~360°范围内.在平面直角坐标系中，在0°~360°之间没有两个角终边是相同的.
知识点三　终边相同的角
　　　　　　　　　　　　　　　　
　 知识梳理
终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝　 　，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与　 　的和.
点拨：对集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}的理解：
(1)角α为任意角，“k∈Z”不能省略.(2)k·360°与α中间要用“＋”连接，k·360°－α可理解成k·360°＋(－α).(3)相等的角的终边一定相同，而终边相同的角不一定相等；终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍.
例3　已知α＝－1 845°，在与α终边相同的角中，求满足下列条件的角：
(1)最小的正角；
(2)最大的负角；
(3)－360°~720°范围内的角.
[反思感悟]　终边相同的角的表示
(1)终边相同的角都可以表示成α＋k·360°(k∈Z)的形式.
(2)终边相同的角相差360°的整数倍.
(3)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍.
知识点四　区间(域)角的表示
例4　已知角α的终边落在如图所示的阴影范围内(包括边界)，求角α的集合.
[反思感悟]　1. 表示区域角的三个步骤
(1)先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；
(2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°~360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α＜x＜β}，其中β－α＜360°；
(3)起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区域角的集合.
2.实线包括边界，虚线不包括边界.
　 随堂巩固
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. “α是锐角”是“α是第一象限角”的(　 　)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
2. 2 024°角是(　 　)
A. 第一象限角 B. 第二象限角
C. 第三象限角 D. 第四象限角
3. 与－460°角终边相同的角可以表示成(　 　)
A. 460°＋k·360°，k∈Z
B. 100°＋k·360°，k∈Z
C. 260°＋k·360°，k∈Z
D. －260°＋k·360°，k∈Z
4. 已知角α的终边在图中阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角α的集合是　 　.

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