资源简介

5.1 导学2　弧度制
知识点一　弧度制的概念
　　　　　　　　　　　　　　　　
　 知识梳理
弧度制
我们规定：长度等于　 　长的　 　所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号 rad表示，读作弧度.
例1　(1)下列说法中，正确的是(　 　)
A. 1弧度就是1°的圆心角所对的弧
B. 1弧度是长度等于半径的弧
C. 1弧度是1°的弧与1°的角之和
D. 1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角的大小
(2)下列说法中，正确的是(　 　)
A. 1弧度的圆心角所对的弧长等于半径
B. 大圆中1弧度的圆心角比小圆中1弧度的圆心角大
C. 所有圆心角为1弧度的角所对的弧长都相等
D. 用弧度表示的角都是正角
[反思感悟]　弧度制中的两个注意点
(1)圆心角α与所对应的弧长和半径的比值是唯一确定的.
(2)任意角的弧度数与实数是一一对应的关系.
知识点二　角度与弧度的换算
　　　　　　　　　　　　　　　　
　 知识梳理
1. 弧度数的计算
2. 弧度与角度的换算
例2　(1)①将112°30'化为弧度为 　；
②将－ rad化为角度为　 　.
(2)已知α＝15°，β＝ rad，γ＝1 rad，θ＝105°，φ＝ rad，试比较α，β，γ，θ，φ的大小.
[反思感悟]　角度与弧度的互化技巧：在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad＝180°是关键，由它可以得到：度数×＝弧度数，弧度数×°＝度数.一般情况下，省略弧度单位 rad.
知识点三　弧度制下的扇形的弧长与面积公式
　　　　　　　　　　　　　　　　
　 知识梳理
设扇形的半径为R，弧长为l，圆心角为α(0＜α＜2π)，则
(1)弧长公式：l＝　 　.
(2)扇形的面积公式：S＝　 　＝　 　.
例3　已知一扇形的圆心角是α，半径是R.
(1)若α＝60°，R＝10，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积(弦及其所对的弧围成的图形叫做弓形)；
(2)若扇形的周长是定值C(C＞0)，当|α|为多少弧度时，该扇形的面积最大
[反思感悟]　扇形的弧长和面积的求解策略：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形的面积公式直接求解或列方程(组)求解.
知识点四　利用弧度制表示角
例4　把下列角化成2kπ＋α(0≤α＜2π，k∈Z)的形式，指出它是第几象限角并写出与α终边相同的角的集合.
(1)－；(2)－1 485°.
[反思感悟]　弧度制下与角α终边相同的角的表示：在弧度制下，与角α的终边相同的角可以表示为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}，即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍.
提醒：(1)角度与弧度不能混用；(2)在任意角范围内，表示终边相同的角需加2kπ，k∈Z.
　 随堂巩固
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. (多选)下列说法中，正确的有(　 　)
A. 半圆所对的圆心角是π rad
B. 周角的大小等于2π
C. 1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径
D. 长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度
2. 时针经过一小时，转过了(　 　)
A. rad B. － rad
C. rad D. － rad
3. 与－330°角终边相同的角的集合为(　 　)
A.
B.
C.
D.
4. 周长为9，圆心角为1 rad的扇形的面积为 　. 5.1 导学2　弧度制
知识点一　弧度制的概念
　　　　　　　　　　　　　　　　
　 知识梳理
弧度制
我们规定：长度等于　半径　长的　圆弧　所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号 rad表示，读作弧度.
例1　(1)下列说法中，正确的是(　D　)
A. 1弧度就是1°的圆心角所对的弧
B. 1弧度是长度等于半径的弧
C. 1弧度是1°的弧与1°的角之和
D. 1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角的大小
【解析】根据弧度制和角度制的规定可知A，B，C均错误，D正确.
(2)下列说法中，正确的是(　A　)
A. 1弧度的圆心角所对的弧长等于半径
B. 大圆中1弧度的圆心角比小圆中1弧度的圆心角大
C. 所有圆心角为1弧度的角所对的弧长都相等
D. 用弧度表示的角都是正角
【解析】对于A，根据弧度的定义知，“1弧度的圆心角所对的弧长等于半径”，A正确；对于B，大圆中1弧度的圆心角与小圆中1弧度的圆心角相等，B错误；对于C，只有在同圆或等圆中，1弧度的圆心角所对的弧长是相等的，C错误；对于D，用弧度表示的角也可以是负角或零角，D错误.
[反思感悟]　弧度制中的两个注意点
(1)圆心角α与所对应的弧长和半径的比值是唯一确定的.
(2)任意角的弧度数与实数是一一对应的关系.
知识点二　角度与弧度的换算
　　　　　　　　　　　　　　　　
　 知识梳理
1. 弧度数的计算
2. 弧度与角度的换算
例2　(1)①将112°30'化为弧度为 rad　；
②将－ rad化为角度为　－75°　.
【解析】①∵1°＝ rad，
∴112°30'＝×112.5 rad＝ rad.
② ∵1 rad＝°，∴－ rad＝－×°＝－75°.
(2)已知α＝15°，β＝ rad，γ＝1 rad，θ＝105°，φ＝ rad，试比较α，β，γ，θ，φ的大小.
解：方法一(化为弧度)　α＝15°＝15× rad＝ rad，θ＝105°＝105× rad＝ rad，显然＜1＜，故α＜β＜γ＜θ＝φ.
方法二(化为角度)　β＝ rad＝°＝18°，
γ＝1 rad≈57.30°，φ＝°＝105°.
显然，15°＜18°＜57.30°＜105°.故α＜β＜γ＜θ＝φ.
[反思感悟]　角度与弧度的互化技巧：在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad＝180°是关键，由它可以得到：度数×＝弧度数，弧度数×°＝度数.一般情况下，省略弧度单位 rad.
知识点三　弧度制下的扇形的弧长与面积公式
　　　　　　　　　　　　　　　　
　 知识梳理
设扇形的半径为R，弧长为l，圆心角为α(0＜α＜2π)，则
(1)弧长公式：l＝　αR　.
(2)扇形的面积公式：S＝　lR　＝　αR2　.
例3　已知一扇形的圆心角是α，半径是R.
(1)若α＝60°，R＝10，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积(弦及其所对的弧围成的图形叫做弓形)；
(2)若扇形的周长是定值C(C＞0)，当|α|为多少弧度时，该扇形的面积最大
解：(1)设弧长为l，弓形面积为S弓，
∵α＝60°＝，R＝10，∴l＝，S弓＝S扇－S△＝××10－×10×5＝50.
(2)扇形周长C＝2R＋l，∴l＝C－2R，∴S扇＝lR＝(C－2R)R＝－R2＋RC＝
－，∴当R＝时，S扇有最大值，此时l＝C－2R＝，∴|α|＝·＝2.故|α|＝2时，该扇形的面积最大.
[反思感悟]　扇形的弧长和面积的求解策略：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形的面积公式直接求解或列方程(组)求解.
知识点四　利用弧度制表示角
例4　把下列角化成2kπ＋α(0≤α＜2π，k∈Z)的形式，指出它是第几象限角并写出与α终边相同的角的集合.
(1)－；(2)－1 485°.
解：(1)－＝－8×2π＋，它是第二象限角，与终边相同的角的集合为.
(2)－1 485°＝－5×360°＋315°＝－5×2π＋，它是第四象限角，与终边相同的角的集合为.
[反思感悟]　弧度制下与角α终边相同的角的表示：在弧度制下，与角α的终边相同的角可以表示为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}，即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍.
提醒：(1)角度与弧度不能混用；(2)在任意角范围内，表示终边相同的角需加2kπ，k∈Z.
　 随堂巩固
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. (多选)下列说法中，正确的有(　ABC　)
A. 半圆所对的圆心角是π rad
B. 周角的大小等于2π
C. 1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径
D. 长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度
2. 时针经过一小时，转过了(　B　)
A. rad B. － rad
C. rad D. － rad
3. 与－330°角终边相同的角的集合为(　B　)
A.
B.
C.
D.
4. 周长为9，圆心角为1 rad的扇形的面积为 　. (共25张PPT)
一、任意角和弧度制
导学2　弧度制
　高中数学 必修 第一册
三角函数
第五章
知 识 点 一
弧度制
我们规定：长度等于__________长的__________所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号 rad表示，读作弧度.
知 识 梳 理
知识点一　弧度制的概念
半径
圆弧
例1　(1)下列说法中，正确的是(　　)
A. 1弧度就是1°的圆心角所对的弧
B. 1弧度是长度等于半径的弧
C. 1弧度是1°的弧与1°的角之和
D. 1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角的大小
【解析】根据弧度制和角度制的规定可知A，B，C均错误，D正确.
D
(2)下列说法中，正确的是(　　)
A. 1弧度的圆心角所对的弧长等于半径
B. 大圆中1弧度的圆心角比小圆中1弧度的圆心角大
C. 所有圆心角为1弧度的角所对的弧长都相等
D. 用弧度表示的角都是正角
【解析】对于A，根据弧度的定义知，“1弧度的圆心角所对的弧长等于半径”，A正确；对于B，大圆中1弧度的圆心角与小圆中1弧度的圆心角相等，B错误；对于C，只有在同圆或等圆中，1弧度的圆心角所对的弧长是相等的，C错误；对于D，用弧度表示的角也可以是负角或零角，D错误.
A
[反思感悟]　弧度制中的两个注意点
(1)圆心角α与所对应的弧长和半径的比值是唯一确定的.
(2)任意角的弧度数与实数是一一对应的关系.
知 识 点 二
1. 弧度数的计算
知 识 梳 理
知识点二　角度与弧度的换算
正数
负数
0
2. 弧度与角度的换算
例2　(1)①将112°30'化为弧度为__________；
②将－ rad化为角度为__________.
【解析】①∵1°＝ rad，
∴112°30'＝×112.5 rad＝ rad.
② ∵1 rad＝°，∴－ rad＝－×°＝－75°.
rad
－75°
(2)已知α＝15°，β＝ rad，γ＝1 rad，θ＝105°，φ＝ rad，试比较α，β，γ，θ，φ的大小.
解：方法一(化为弧度)　α＝15°＝15× rad＝ rad，θ＝105°＝105× rad＝ rad，显然＜1＜，故α＜β＜γ＜θ＝φ.
方法二(化为角度)　β＝ rad＝°＝18°，
γ＝1 rad≈57.30°，φ＝°＝105°.
显然，15°＜18°＜57.30°＜105°.故α＜β＜γ＜θ＝φ.
[反思感悟]　角度与弧度的互化技巧：在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad＝180°是关键，由它可以得到：度数×＝弧度数，弧度数×°＝度数.一般情况下，省略弧度单位 rad.
知 识 点 三
设扇形的半径为R，弧长为l，圆心角为α(0＜α＜2π)，则
(1)弧长公式：l＝__________.
(2)扇形的面积公式：S＝__________＝__________.
知 识 梳 理
知识点三　弧度制下的扇形的弧长与面积公式
αR
lR
αR2
例3　已知一扇形的圆心角是α，半径是R.
(1)若α＝60°，R＝10，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积(弦及其所对的弧围成的图形叫做弓形)；
(2)若扇形的周长是定值C(C＞0)，当|α|为多少弧度时，该扇形的面积最大
解：(1)设弧长为l，弓形面积为S弓，
∵α＝60°＝，R＝10，∴l＝，S弓＝S扇－S△＝××10－×10×5＝50.
(2)扇形周长C＝2R＋l，∴l＝C－2R，∴S扇＝lR＝(C－2R)R＝－R2＋RC＝－，∴当R＝时，S扇有最大值，此时l＝C－2R＝，∴|α|＝·＝2.故|α|＝2时，该扇形的面积最大.
[反思感悟]　扇形的弧长和面积的求解策略：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形的面积公式直接求解或列方程(组)求解.
知 识 点 四
知识点四　利用弧度制表示角
例4　把下列角化成2kπ＋α(0≤α＜2π，k∈Z)的形式，指出它是第几象限角并写出与α终边相同的角的集合.
(1)－；(2)－1 485°.
解：(1)－＝－8×2π＋，它是第二象限角，与终边相同的角的集合为.
(2)－1 485°＝－5×360°＋315°＝－5×2π＋，它是第四象限角，与终边相同的角的集合为.
[反思感悟]　弧度制下与角α终边相同的角的表示：在弧度制下，与角α的终边相同的角可以表示为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}，即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍.
提醒：(1)角度与弧度不能混用；(2)在任意角范围内，表示终边相同的角需加2kπ，k∈Z.
随 堂 巩 固
1. (多选)下列说法中，正确的有(　 　)
A. 半圆所对的圆心角是π rad
B. 周角的大小等于2π
C. 1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径
D. 长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度
ABC
2. 时针经过一小时，转过了(　　)
A. rad B. － rad
C. rad D. － rad
B
3. 与－330°角终边相同的角的集合为(　　)
A.
B.
C.
D.
B
4. 周长为9，圆心角为1 rad的扇形的面积为_________.

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