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二、三角函数的概念
导学3　同角三角函数的基本关系
　高中数学 必修 第一册
三角函数
第五章
知 识 点 一
同角三角函数的基本关系
知 识 梳 理
知识点一　利用同角三角函数的基本关系求值
关系式 文字表述
平方 关系 sin2α＋cos2α＝__________ 同一个角α的正弦、余弦的__________等于1
商数 关系 ＝___________ 同一个角α的正弦、余弦
的__________等于角α的___________
1
平方和
tan α
商
正切
点拨：1.“同一个角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在式子有意义的前提下)关系式都成立.
2.sin2α是(sin α)2的缩写，读作“sin α的平方”，不能将sin2α写成sin α2，后者表示α2的正弦值，两者是不同的.
例1　(1)已知sin α＝，求cos α，tan α的值；
(2)已知α∈，tan α＝2，求cos α的值.
解：(1)∵sin α＝＞0，∴α是第一或第二象限角.
当α为第一象限角时，cos α＝，
tan α＝；
当α为第二象限角时，cos α＝－，tan α＝－.
(2)由已知得由①得sin α＝2cos α，代入②得4cos2α＋cos2α＝1，∴cos2α＝，又α∈，∴cos α＜0，∴cos α＝－.
[反思感悟]　已知某个三角函数值求其余三角函数值的步骤
(1)由已知三角函数值的符号，确定其角终边所在的象限；
(2)依据角的终边所在象限分类讨论；
(3)利用同角三角函数关系及其变形公式，求出其余三角函数值.
知 识 点 二
知识点二　利用弦切互化求值
例2　已知tan α＝－4，求下列各式的值：
(1)sin2α；(2)cos2α－sin2α；(3)3sin αcos α；(4).
解：(1)sin2α＝.
(2)cos2α－sin2α＝＝－.
(3)3sin αcos α＝＝－.
(4).
[反思感悟]　已知角α的正切值求关于sin α，cos α的齐次式的方法
(1)关于sin α，cos α的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin α，cos α的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子、分母同除以cos α的n次幂，其式子可化为关于tan α的式子，再代入求值.
(2)若无分母时，把分母看作1，并将1用sin2α＋cos2α来代换，将分子、分母同除以cos2α，可化为关于tan α的式子，再代入求值.
知 识 点 三
知识点三　sin θ±cos θ型求值问题
例3　已知sin α＋cos α＝－，0＜α＜π.
(1)求sin αcos α的值；(2)求sin α－cos α的值.
解：(1)由sin α＋cos α＝－得(sin α＋cos α)2＝，sin2α＋
2sin αcos α＋cos2α＝，∴sin αcos α＝－.
(2)∵0＜α＜π，sin αcos α＜0，∴sin α＞0，cos α＜0 sin α－cos α＞0.∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝，∴sin α－cos α＝.
[反思感悟]　sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们之间的关系是：(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.
注意：求sin α＋cos α或sin α－cos α的值时，要注意根据角的终边位置来判断它们的符号.
知 识 点 四
知识点四　利用同角三角函数的基本关系化简和证明
例4　(1)化简：；
(2)证明：.
解：(1)原式＝＝1.
(2)证明：方法一　左边＝
＝
＝
＝右边，∴原等式成立.
方法二　∵(sin α－cos α＋1)cos α＝sin αcos α－cos2α＋cos α＝sin αcos α＋cos α－(1－sin2α)＝cos α(sin α＋1)－(1＋sin α)·(1－sin α)＝(1＋sin α)·(cos α－1＋sin α)＝(1＋sin α)(sin α＋
cos α－1)，且sin α＋cos α－1≠0，cos α≠0，
∴.
[反思感悟]　1.三角函数式的化简技巧
(1)化切为弦，即把正切都化为正弦、余弦，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的.
(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的.
(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的.
2.证明三角恒等式的常用方法
(1)从左向右推导或从右向左推导.
(2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子.
(3)化异为同法：即针对题设与结论间的差异，有针对性地变形，以消除差异.
(4)变更命题法：如要证明，可证ad＝bc，或证等.
(5)比较法：即证明“左边－右边＝0”或“＝1”.
随 堂 巩 固
1. 已知tan α＝，α∈，则cos α的值是(　　)
A. ± B.
C. － D.
C
2. 若tan α＝2，则的值为(　　)
A. 0 B.
C. 1 D.
B
3. 已知sin α－cos α＝－，则sin αcos α等于(　　)
A. B. －
C. － D.
C
4. 若2sin α＋cos α＝0，则＝__________.
－85.2 导学3　同角三角函数的基本关系
知识点一　利用同角三角函数的基本关系求值
　　　　　　　　　　　　　　　　
　 知识梳理
同角三角函数的基本关系
关系式 文字表述
平方 关系 sin2α＋cos2α＝　 　 同一个角α的正弦、余弦的　 　等于1
商数 关系 ＝　 　 同一个角α的正弦、余弦的　 　等于角α的　 　
点拨：1.“同一个角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在式子有意义的前提下)关系式都成立.
2.sin2α是(sin α)2的缩写，读作“sin α的平方”，不能将sin2α写成sin α2，后者表示α2的正弦值，两者是不同的.
例1　(1)已知sin α＝，求cos α，tan α的值；
(2)已知α∈，tan α＝2，求cos α的值.
[反思感悟]　已知某个三角函数值求其余三角函数值的步骤
(1)由已知三角函数值的符号，确定其角终边所在的象限；
(2)依据角的终边所在象限分类讨论；
(3)利用同角三角函数关系及其变形公式，求出其余三角函数值.
知识点二　利用弦切互化求值
例2　已知tan α＝－4，求下列各式的值：
(1)sin2α；(2)cos2α－sin2α；(3)3sin αcos α；(4).
[反思感悟]　已知角α的正切值求关于sin α，cos α的齐次式的方法
(1)关于sin α，cos α的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin α，cos α的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子、分母同除以cos α的n次幂，其式子可化为关于tan α的式子，再代入求值.
(2)若无分母时，把分母看作1，并将1用sin2α＋cos2α来代换，将分子、分母同除以cos2α，可化为关于tan α的式子，再代入求值.
知识点三　sin θ±cos θ型求值问题
例3　已知sin α＋cos α＝－，0＜α＜π.
(1)求sin αcos α的值；(2)求sin α－cos α的值.
[反思感悟]　sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们之间的关系是：(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.
注意：求sin α＋cos α或sin α－cos α的值时，要注意根据角的终边位置来判断它们的符号.
知识点四　利用同角三角函数的基本关系化简和证明
例4　(1)化简：；
(2)证明：.
[反思感悟]　1.三角函数式的化简技巧
(1)化切为弦，即把正切都化为正弦、余弦，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的.
(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的.
(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的.
2.证明三角恒等式的常用方法
(1)从左向右推导或从右向左推导.
(2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子.
(3)化异为同法：即针对题设与结论间的差异，有针对性地变形，以消除差异.
(4)变更命题法：如要证明，可证ad＝bc，或证等.
(5)比较法：即证明“左边－右边＝0”或“＝1”.
　 随堂巩固
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 已知tan α＝，α∈，则cos α的值是(　 　)
A. ± B.
C. － D.
2. 若tan α＝2，则的值为(　 　)
A. 0 B.
C. 1 D.
3. 已知sin α－cos α＝－，则sin αcos α等于(　 　)
A. B. －
C. － D.
4. 若2sin α＋cos α＝0，则＝　 　. 5.2 导学3　同角三角函数的基本关系
知识点一　利用同角三角函数的基本关系求值
　　　　　　　　　　　　　　　　
　 知识梳理
同角三角函数的基本关系
关系式 文字表述
平方 关系 sin2α＋cos2α＝　1　 同一个角α的正弦、余弦的　平方和　等于1
商数 关系 ＝　tan α　 同一个角α的正弦、余弦的　商　等于角α的　正切　
点拨：1.“同一个角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在式子有意义的前提下)关系式都成立.
2.sin2α是(sin α)2的缩写，读作“sin α的平方”，不能将sin2α写成sin α2，后者表示α2的正弦值，两者是不同的.
例1　(1)已知sin α＝，求cos α，tan α的值；
(2)已知α∈，tan α＝2，求cos α的值.
解：(1)∵sin α＝＞0，∴α是第一或第二象限角.
当α为第一象限角时，cos α＝，tan α＝；
当α为第二象限角时，cos α＝－，tan α＝－.
(2)由已知得由①得sin α＝2cos α，代入②得4cos2α＋cos2α＝1，∴cos2α＝，又α∈，∴cos α＜0，∴cos α＝－.
[反思感悟]　已知某个三角函数值求其余三角函数值的步骤
(1)由已知三角函数值的符号，确定其角终边所在的象限；
(2)依据角的终边所在象限分类讨论；
(3)利用同角三角函数关系及其变形公式，求出其余三角函数值.
知识点二　利用弦切互化求值
例2　已知tan α＝－4，求下列各式的值：
(1)sin2α；(2)cos2α－sin2α；(3)3sin αcos α；(4).
解：(1)sin2α＝.
(2)cos2α－sin2α＝＝－.
(3)3sin αcos α＝＝－.
(4).
[反思感悟]　已知角α的正切值求关于sin α，cos α的齐次式的方法
(1)关于sin α，cos α的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin α，cos α的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子、分母同除以cos α的n次幂，其式子可化为关于tan α的式子，再代入求值.
(2)若无分母时，把分母看作1，并将1用sin2α＋cos2α来代换，将分子、分母同除以cos2α，可化为关于tan α的式子，再代入求值.
知识点三　sin θ±cos θ型求值问题
例3　已知sin α＋cos α＝－，0＜α＜π.
(1)求sin αcos α的值；(2)求sin α－cos α的值.
解：(1)由sin α＋cos α＝－得(sin α＋cos α)2＝，sin2α＋2sin αcos α＋cos2α＝，∴sin αcos α＝－.
(2)∵0＜α＜π，sin αcos α＜0，∴sin α＞0，cos α＜0 sin α－cos α＞0.∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝，∴sin α－cos α＝.
[反思感悟]　sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们之间的关系是：(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.
注意：求sin α＋cos α或sin α－cos α的值时，要注意根据角的终边位置来判断它们的符号.
知识点四　利用同角三角函数的基本关系化简和证明
例4　(1)化简：；
(2)证明：.
解：(1)原式＝＝1.
(2)证明：方法一　左边＝
＝
＝
＝右边，∴原等式成立.
方法二　∵(sin α－cos α＋1)cos α＝sin αcos α－cos2α＋cos α＝sin αcos α＋cos α－(1－sin2α)＝cos α(sin α＋1)－(1＋sin α)·(1－sin α)＝(1＋sin α)·(cos α－1＋sin α)＝(1＋sin α)(sin α＋cos α－1)，且sin α＋cos α－1≠0，cos α≠0，
∴.
[反思感悟]　1.三角函数式的化简技巧
(1)化切为弦，即把正切都化为正弦、余弦，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的.
(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的.
(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的.
2.证明三角恒等式的常用方法
(1)从左向右推导或从右向左推导.
(2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子.
(3)化异为同法：即针对题设与结论间的差异，有针对性地变形，以消除差异.
(4)变更命题法：如要证明，可证ad＝bc，或证等.
(5)比较法：即证明“左边－右边＝0”或“＝1”.
　 随堂巩固
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 已知tan α＝，α∈，则cos α的值是(　C　)
A. ± B.
C. － D.
2. 若tan α＝2，则的值为(　B　)
A. 0 B.
C. 1 D.
3. 已知sin α－cos α＝－，则sin αcos α等于(　C　)
A. B. －
C. － D.
4. 若2sin α＋cos α＝0，则＝　－8　.

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