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5.4 导学2　周期性、奇偶性
知识点一　正弦、余弦函数的周期性
　　　　　　　　　　　　　　　　
　 知识梳理
1. 函数的周期性
一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个　非零常数T　，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且　f(x＋T)＝f(x)　，那么函数f(x)就叫做周期函数.　非零常数T　叫做这个函数的周期.若T是函数的周期，则kT(k∈Z，且k≠0)也是这个函数的周期.
2. 最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个　最小的正数　，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
3. 正弦函数是　周期函数　，2kπ(k∈Z，且k≠0)都是它的周期，最小正周期是　2π　.
4. 余弦函数是　周期函数　，2kπ(k∈Z，且k≠0)都是它的周期，最小正周期是　2π　.
例1　求下列三角函数的一个周期：
(1)f(x)＝sin 2x，x∈R；
(2)f(x)＝|cos x|，x∈R；
(3)f(x)＝cos(sin x)，x∈R.
解：(1)方法一(公式法)　f(x)的周期T＝＝π，∴f(x)＝sin 2x，x∈R的一个周期为π.
方法二(定义法)　∵f(x＋π)＝sin 2(π＋x)＝sin (2π＋2x)＝sin 2x＝f(x)，∴f(x)＝
sin 2x，x∈R的一个周期为π.
(2)方法一(定义法)　∵f(x)＝|cos x|，x∈R，∴f(x＋π)＝|cos(π＋x)|＝|－cos x|＝|cos x|＝f(x)，∴f(x)＝|cos x|，x∈R的一个周期为π.
方法二(图象法)　f(x)＝|cos x|的图象如图(实线部分)所示.
由图象可知，f(x)＝|cos x|，x∈R的一个周期为π.
(3)∵f(x)＝cos(sin x)，x∈R，∴f(x＋π)＝cos[sin (π＋x)]＝cos(－sin x)＝
cos(sin x)＝f(x)，∴f(x)＝cos(sin x)，x∈R的一个周期为π.
[反思感悟]　求三角函数的周期的方法
(1)定义法：紧扣周期函数的定义，寻求对任意实数x都满足f(x＋T)＝f(x)的非零常数T.该方法主要适用于抽象函数.
(2)公式法：对形如y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω≠0)的函数，可利用T＝来求.
(3)图象法：可画出函数的图象，借助于图象判断函数的周期，特别是对于含绝对值的函数一般采用此法.
知识点二　正弦函数、余弦函数的奇偶性
　　　　　　　　　　　　　　　　
　 知识梳理
正弦函数是　奇函数　，余弦函数是　偶函数　.
例2　判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝cos；
(2)f(x)＝|sin x|＋cos x；
(3)f(x)＝cos(2π－x)－x3·sin x.
解：(1)函数的定义域是R，∵ x∈R，都有－x∈R，且f(x)＝cos＝
－sin 2x.又f(－x)＝－sin(－2x)＝sin 2x＝－f(x)，∴函数f(x)＝cos是奇函数.
(2)函数f(x)＝|sin x|＋cos x的定义域是R，
∵ x∈R，都有－x∈R，又f(－x)＝|sin(－x)|＋cos(－x)＝|sin x|＋cos x＝f(x)，∴函数f(x)＝|sin x|＋cos x是偶函数.
(3)函数的定义域是R，∵ x∈R，都有－x∈R，且f(x)＝cos x－x3·sin x，又f(－x)＝cos(－x)－(－x)3·sin(－x)＝cos x－x3·sin x＝f(x)，∴f(x)是偶函数.
[反思感悟]　判断函数奇偶性的方法
(1)判断函数奇偶性应把握好的两个方面：
一看函数的定义域是否关于原点对称；二看f(x)与f(－x)的关系.
(2)对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断.
提醒：研究函数性质应遵循“定义域优先”的原则.
知识点三　三角函数的奇偶性与周期性的应用
例3　定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈时，f(x)＝sin x，则f等于(　D　)
A. － B.
C. － D.
【解析】f＝f＝f＝f＝f＝f＝sin .
[延伸探究1]　在本例条件中，把“偶函数”改为“奇函数”，其他不变，则f的值为　－　.
【解析】依题意得f＝f＝f＝f＝f＝－f＝－sin ＝－.
[延伸探究2]　若本例中条件改为定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，f＝－f(x)，f＝1，则f的值为　1　.
【解析】∵f＝－f(x)，∴f(x＋π)＝－f＝－[－f(x)]＝f(x)，∴T＝π，∴f＝f＝f＝f＝1.
[反思感悟]　三角函数周期性与奇偶性的解题策略
(1)探求三角函数的周期，常用方法是公式法，即将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω＞0)的形式，再利用公式求解.
(2)对y＝Asin(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω＞0)，当φ＝kπ(k∈Z)时，是奇函数；当φ＝＋kπ(k∈Z)时，是偶函数.
(3)对y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω＞0)，当φ＝kπ(k∈Z)时，是偶函数；当φ＝＋kπ(k∈Z)时，是奇函数.φ为其他值时，均为非奇非偶函数.
　 随堂巩固
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 函数f(x)＝cos(－x)　(　B　)
A. 是奇函数
B. 是偶函数
C. 既是奇函数又是偶函数
D. 是非奇非偶函数
2. 下列函数中，周期为π的是(　B　)
A. y＝sin
B. y＝sin 2x
C. y＝cos
D. y＝cos(－4x)
3. 如图所示，下列函数中，符合这一图象的是(　A　)
A. y＝x·cos x B. y＝x·sin x
C. y＝x·|cos x| D. y＝x·2x
4. 已知f(x)为奇函数，且周期为，若f＝－1，则f＝　1　. (共23张PPT)
四、三角函数的图象与性质
导学2　周期性、奇偶性
　高中数学 必修 第一册
三角函数
第五章
知 识 点 一
1. 函数的周期性
一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个__________，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且______________，那么函数f(x)就叫做周期函数._____________叫做这个函数的周期.若T是函数的周期，则kT(k∈Z，且k≠0)也是这个函数的周期.
知 识 梳 理
知识点一　正弦、余弦函数的周期性
非零常数T
f(x＋T)＝f(x)
非零常数T
2. 最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个_______________，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
3. 正弦函数是__________，2kπ(k∈Z，且k≠0)都是它的周期，最小正周期是__________.
4. 余弦函数是__________，2kπ(k∈Z，且k≠0)都是它的周期，最小正周期是__________.
最小的正数
周期函数
2π
周期函数
2π
例1　求下列三角函数的一个周期：
(1)f(x)＝sin 2x，x∈R；
(2)f(x)＝|cos x|，x∈R；
(3)f(x)＝cos(sin x)，x∈R.
解：(1)方法一(公式法)　f(x)的周期T＝＝π，∴f(x)＝sin 2x，x∈R的一个周期为π.
方法二(定义法)　∵f(x＋π)＝sin 2(π＋x)＝sin (2π＋2x)＝sin 2x＝f(x)，∴f(x)＝sin 2x，x∈R的一个周期为π.
(2)方法一(定义法)　∵f(x)＝|cos x|，x∈R，∴f(x＋π)＝|cos(π＋x)|＝|－cos x|＝|cos x|＝f(x)，∴f(x)＝|cos x|，x∈R的一个周期为π.
方法二(图象法)　f(x)＝|cos x|的图象如图(实线部分)所示.
由图象可知，f(x)＝|cos x|，x∈R的一个周期为π.
(3)∵f(x)＝cos(sin x)，x∈R，∴f(x＋π)＝cos[sin (π＋x)]＝cos(－sin x)＝cos(sin x)＝f(x)，∴f(x)＝cos(sin x)，x∈R的一个周期为π.
[反思感悟]　求三角函数的周期的方法
(1)定义法：紧扣周期函数的定义，寻求对任意实数x都满足f(x＋T)＝f(x)的非零常数T.该方法主要适用于抽象函数.
(2)公式法：对形如y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω≠0)的函数，可利用T＝来求.
(3)图象法：可画出函数的图象，借助于图象判断函数的周期，特别是对于含绝对值的函数一般采用此法.
知 识 点 二
正弦函数是__________，余弦函数是__________.
知 识 梳 理
知识点二　正弦函数、余弦函数的奇偶性
奇函数
偶函数
例2　判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝cos；
(2)f(x)＝|sin x|＋cos x；
(3)f(x)＝cos(2π－x)－x3·sin x.
解：(1)函数的定义域是R，∵ x∈R，都有－x∈R，且f(x)＝cos＝－sin 2x.又f(－x)＝－sin(－2x)＝sin 2x＝－f(x)，∴函数f(x)＝cos是奇函数.
(2)函数f(x)＝|sin x|＋cos x的定义域是R，
∵ x∈R，都有－x∈R，又f(－x)＝|sin(－x)|＋cos(－x)＝|sin x|＋cos x＝f(x)，∴函数f(x)＝|sin x|＋cos x是偶函数.
(3)函数的定义域是R，∵ x∈R，都有－x∈R，且f(x)＝cos x－x3·sin x，又f(－x)＝cos(－x)－(－x)3·sin(－x)＝cos x－x3·sin x＝f(x)，∴f(x)是偶函数.
[反思感悟]　判断函数奇偶性的方法
(1)判断函数奇偶性应把握好的两个方面：
一看函数的定义域是否关于原点对称；二看f(x)与f(－x)的关系.
(2)对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断.
提醒：研究函数性质应遵循“定义域优先”的原则.
知 识 点 三
知识点三　三角函数的奇偶性与周期性的应用
例3　定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈时，f(x)＝sin x，则f等
于(　　)
A. － B.
C. － D.
【解析】f＝f＝f＝f＝f＝f＝sin .
D
[延伸探究1]　在本例条件中，把“偶函数”改为“奇函数”，其他不变，则f的值为__________.
【解析】依题意得f＝f＝f＝f＝f＝－f＝－sin ＝－.
－
[延伸探究2]　若本例中条件改为定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，f＝－f(x)，f＝1，则f的值为__________.
【解析】∵f＝－f(x)，∴f(x＋π)＝－f＝
－[－f(x)]＝f(x)，∴T＝π，∴f＝f＝f＝f＝1.
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[反思感悟]　三角函数周期性与奇偶性的解题策略
(1)探求三角函数的周期，常用方法是公式法，即将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω＞0)的形式，再利用公式求解.
(2)对y＝Asin(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω＞0)，当φ＝kπ(k∈Z)时，是奇函数；当φ＝＋kπ(k∈Z)时，是偶函数.
(3)对y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω＞0)，当φ＝kπ(k∈Z)时，是偶函数；当φ＝＋kπ(k∈Z)时，是奇函数.φ为其他值时，均为非奇非偶函数.
随 堂 巩 固
1. 函数f(x)＝cos(－x)(　　)
A. 是奇函数
B. 是偶函数
C. 既是奇函数又是偶函数
D. 是非奇非偶函数
B
2. 下列函数中，周期为π的是(　　)
A. y＝sin
B. y＝sin 2x
C. y＝cos
D. y＝cos(－4x)
B
3. 如图所示，下列函数中，符合这一图象的是(　　)
A
A. y＝x·cos x B. y＝x·sin x
C. y＝x·|cos x| D. y＝x·2x
4. 已知f(x)为奇函数，且周期为，若f＝－1，则f＝__________.
15.4 导学2　周期性、奇偶性
知识点一　正弦、余弦函数的周期性
　　　　　　　　　　　　　　　　
　 知识梳理
1. 函数的周期性
一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个　 　，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且　 　，那么函数f(x)就叫做周期函数.　 　叫做这个函数的周期.若T是函数的周期，则kT(k∈Z，且k≠0)也是这个函数的周期.
2. 最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个　 　，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
3. 正弦函数是　 　，2kπ(k∈Z，且k≠0)都是它的周期，最小正周期是　 　.
4. 余弦函数是　 　，2kπ(k∈Z，且k≠0)都是它的周期，最小正周期是　 　.
例1　求下列三角函数的一个周期：
(1)f(x)＝sin 2x，x∈R；
(2)f(x)＝|cos x|，x∈R；
(3)f(x)＝cos(sin x)，x∈R.
[反思感悟]　求三角函数的周期的方法
(1)定义法：紧扣周期函数的定义，寻求对任意实数x都满足f(x＋T)＝f(x)的非零常数T.该方法主要适用于抽象函数.
(2)公式法：对形如y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω≠0)的函数，可利用T＝来求.
(3)图象法：可画出函数的图象，借助于图象判断函数的周期，特别是对于含绝对值的函数一般采用此法.
知识点二　正弦函数、余弦函数的奇偶性
　　　　　　　　　　　　　　　　
　 知识梳理
正弦函数是　 　，余弦函数是　 　.
例2　判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝cos；
(2)f(x)＝|sin x|＋cos x；
(3)f(x)＝cos(2π－x)－x3·sin x.
[反思感悟]　判断函数奇偶性的方法
(1)判断函数奇偶性应把握好的两个方面：
一看函数的定义域是否关于原点对称；二看f(x)与f(－x)的关系.
(2)对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断.
提醒：研究函数性质应遵循“定义域优先”的原则.
知识点三　三角函数的奇偶性与周期性的应用
例3　定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈时，f(x)＝sin x，则f等于(　 　)
A. － B.
C. － D.
[延伸探究1]　在本例条件中，把“偶函数”改为“奇函数”，其他不变，则f的值为　 　.
[延伸探究2]　若本例中条件改为定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，f＝－f(x)，f＝1，则f的值为　 　.
[反思感悟]　三角函数周期性与奇偶性的解题策略
(1)探求三角函数的周期，常用方法是公式法，即将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω＞0)的形式，再利用公式求解.
(2)对y＝Asin(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω＞0)，当φ＝kπ(k∈Z)时，是奇函数；当φ＝＋kπ(k∈Z)时，是偶函数.
(3)对y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω＞0)，当φ＝kπ(k∈Z)时，是偶函数；当φ＝＋kπ(k∈Z)时，是奇函数.φ为其他值时，均为非奇非偶函数.
　 随堂巩固
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 函数f(x)＝cos(－x)　(　 　)
A. 是奇函数
B. 是偶函数
C. 既是奇函数又是偶函数
D. 是非奇非偶函数
2. 下列函数中，周期为π的是(　 　)
A. y＝sin
B. y＝sin 2x
C. y＝cos
D. y＝cos(－4x)
3. 如图所示，下列函数中，符合这一图象的是(　 　)
A. y＝x·cos x B. y＝x·sin x
C. y＝x·|cos x| D. y＝x·2x
4. 已知f(x)为奇函数，且周期为，若f＝－1，则f＝　 　.

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