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四、三角函数的图象与性质
导学3　单调性、最大值与最小值
　高中数学 必修 第一册
三角函数
第五章
知 识 梳 理
正弦函数、余弦函数的单调性与最值(表中k∈Z)
正弦函数 余弦函数
图象
值域 ___________ ___________
[－1，1]
[－1，1]
正弦函数 余弦函数
单 调 性 在______________________上单调 递增，在______________________上单调递减 在_________________上单调递增，在______________ 上单调递减
最 值 当x＝___________时，ymax＝1； 当x＝____________时，ymin＝－1 当x＝______时，ymax＝1；
当x＝___________时，ymin＝－1

[－π＋2kπ，2kπ]
[2kπ，π＋2kπ]
＋2kπ
－＋2kπ
2kπ
π＋2kπ
知 识 点 一
知识点一　利用单调性比较大小
例1　利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：
(1)cos 与cos ；
解：cos ＝cos ，cos ＝cos ，∵0＜＜π，又y＝
cos x在[0，π]上单调递减，∴cos ＞cos ，即cos ＞cos .
(2)cos 1与sin 1；
解：∵cos 1＝sin，又0＜－1＜1＜，且y＝sin x在
上单调递增，∴sin＜sin 1，即cos 1＜sin 1.
(3)sin sin 与cos .
解：∵y＝sin x在上单调递增，0＜，
∴sin ＜sin sin ，则sin sin ，又y＝cos x在上单调递减，0＜，∴cos ＞cos ＝sin ＞sin ，则
cos sin ，即cos sin ＞sin .
[反思感悟]　比较三角函数值大小的方法
(1)比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性比较.
(2)比较两个不同名的三角函数值的大小，一般应先化为同名的三角函数，后面步骤同上.
知 识 点 二
知识点二　求正弦函数、余弦函数的单调区间
例2　求函数y＝2sin的单调区间.
解：令z＝x－，则y＝2sin z.
∵z＝x－是增函数，∴y＝2sin z单调递增(减)时，函数y＝2sin也单调递增(减).由z∈(k∈Z)，得x－∈(k∈Z)，即
x∈(k∈Z)，故函数y＝2sin的单调递增区间为(k∈Z).
同理可求函数y＝2sin的单调递减区间为
(k∈Z).
[延伸探究1]　求函数f(x)＝2sin，x∈[0，2π]的单调区间.
解：由例题知f(x)＝2sin的单调递增区间为
，k∈Z，又x∈[0，2π]，∴0≤x≤，或≤x≤2π，同理函数f(x)＝2sin，x∈[0，2π]的单调递减区间为.
∴函数f(x)＝2sin，x∈[0，2π]的单调递增区间为，单调递减区间为.
[延伸探究2]　求函数y＝sin的单调递增区间.
解：y＝sin＝－sin，令z＝x－，又y＝－sin z的单调递增区间是，k∈Z，
∴令＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，得＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，∴函数y＝sin的单调递增区间为，k∈Z.
[反思感悟]　求正弦、余弦型函数的单调区间的策略
(1)结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间.
(2)求形如y＝Asin(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω＞0)的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx＋φ”看作一个整体“z”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出原函数的单调区间.求形如y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω＞0)的函数的单调区间时，同上.
知 识 点 三
知识点三　求正弦函数、余弦函数的最值(值域)
例3　(1)函数y＝cos，x∈的值域是(　　)
A. B.
C. D.
【解析】当0≤x≤时，≤2x＋≤π，∴－1≤cos ≤.
C
(2)函数y＝sin2x－4sin x的最大值是__________.
【解析】y＝sin2x－4sin x＝(sin x－2)2－4.∵－1≤sin x≤1，
∴当sin x＝－1时，y取到最大值(－3)2－4＝5.
5
[反思感悟]　求三角函数值域或最值的常用方法
(1)形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或y＝Acos(ωx＋φ)＋b)的函数，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后求得sin(ωx＋φ)(或cos(ωx＋φ))的范围，最后求得值域(最值)，但要注意对A正、负的讨论.
(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)的函数，可先设t＝sin x，将函数y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)化为关于t的二次函数y＝at2＋bt＋c(a≠0)，根据二次函数的单调性求值域(最值).
随 堂 巩 固
1. 函数y＝－cos x在区间上(　　)
A. 单调递增
B. 单调递减
C. 先减后增
D. 先增后减
C
2. 函数y＝2－sin x的最大值及取最大值时x的值为(　　)
A. ymax＝3，x＝
B. ymax＝1，x＝＋2kπ(k∈Z)
C. ymax＝3，x＝－＋2kπ(k∈Z)
D. ymax＝3，x＝＋2kπ(k∈Z)
C
3. 函数f(x)＝2sin在区间上的最大值是(　　)
A. －2 B. 1
C. D. 2
C
4. 函数f(x)＝cos的单调递减区间是
_____________________________.
(k∈Z)5.4 导学3　单调性、最大值与最小值
　 知识梳理
正弦函数、余弦函数的单调性与最值(表中k∈Z)
正弦函数 余弦函数
图象
值域 　[－1，1]　 　[－1，1]　
正弦函数 余弦函数
单调性 在 　上单调递增，在 　上单调递减 在　[－π＋2kπ，2kπ]　上单调递增，在　[2kπ，π＋2kπ]　上单调递减
最值 当x＝ ＋2kπ　时，ymax＝1； 当x＝　－＋2kπ　时，ymin＝－1 当x＝　2kπ　时，ymax＝1； 当x＝　π＋2kπ　时，ymin＝－1
知识点一　利用单调性比较大小
例1　利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：
(1)cos 与cos ；
解：cos ＝cos ，cos ＝cos ，∵0＜＜π，又y＝cos x在[0，π]上单调递减，∴cos ＞cos ，即cos ＞cos .
(2)cos 1与sin 1；
解：∵cos 1＝sin，又0＜－1＜1＜，且y＝sin x在上单调递增，∴sin＜sin 1，即cos 1＜sin 1.
(3)sin sin 与cos .
解：∵y＝sin x在上单调递增，0＜，
∴sin ＜sin sin ，则sin sin ，又y＝cos x在上单调递减，0＜，∴cos ＞cos ＝sin ＞sin ，则cos sin ，即cos sin ＞sin .
[反思感悟]　比较三角函数值大小的方法
(1)比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性比较.
(2)比较两个不同名的三角函数值的大小，一般应先化为同名的三角函数，后面步骤同上.
知识点二　求正弦函数、余弦函数的单调区间
例2　求函数y＝2sin的单调区间.
解：令z＝x－，则y＝2sin z.
∵z＝x－是增函数，∴y＝2sin z单调递增(减)时，函数y＝2sin也单调递增(减).由z∈(k∈Z)，得x－∈(k∈Z)，即x∈(k∈Z)，故函数y＝2sin的单调递增区间为(k∈Z).
同理可求函数y＝2sin的单调递减区间为(k∈Z).
[延伸探究1]　求函数f(x)＝2sin，x∈[0，2π]的单调区间.
解：由例题知f(x)＝2sin的单调递增区间为，k∈Z，又x∈[0，2π]，∴0≤x≤，或≤x≤2π，同理函数f(x)＝2sin，x∈[0，2π]的单调递减区间为.
∴函数f(x)＝2sin，x∈[0，2π]的单调递增区间为，单调递减区间为.
[延伸探究2]　求函数y＝sin的单调递增区间.
解：y＝sin＝－sin，令z＝x－，又y＝－sin z的单调递增区间是，k∈Z，
∴令＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，得＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，
∴函数y＝sin的单调递增区间为，k∈Z.
[反思感悟]　求正弦、余弦型函数的单调区间的策略
(1)结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间.
(2)求形如y＝Asin(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω＞0)的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx＋φ”看作一个整体“z”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出原函数的单调区间.求形如y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω＞0)的函数的单调区间时，同上.
知识点三　求正弦函数、余弦函数的最值(值域)
例3　(1)函数y＝cos，x∈的值域是(　C　)
A. B.
C. D.
【解析】当0≤x≤时，≤2x＋≤π，∴－1≤cos≤.
(2)函数y＝sin2x－4sin x的最大值是　5　.
【解析】y＝sin2x－4sin x＝(sin x－2)2－4.∵－1≤sin x≤1，∴当sin x＝－1时，y取到最大值(－3)2－4＝5.
[反思感悟]　求三角函数值域或最值的常用方法
(1)形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或y＝Acos(ωx＋φ)＋b)的函数，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后求得sin(ωx＋φ)(或cos(ωx＋φ))的范围，最后求得值域(最值)，但要注意对A正、负的讨论.
(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)的函数，可先设t＝sin x，将函数y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)化为关于t的二次函数y＝at2＋bt＋c(a≠0)，根据二次函数的单调性求值域(最值).
　 随堂巩固
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 函数y＝－cos x在区间上(　C　)
A. 单调递增
B. 单调递减
C. 先减后增
D. 先增后减
2. 函数y＝2－sin x的最大值及取最大值时x的值为(　C　)
A. ymax＝3，x＝
B. ymax＝1，x＝＋2kπ(k∈Z)
C. ymax＝3，x＝－＋2kπ(k∈Z)
D. ymax＝3，x＝＋2kπ(k∈Z)
3. 函数f(x)＝2sin在区间上的最大值是(　C　)
A. －2 B. 1
C. D. 2
4. 函数f(x)＝cos的单调递减区间是 (k∈Z)　. 5.4 导学3　单调性、最大值与最小值
　 知识梳理
正弦函数、余弦函数的单调性与最值(表中k∈Z)
正弦函数 余弦函数
图象
值域 　 　 　 　
正弦函数 余弦函数
单调性 在 　上单调递增，在 　上单调递减 在　 　上单调递增，在　 　上单调递减
最值 当x＝ 　时，ymax＝1； 当x＝　 　时，ymin＝－1 当x＝　 　时，ymax＝1； 当x＝　 　时，ymin＝－1
知识点一　利用单调性比较大小
例1　利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：
(1)cos 与cos ；
(2)cos 1与sin 1；
(3)sin sin 与cos .
[反思感悟]　比较三角函数值大小的方法
(1)比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性比较.
(2)比较两个不同名的三角函数值的大小，一般应先化为同名的三角函数，后面步骤同上.
知识点二　求正弦函数、余弦函数的单调区间
例2　求函数y＝2sin的单调区间.
[延伸探究1]　求函数f(x)＝2sin，x∈[0，2π]的单调区间.
[延伸探究2]　求函数y＝sin的单调递增区间.
[反思感悟]　求正弦、余弦型函数的单调区间的策略
(1)结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间.
(2)求形如y＝Asin(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω＞0)的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx＋φ”看作一个整体“z”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出原函数的单调区间.求形如y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω＞0)的函数的单调区间时，同上.
知识点三　求正弦函数、余弦函数的最值(值域)
例3　(1)函数y＝cos，x∈的值域是(　 　)
A. B.
C. D.
(2)函数y＝sin2x－4sin x的最大值是　 　.
[反思感悟]　求三角函数值域或最值的常用方法
(1)形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或y＝Acos(ωx＋φ)＋b)的函数，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后求得sin(ωx＋φ)(或cos(ωx＋φ))的范围，最后求得值域(最值)，但要注意对A正、负的讨论.
(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)的函数，可先设t＝sin x，将函数y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)化为关于t的二次函数y＝at2＋bt＋c(a≠0)，根据二次函数的单调性求值域(最值).
　 随堂巩固
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 函数y＝－cos x在区间上(　 　)
A. 单调递增
B. 单调递减
C. 先减后增
D. 先增后减
2. 函数y＝2－sin x的最大值及取最大值时x的值为(　 　)
A. ymax＝3，x＝
B. ymax＝1，x＝＋2kπ(k∈Z)
C. ymax＝3，x＝－＋2kπ(k∈Z)
D. ymax＝3，x＝＋2kπ(k∈Z)
3. 函数f(x)＝2sin在区间上的最大值是(　 　)
A. －2 B. 1
C. D. 2
4. 函数f(x)＝cos的单调递减区间是 　.

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