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四、三角函数的图象与性质
导学4　正切函数的性质与图象
　高中数学 必修 第一册
三角函数
第五章
知 识 梳 理
正切函数的图象与性质
解析式 y＝tan x
图象
解析式 y＝tan x
定义域 __________________________________

值域 ___________
最小正周期 ___________
奇偶性 ___________
单调性 在区间__________________________上单调递增
对称性 对称中心_____________________
R
π
奇函数
(k∈Z)
(k∈Z)
知 识 点 一
知识点一　正切函数的定义域及值域
例1　(1)函数y＝tan的定义域是
___________________________.
【解析】由≠＋kπ，k∈Z，得x≠－－4kπ，k∈Z，即函数的定义域是.
(2)求函数y＝tan2x－2tan x的值域，其中|x|≤.
解：令u＝tan x，∵|x|≤，∴由正切函数的图象知u∈
[－]，∴原函数可化为y＝u2－2u，u∈[－]，∵二次函数y＝u2－2u＝(u－1)2－1图象开口向上，对称轴方程为u＝1，∴当u＝1时，ymin＝－1，当u＝－时，ymax＝3＋2，∴原函数的值域是[－1，3＋2].
[反思感悟]　1.求正切型函数y＝Atan(ωx＋φ)(A≠0，ω＞0)的定义域时，要将“ωx＋φ”视为一个整体.令ωx＋φ≠kπ＋，k∈Z，求解x.
2.处理正切函数值域时，应注意正切函数自身值域为R，将问题转化为某种函数的值域求解.
知 识 点 二
知识点二　正切函数的奇偶性、周期性
例2　(1)若f(x)＝tan ωx(ω＞0)的周期为1，则f等于(　　)
A. － B. －
C. D.
【解析】依题意T＝＝1，ω＝π，∴f(x)＝tan πx，
∴f＝tan .
D
(2)函数f(x)＝|tan 2x|是(　　)
A. 最小正周期为π的奇函数
B. 最小正周期为π的偶函数
C. 最小正周期为的奇函数
D. 最小正周期为的偶函数
【解析】f(－x)＝|tan(－2x)|＝|tan 2x|＝f(x)，∴f(x)＝|tan 2x|为偶函数，T＝.
D
[反思感悟]　正切函数的周期性、奇偶性问题的解题策略
(1)一般地，函数y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期为T＝，常常利用此公式来求周期.
(2)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称.若不对称，则该函数无奇偶性，若对称，再判断f(－x)与f(x)的关系.
知 识 点 三
知识点三　正切函数的单调性及应用
角度1　求正切型函数的单调区间
例3　求函数y＝tan的单调区间.
解：y＝tan＝－tan，由kπ－x－＜kπ＋(k∈Z)，得4kπ－π＜x＜4kπ＋3π(k∈Z)，∴函数y＝
tan的单调递减区间是(－π＋4kπ，3π＋4kπ)(k∈Z)，无单调递增区间.
[反思感悟]　求函数y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω，φ都是常数)的单调区间
(1)ω＞0时，把ωx＋φ看成一个整体，解－＋kπ＜ωx＋φ＜＋kπ，k∈Z，求x的取值范围；
(2)ω＜0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间.
角度2　比较大小
例4　不通过求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小.
(1)tan 与tan ；
解：∵tan＝tan，tan＝tan，又0＜，y＝
tan x在上单调递增，∴tan＜tan，即tan＜tan.
(2)tan与tan.
解：∵tan＝－tan ，tan＝－tan ，又0＜，y＝tan x在上单调递增，∴tan ＞tan ，
∴－tan ＜－tan ，∴tan＜tan.
[反思感悟]　运用正切函数单调性比较大小的方法
(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内.
(2)运用单调性比较大小关系.
知 识 点 四
知识点四　正切函数图象与性质的综合应用
例5　设函数f(x)＝tan.
(1)求函数f(x)的单调区间及对称中心；
(2)求不等式－1≤f(x)≤的解集.
解：(1)由－＋kπ＜＋kπ(k∈Z)，得－＋2kπ＜x＜＋2kπ(k∈Z)，∴函数f(x)的单调递增区间是(k∈Z)，无单调递减区间.由(k∈Z)，得x＝kπ＋(k∈Z)，故函数f(x)的对称中心是(k∈Z).
(2)由－1≤tan≤，得－＋kπ≤≤＋kπ(k∈Z)，解得＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)，∴不等式－1≤f(x)≤的解集是.
[反思感悟]　1.正切曲线的对称中心是，k∈Z，不存在对称轴，是由被相互平行的直线x＝＋kπ，k∈Z隔开的无穷多支曲线构成.
2.研究正切型函数的性质及应用，注意定义域优先原则，视“ωx＋φ”为一个整体.
随 堂 巩 固
1. 函数y＝tan的最小正周期为(　　)
A. 2π B. π
C. D.
C
2. 当x∈时，函数y＝tan |x|的图象(　　)
A. 关于原点对称 B. 关于y轴对称
C. 关于x轴对称 D. 无法确定
B
3. 函数y＝－2＋tan的单调递增区间是(　　)
A. ，k∈Z
B. ，k∈Z
C. ，k∈Z
D. ，k∈Z
A
4. 比较大小：tan __________tan .
＞5.4 导学4　正切函数的性质与图象
　 知识梳理
正切函数的图象与性质
解析式 y＝tan x
图象
解析式 y＝tan x
定义域
值域 　R　
最小正周期 　π　
奇偶性 　奇函数　
单调性 在区间 (k∈Z) 上单调递增
对称性 对称中心 (k∈Z)
知识点一　正切函数的定义域及值域
例1　(1)函数y＝tan的定义域是 　.
【解析】由≠＋kπ，k∈Z，得x≠－－4kπ，k∈Z，即函数的定义域是.
(2)求函数y＝tan2x－2tan x的值域，其中|x|≤.
解：令u＝tan x，∵|x|≤，∴由正切函数的图象知u∈[－]，∴原函数可化为y＝u2－2u，u∈[－]，∵二次函数y＝u2－2u＝(u－1)2－1图象开口向上，对称轴方程为u＝1，∴当u＝1时，ymin＝－1，当u＝－时，
ymax＝3＋2，∴原函数的值域是[－1，3＋2].
[反思感悟]　1.求正切型函数y＝Atan(ωx＋φ)(A≠0，ω＞0)的定义域时，要将“ωx＋φ”视为一个整体.令ωx＋φ≠kπ＋，k∈Z，求解x.
2.处理正切函数值域时，应注意正切函数自身值域为R，将问题转化为某种函数的值域求解.
知识点二　正切函数的奇偶性、周期性
例2　(1)若f(x)＝tan ωx(ω＞0)的周期为1，则f等于(　D　)
A. － B. －
C. D.
【解析】依题意T＝＝1，ω＝π，∴f(x)＝tan πx，
∴f＝tan .
(2)函数f(x)＝|tan 2x|是(　D　)
A. 最小正周期为π的奇函数
B. 最小正周期为π的偶函数
C. 最小正周期为的奇函数
D. 最小正周期为的偶函数
【解析】f(－x)＝|tan(－2x)|＝|tan 2x|＝f(x)，∴f(x)＝|tan 2x|为偶函数，T＝.
[反思感悟]　正切函数的周期性、奇偶性问题的解题策略
(1)一般地，函数y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期为T＝，常常利用此公式来求周期.
(2)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称.若不对称，则该函数无奇偶性，若对称，再判断f(－x)与f(x)的关系.
知识点三　正切函数的单调性及应用
角度1　求正切型函数的单调区间
例3　求函数y＝tan的单调区间.
解：y＝tan＝－tan，由kπ－x－＜kπ＋(k∈Z)，得4kπ－π＜x＜4kπ＋3π(k∈Z)，∴函数y＝tan的单调递减区间是(－π＋4kπ，3π＋4kπ)(k∈Z)，无单调递增区间.
[反思感悟]　求函数y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω，φ都是常数)的单调区间
(1)ω＞0时，把ωx＋φ看成一个整体，解－＋kπ＜ωx＋φ＜＋kπ，k∈Z，求x的取值范围；
(2)ω＜0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间.
角度2　比较大小
例4　不通过求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小.
(1)tan 与tan ；
解：∵tan＝tan，tan＝tan，又0＜，y＝tan x在上单调递增，∴tan＜tan，即tan＜tan.
(2)tan与tan.
解：∵tan＝－tan ，tan＝－tan ，又0＜，y＝tan x
在上单调递增，∴tan ＞tan ，∴－tan ＜－tan ，∴tan＜tan.
[反思感悟]　运用正切函数单调性比较大小的方法
(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内.
(2)运用单调性比较大小关系.
知识点四　正切函数图象与性质的综合应用
例5　设函数f(x)＝tan.
(1)求函数f(x)的单调区间及对称中心；
(2)求不等式－1≤f(x)≤的解集.
解：(1)由－＋kπ＜＋kπ(k∈Z)，得－＋2kπ＜x＜＋2kπ(k∈Z)，∴函数f(x)的单调递增区间是(k∈Z)，无单调递减区间.由(k∈Z)，得x＝kπ＋(k∈Z)，故函数f(x)的对称中心是
(k∈Z).
(2)由－1≤tan≤，得－＋kπ≤≤＋kπ(k∈Z)，解得＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)，∴不等式－1≤f(x)≤的解集是.
[反思感悟]　1.正切曲线的对称中心是，k∈Z，不存在对称轴，是由被相互平行的直线x＝＋kπ，k∈Z隔开的无穷多支曲线构成.
2.研究正切型函数的性质及应用，注意定义域优先原则，视“ωx＋φ”为一个整体.
　 随堂巩固
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 函数y＝tan的最小正周期为(　C　)
A. 2π B. π
C. D.
2. 当x∈时，函数y＝tan |x|的图象(　B　)
A. 关于原点对称 B. 关于y轴对称
C. 关于x轴对称 D. 无法确定
3. 函数y＝－2＋tan的单调递增区间是(　A　)
A. ，k∈Z
B. ，k∈Z
C. ，k∈Z
D. ，k∈Z
4. 比较大小：tan 　＞　tan . 5.4 导学4　正切函数的性质与图象
　 知识梳理
正切函数的图象与性质
解析式 y＝tan x
图象
解析式 y＝tan x
定义域
值域 　 　
最小正周期 　 　
奇偶性 　 　
单调性 在区间 上单调递增
对称性 对称中心
知识点一　正切函数的定义域及值域
例1　(1)函数y＝tan的定义域是 　.
(2)求函数y＝tan2x－2tan x的值域，其中|x|≤.
[反思感悟]　1.求正切型函数y＝Atan(ωx＋φ)(A≠0，ω＞0)的定义域时，要将“ωx＋φ”视为一个整体.令ωx＋φ≠kπ＋，k∈Z，求解x.
2.处理正切函数值域时，应注意正切函数自身值域为R，将问题转化为某种函数的值域求解.
知识点二　正切函数的奇偶性、周期性
例2　(1)若f(x)＝tan ωx(ω＞0)的周期为1，则f等于(　 　)
A. － B. －
C. D.
(2)函数f(x)＝|tan 2x|是(　 　)
A. 最小正周期为π的奇函数
B. 最小正周期为π的偶函数
C. 最小正周期为的奇函数
D. 最小正周期为的偶函数
[反思感悟]　正切函数的周期性、奇偶性问题的解题策略
(1)一般地，函数y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期为T＝，常常利用此公式来求周期.
(2)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称.若不对称，则该函数无奇偶性，若对称，再判断f(－x)与f(x)的关系.
知识点三　正切函数的单调性及应用
角度1　求正切型函数的单调区间
例3　求函数y＝tan的单调区间.
[反思感悟]　求函数y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω，φ都是常数)的单调区间
(1)ω＞0时，把ωx＋φ看成一个整体，解－＋kπ＜ωx＋φ＜＋kπ，k∈Z，求x的取值范围；
(2)ω＜0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间.
角度2　比较大小
例4　不通过求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小.
(1)tan 与tan ；
(2)tan与tan.
[反思感悟]　运用正切函数单调性比较大小的方法
(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内.
(2)运用单调性比较大小关系.
知识点四　正切函数图象与性质的综合应用
例5　设函数f(x)＝tan.
(1)求函数f(x)的单调区间及对称中心；
(2)求不等式－1≤f(x)≤的解集.
[反思感悟]　1.正切曲线的对称中心是，k∈Z，不存在对称轴，是由被相互平行的直线x＝＋kπ，k∈Z隔开的无穷多支曲线构成.
2.研究正切型函数的性质及应用，注意定义域优先原则，视“ωx＋φ”为一个整体.
　 随堂巩固
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 函数y＝tan的最小正周期为(　 　)
A. 2π B. π
C. D.
2. 当x∈时，函数y＝tan |x|的图象(　 　)
A. 关于原点对称 B. 关于y轴对称
C. 关于x轴对称 D. 无法确定
3. 函数y＝－2＋tan的单调递增区间是(　 　)
A. ，k∈Z
B. ，k∈Z
C. ，k∈Z
D. ，k∈Z
4. 比较大小：tan 　 　tan .

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