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5.5 导学1　两角差的余弦公式
知识点一　两角差的余弦公式
　　　　　　　　　　　　　　　　
　 知识梳理
两角差的余弦公式 cos(α－β)＝　cos αcos β＋sin αsin β　
简记符号 C(α－β)
使用条件 α，β都是　任意　角
点拨：1.公式的结构特征
2.公式中的α，β都是任意角，既可以是一个角，也可以是几个角的组合.
例1　求值：(1)cos 75°；
(2)cos cos ＋cos sin .
解：(1)原式＝cos(120°－45°)
＝cos 120°cos 45°＋sin 120°·sin 45°
＝－××
＝.
(2)原式＝cos cos ＋sin sin
＝cos
＝cos
＝.
[反思感悟]　利用两角差的余弦公式求值的一般思路
(1)把非特殊角转化为特殊角的差，正用公式直接求值.
(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的右边形式，然后逆用公式求值.
知识点二　给值(式)求值
例2　(1)若sin(π＋θ)＝－，θ是第二象限角，sin＝－，φ是第三象限角，求cos(θ－φ)的值.
解：∵sin(π＋θ)＝－sin θ＝－，∴sin θ＝，又θ是第二象限角，∴cos θ＝－.
∵sin＝cos φ＝－，且φ为第三象限角，
∴sin φ＝－，∴cos(θ－φ)＝cos θcos φ＋sin θsin φ＝××.
(2)已知α，β为锐角，且cos α＝，cos(α＋β)＝－，求cos β的值.
解：∵α，β为锐角，∴0＜α＋β＜π.由cos(α＋β)＝－，得sin(α＋β)＝.
又cos α＝，∴sin α＝，∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝××.
[反思感悟]　给值求值的解题策略
(1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角.
(2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换.常见角的变换有：
①α＝(α＋β)－β；②β＝；
③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β).
知识点三　利用公式进行化简
例3　已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0＜β＜α＜，求β的值.
解：由cos α＝，0＜α＜，得sin α＝.由0＜β＜
α＜，得0＜α－β＜.
又cos(α－β)＝，∴sin(α－β)＝.∵β＝α－(α－β)，∴cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos (α－β)＋sin αsin (α－β)＝××.∵0＜β＜，∴β＝.
[反思感悟]　已知三角函数值求角的解题步骤
(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围；
(2)求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数；
(3)结合三角函数值及角的范围求角.
提醒：由三角函数值求角时，易忽视角的范围，而得到错误答案.
　 随堂巩固
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. cos 20°等于(　B　)
A. cos 30°cos 10°－sin 30°sin 10°
B. cos 30°cos 10°＋sin 30°sin 10°
C. sin 30°cos 10°－sin 10°cos 30°
D. sin 30°cos 10°＋sin 10°cos 30°
2. cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)·sin(25°＋α)的值为(　B　)
A. － B.
C. － D.
3. 已知sin(α＋60°)＝，30°＜α＜120°，则cos α等于(　A　)
A. B. －
C. D. －
4. 若cos(α－β)＝，cos 2α＝，且α，β均为锐角，α＜β，则α＋β＝ 　. 5.5 导学1　两角差的余弦公式
知识点一　两角差的余弦公式
　　　　　　　　　　　　　　　　
　 知识梳理
两角差的余弦公式 cos(α－β)＝　 　
简记符号 C(α－β)
使用条件 α，β都是　 　角
点拨：1.公式的结构特征
2.公式中的α，β都是任意角，既可以是一个角，也可以是几个角的组合.
例1　求值：(1)cos 75°；
(2)cos cos ＋cos sin .
[反思感悟]　利用两角差的余弦公式求值的一般思路
(1)把非特殊角转化为特殊角的差，正用公式直接求值.
(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的右边形式，然后逆用公式求值.
知识点二　给值(式)求值
例2　(1)若sin(π＋θ)＝－，θ是第二象限角，sin＝－，φ是第三象限角，求cos(θ－φ)的值.
(2)已知α，β为锐角，且cos α＝，cos(α＋β)＝－，求cos β的值.
[反思感悟]　给值求值的解题策略
(1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角.
(2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换.常见角的变换有：
①α＝(α＋β)－β；②β＝；
③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β).
知识点三　利用公式进行化简
例3　已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0＜β＜α＜，求β的值.
[反思感悟]　已知三角函数值求角的解题步骤
(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围；
(2)求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数；
(3)结合三角函数值及角的范围求角.
提醒：由三角函数值求角时，易忽视角的范围，而得到错误答案.
　 随堂巩固
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. cos 20°等于(　 　)
A. cos 30°cos 10°－sin 30°sin 10°
B. cos 30°cos 10°＋sin 30°sin 10°
C. sin 30°cos 10°－sin 10°cos 30°
D. sin 30°cos 10°＋sin 10°cos 30°
2. cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)·sin(25°＋α)的值为(　 　)
A. － B.
C. － D.
3. 已知sin(α＋60°)＝，30°＜α＜120°，则cos α等于(　 　)
A. B. －
C. D. －
4. 若cos(α－β)＝，cos 2α＝，且α，β均为锐角，α＜β，则α＋β＝ 　. (共21张PPT)
五、三角恒等变换
导学1　两角差的余弦公式
　高中数学 必修 第一册
三角函数
第五章
知 识 点 一
知 识 梳 理
知识点一　两角差的余弦公式
两角差的余弦公式 cos(α－β)＝_________________________
简记符号 C(α－β)
使用条件 α，β都是__________角
cos αcos β＋sin αsin β
任意
点拨：1.公式的结构特征
2.公式中的α，β都是任意角，既可以是一个角，也可以是几个角的组合.
例1　求值：(1)cos 75°；
(2)cos cos ＋cos sin .
解：(1)原式＝cos(120°－45°)
＝cos 120°cos 45°＋sin 120°·sin 45°
＝－××
＝.
(2)原式＝cos cos ＋sin sin
＝cos
＝cos
＝.
[反思感悟]　利用两角差的余弦公式求值的一般思路
(1)把非特殊角转化为特殊角的差，正用公式直接求值.
(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的右边形式，然后逆用公式求值.
知 识 点 二
知识点二　给值(式)求值
例2　(1)若sin(π＋θ)＝－，θ是第二象限角，sin＝
－，φ是第三象限角，求cos(θ－φ)的值.
解：∵sin(π＋θ)＝－sin θ＝－，∴sin θ＝，又θ是第二象限角，∴cos θ＝－.
∵sin＝cos φ＝－，且φ为第三象限角，
∴sin φ＝－，∴cos(θ－φ)＝cos θcos φ＋sin θsin φ＝××.
(2)已知α，β为锐角，且cos α＝，cos(α＋β)＝－，求cos β的值.
解：∵α，β为锐角，∴0＜α＋β＜π.由cos(α＋β)＝－，得
sin(α＋β)＝.
又cos α＝，∴sin α＝，∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝××.
[反思感悟]　给值求值的解题策略
(1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角.
(2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换.常见角的变换有：
①α＝(α＋β)－β；②β＝；
③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β).
知 识 点 三
知识点三　利用公式进行化简
例3　已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0＜β＜α＜，求β的值.
解：由cos α＝，0＜α＜，得sin α＝
.由0＜β＜α＜，得0＜α－β＜.
又cos(α－β)＝，∴sin(α－β)＝
.∵β＝α－(α－β)，∴cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos (α－β)＋sin αsin (α－β)＝××.∵0＜β＜，
∴β＝.
[反思感悟]　已知三角函数值求角的解题步骤
(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围；
(2)求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数；
(3)结合三角函数值及角的范围求角.
提醒：由三角函数值求角时，易忽视角的范围，而得到错误答案.
随 堂 巩 固
1. cos 20°等于(　　)
A. cos 30°cos 10°－sin 30°sin 10°
B. cos 30°cos 10°＋sin 30°sin 10°
C. sin 30°cos 10°－sin 10°cos 30°
D. sin 30°cos 10°＋sin 10°cos 30°
B
2. cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)·sin(25°＋α)的值为(　　)
A. － B.
C. － D.
B
3. 已知sin(α＋60°)＝，30°＜α＜120°，则cos α等于(　　)
A. B. －
C. D. －
A
4. 若cos(α－β)＝，cos 2α＝，且α，β均为锐角，α＜β，则
α＋β＝_________.

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