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5.5 导学2　两角和与差的正弦、余弦公式
知识点一　两角和与差的正弦、余弦公式
　　　　　　　　　　　　　　　　
　 知识梳理
两角和与差的正弦、余弦公式
名称 简记符号 公式 使用条件
两角差的余弦公式 C(α－β) cos(α－β)＝　cos α· cos β＋sin αsin β α，β∈R
两角和的余弦公式 C(α＋β) cos(α＋β)＝　cos α· cos β－sin αsin β α，β∈R
两角和的正弦公式 S(α＋β) sin(α＋β)＝　sin α·cos β＋cos αsin β　 α，β∈R
两角差的正弦公式 S(α－β) sin(α－β)＝　sin α· cos β－cos αsin β α，β∈R
点拨：1.理顺公式间的联系：C(α＋β)C(α－β)S(α－β)S(α＋β).
2.注意公式的结构特征和符号规律：对于公式C(α－β)，C(α＋β)，可记为“同名相乘，符号反”；对于公式S(α－β)，S(α＋β)，可记为“异名相乘，符号同”.
例1　(1)cos 70°cos 50°＋cos 200°cos 40°等于(　B　)
A. － B. －
C. D.
【解析】方法一　原式＝sin 20°sin 40°－cos 20°cos 40°＝－(cos 20°cos 40°－
sin 20°sin 40°)＝－cos 60°＝－.
方法二　原式＝cos 70°sin 40°－cos 20°cos 40°＝sin 40°·cos 70°－sin 70°cos 40°＝sin(40°－70°)＝sin(－30°)＝－sin 30°＝－.
(2)等于(　A　)
A. B.
C. 1 D.
【解析】原式＝
＝
＝
＝.
[反思感悟]　解给角求值问题的策略
(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角函数式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形.
(2)一般途径有：将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，变换分子、分母的形式进行约分，解题时要注意逆用或变形用公式.
知识点二　给值(式)求值
例2　已知sin α＝，cos β＝－，且α为第一象限角，β为第二象限角，求sin(α＋β)的值.
解：∵α为第一象限角，β为第二象限角，sin α＝，cos β＝－，∴cos α＝，sin β＝，∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝××.
[延伸探究1]　 若本例条件不变，求sin(α－β)的值.
解：∵α为第一象限角，β为第二象限角，sin α＝，cos β＝－，∴cos α＝，sin β＝，∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝××＝－.
[延伸探究2]　 若本例条件不变，求cos(α＋β)的值.
解：由以上可知cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝××＝－.
[反思感悟]　给值求值的解题策略
(1)在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、凑角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角，具体做法是：
①当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差.
②当条件中只有一个已知角时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角.
(2)此类问题中，角的范围不容忽视，解题时往往需要根据三角函数值缩小角的范围.
知识点三　给值求角问题
例3　已知sin α＝，sin β＝，且α和β均为钝角，求α＋β的值.
解：∵α和β均为钝角，∴cos α＝－＝－，
cos β＝－＝－.由α和β均为钝角，得π＜α＋β＜2π，∴cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝××，∴α＋β＝.
[反思感悟]　解决给值求角问题的方法：解决此类题目的关键是求出所求角的某一三角函数值，而三角函数的选取一般要根据所求角的范围来确定，当所求角范围是(0，π)或(π，2π)时，选取求余弦值，当所求角范围是或时，选取求正弦值.
　 随堂巩固
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. sin 105°的值为(　D　)
A. B.
C. D.
2. sin 21°cos 81°－cos 21°sin 81°等于(　A　)
A. － B. －
C. D.
3. 若cos α＝－，α是第三象限角，则sin等于(　A　)
A. － B.
C. － D.
4. ＝ 　. 5.5 导学2　两角和与差的正弦、余弦公式
知识点一　两角和与差的正弦、余弦公式
　　　　　　　　　　　　　　　　
　 知识梳理
两角和与差的正弦、余弦公式
名称 简记符号 公式 使用条件
两角差的余弦公式 C(α－β) cos(α－β)＝　 α，β∈R
两角和的余弦公式 C(α＋β) cos(α＋β)＝　 α，β∈R
两角和的正弦公式 S(α＋β) sin(α＋β)＝　 　 α，β∈R
两角差的正弦公式 S(α－β) sin(α－β)＝　 α，β∈R
点拨：1.理顺公式间的联系：C(α＋β)C(α－β)S(α－β)S(α＋β).
2.注意公式的结构特征和符号规律：对于公式C(α－β)，C(α＋β)，可记为“同名相乘，符号反”；对于公式S(α－β)，S(α＋β)，可记为“异名相乘，符号同”.
例1　(1)cos 70°cos 50°＋cos 200°cos 40°等于(　 　)
A. － B. －
C. D.
(2)等于(　 　)
A. B.
C. 1 D.
[反思感悟]　解给角求值问题的策略
(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角函数式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形.
(2)一般途径有：将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，变换分子、分母的形式进行约分，解题时要注意逆用或变形用公式.
知识点二　给值(式)求值
例2　已知sin α＝，cos β＝－，且α为第一象限角，β为第二象限角，求sin(α＋β)的值.
[延伸探究1]　 若本例条件不变，求sin(α－β)的值.
[延伸探究2]　 若本例条件不变，求cos(α＋β)的值.
[反思感悟]　给值求值的解题策略
(1)在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、凑角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角，具体做法是：
①当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差.
②当条件中只有一个已知角时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角.
(2)此类问题中，角的范围不容忽视，解题时往往需要根据三角函数值缩小角的范围.
知识点三　给值求角问题
例3　已知sin α＝，sin β＝，且α和β均为钝角，求α＋β的值.
[反思感悟]　解决给值求角问题的方法：解决此类题目的关键是求出所求角的某一三角函数值，而三角函数的选取一般要根据所求角的范围来确定，当所求角范围是(0，π)或(π，2π)时，选取求余弦值，当所求角范围是或时，选取求正弦值.
　 随堂巩固
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. sin 105°的值为(　 　)
A. B.
C. D.
2. sin 21°cos 81°－cos 21°sin 81°等于(　 　)
A. － B. －
C. D.
3. 若cos α＝－，α是第三象限角，则sin等于(　 　)
A. － B.
C. － D.
4. ＝ 　. (共21张PPT)
五、三角恒等变换
导学2　两角和与差的正弦、余弦公式
　高中数学 必修 第一册
三角函数
第五章
知 识 点 一
两角和与差的正弦、余弦公式
知 识 梳 理
知识点一　两角和与差的正弦、余弦公式
名称 简记符号 公式 使用条件
两角差的余弦公式 C(α－β) cos(α－β)＝______________ ______________ α，β∈R
两角和的余弦公式 C(α＋β) cos(α＋β)＝______________ __________ α，β∈R
cos α· cos β＋
sin αsin β
cos α·cos β－
sin αsin β
名称 简记符号 公式 使用条件
两角和的正弦公式 S(α＋β) sin(α＋β)＝_____________ ___________ α，β∈R
两角差的正弦公式 S(α－β) sin(α－β)＝_____________ ___________ α，β∈R
sin α·cos β＋
cos αsin β
sin α·cos β－
cos αsin β
点拨：1.理顺公式间的联系：C(α＋β)
C(α－β)
S(α－β)
S(α＋β).
2.注意公式的结构特征和符号规律：对于公式C(α－β)，C(α＋β)，可记为“同名相乘，符号反”；对于公式S(α－β)，S(α＋β)，可记为“异名相乘，符号同”.
例1　(1)cos 70°cos 50°＋cos 200°cos 40°等于(　　)
A. － B. －
C. D.
【解析】方法一　原式＝sin 20°sin 40°－cos 20°cos 40°＝－(cos 20°cos 40°－sin 20°sin 40°)＝－cos 60°＝－.
方法二　原式＝cos 70°sin 40°－cos 20°cos 40°＝
sin 40°·cos 70°－sin 70°cos 40°＝sin(40°－70°)＝
sin(－30°)＝－sin 30°＝－.
B
(2)等于(　　)
A. B.
C. 1 D.
【解析】原式＝
＝
＝
＝.
A
[反思感悟]　解给角求值问题的策略
(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角函数式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形.
(2)一般途径有：将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，变换分子、分母的形式进行约分，解题时要注意逆用或变形用公式.
知 识 点 二
知识点二　给值(式)求值
例2　已知sin α＝，cos β＝－，且α为第一象限角，β为第二象限角，求sin(α＋β)的值.
解：∵α为第一象限角，β为第二象限角，sin α＝，cos β＝－，∴cos α＝，sin β＝，∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝××.
[延伸探究1]　 若本例条件不变，求sin(α－β)的值.
解：∵α为第一象限角，β为第二象限角，sin α＝，cos β＝－，∴cos α＝，sin β＝，∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝××＝－.
[延伸探究2]　 若本例条件不变，求cos(α＋β)的值.
解：由以上可知cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝××＝－.
[反思感悟]　给值求值的解题策略
(1)在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、凑角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角，具体做法是：
①当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差.
②当条件中只有一个已知角时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角.
(2)此类问题中，角的范围不容忽视，解题时往往需要根据三角函数值缩小角的范围.
知 识 点 三
知识点三　给值求角问题
例3　已知sin α＝，sin β＝，且α和β均为钝角，求α＋β的值.
解：∵α和β均为钝角，∴cos α＝－＝－，
cos β＝－＝－.由α和β均为钝角，得π＜α＋β＜2π，∴cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝××，∴α＋β＝.
[反思感悟]　解决给值求角问题的方法：解决此类题目的关键是求出所求角的某一三角函数值，而三角函数的选取一般要根据所求角的范围来确定，当所求角范围是(0，π)或(π，2π)时，选取求余弦值，当所求角范围是或时，选取求正弦值.
随 堂 巩 固
1. sin 105°的值为(　　)
A. B.
C. D.
D
2. sin 21°cos 81°－cos 21°sin 81°等于(　　)
A. － B. －
C. D.
A
3. 若cos α＝－，α是第三象限角，则sin等于(　　)
A. － B.
C. － D.
A
4. ＝________.

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