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5.5 导学3　两角和与差的正切公式
　　　　　　　　　　　　　　　　
　 知识梳理
1. 正切公式
名称 公式 条件
两角和的正切公式T(α＋β) tan(α＋β)＝ α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)
两角差的正切公式T(α－β) tan(α－β)＝ α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z)
点拨：1.公式的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和.
2.符号变化规律可简记为“分子同，分母反”.
2. 正切公式的变形
tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)；
tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)；
1－tan αtan β＝；
1＋tan αtan β＝.
知识点一　两角和与差的正切公式的正用
例1　(1)设tan α，tan β是方程x2－3x＋2＝0的根，则tan(α＋β)的值为(　A　)
A. －3 B. －1
C. 1 D. 3
【解析】由题意知tan α＋tan β＝3，tan α·tan β＝2，
∴tan(α＋β)＝＝－3.
(2)若tan，则tan α＝ 　.
【解析】方法一　∵tan，∴6tan α－6＝1＋tan α(tan α≠－1)，∴tan α＝.
方法二　tan α＝tan＝
.
[反思感悟]　直接运用两角和与差的正切公式的注意点
(1)直接运用两角和与差的正切公式进行求值、化简与证明的关键是准确记忆公式，特别是中的符号规律是“分子相同、分母相反”.
(2)对于不能直接套用公式的情况，需根据已知与未知进行变形使之联系起来，有时还要借助角的变换技巧.
知识点二　两角和与差的正切公式的逆用
例2　计算：(1)；
解：原式＝tan(75°－15°)＝tan 60°＝.
(2)；
解：＝tan(45°－15°)＝
tan 30°＝.
(3).
解：tan(45°－15°)＝tan 30°＝.
[反思感悟]　逆用公式T(α±β)的注意点：一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换，如tan ＝1，tan ，tan 等.
知识点三　两角和与差的正切公式的变形应用
例3　(1)tan 25°＋tan 35°＋tan 25°tan 35°的计算结果为(　B　)
A. － B.
C. － D.
【解析】∵tan (25°＋35°)＝，∴tan 25°＋tan 35°＝(1－
tan 25°tan 35°)，∴tan 25°＋tan 35°＋tan 25°tan 35°＝.
(2)(1＋tan 21°)(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)·(1＋tan 24°)＝　4　.
【解析】(1＋tan 21°)(1＋tan 24°)＝1＋tan 21°＋tan 24°＋tan 21°tan 24°＝1＋tan(21°＋24°)(1－tan 21°·tan 24°)＋tan 21°tan 24°＝1＋(1－tan 21°·tan 24°)·tan 45°＋tan 21°·tan 24°＝1＋1－tan 21°·tan 24°＋tan 21°tan 24°＝2.同理可得(1＋tan 22°)·(1＋tan 23°)＝2，∴原式＝2×2＝4.
[反思感悟]　1.整体意识：若化简的式子中出现了“tan α±tan β”及“tan α·tan β”两个整体，常考虑tan(α±β)的变形公式.
2.当一个式子中出现两角正切的和或差时，常考虑使用两角和或差的正切公式.
　 随堂巩固
1. 已知tan α＝3，则tan等于(　C　)
A. －3 B. 3
C. －2 D. 2
2. 已知tan α＝2，tan β＝3，则tan(α＋β)等于(　C　)
A. 1 B. 5
C. －1 D. －5
3. 已知tan(α＋β)＝，tan，则tan的值是(　B　)
A. B.
C. D.
4. 计算：＝　1　. 5.5 导学3　两角和与差的正切公式
　　　　　　　　　　　　　　　　
　 知识梳理
1. 正切公式
名称 公式 条件
两角和的正切公式T(α＋β) tan(α＋β)＝ α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)
两角差的正切公式T(α－β) tan(α－β)＝ α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z)
点拨：1.公式的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和.
2.符号变化规律可简记为“分子同，分母反”.
2. 正切公式的变形
tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)；
tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)；
1－tan αtan β＝；
1＋tan αtan β＝.
知识点一　两角和与差的正切公式的正用
例1　(1)设tan α，tan β是方程x2－3x＋2＝0的根，则tan(α＋β)的值为(　 　)
A. －3 B. －1
C. 1 D. 3
(2)若tan，则tan α＝ 　.
[反思感悟]　直接运用两角和与差的正切公式的注意点
(1)直接运用两角和与差的正切公式进行求值、化简与证明的关键是准确记忆公式，特别是中的符号规律是“分子相同、分母相反”.
(2)对于不能直接套用公式的情况，需根据已知与未知进行变形使之联系起来，有时还要借助角的变换技巧.
知识点二　两角和与差的正切公式的逆用
例2　计算：(1)；
(2)；
(3).
[反思感悟]　逆用公式T(α±β)的注意点：一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换，如tan ＝1，tan ，tan 等.
知识点三　两角和与差的正切公式的变形应用
例3　(1)tan 25°＋tan 35°＋tan 25°tan 35°的计算结果为(　 　)
A. － B.
C. － D.
(2)(1＋tan 21°)(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)·(1＋tan 24°)＝　 　.
[反思感悟]　1.整体意识：若化简的式子中出现了“tan α±tan β”及“tan α·tan β”两个整体，常考虑tan(α±β)的变形公式.
2.当一个式子中出现两角正切的和或差时，常考虑使用两角和或差的正切公式.
　 随堂巩固
1. 已知tan α＝3，则tan等于(　 　)
A. －3 B. 3
C. －2 D. 2
2. 已知tan α＝2，tan β＝3，则tan(α＋β)等于(　 　)
A. 1 B. 5
C. －1 D. －5
3. 已知tan(α＋β)＝，tan，则tan的值是(　 　)
A. B.
C. D.
4. 计算：＝　 　. (共22张PPT)
五、三角恒等变换
导学3　两角和与差的正切公式
　高中数学 必修 第一册
三角函数
第五章
知 识 梳 理
1. 正切公式
名称 公式 条件
两角和的正切公式T(α＋β) tan(α＋β)＝______________ α，β，α＋β ≠kπ＋(k∈Z)
两角差的正切公式T(α－β) tan(α－β)＝_____________ α，β，α－β ≠kπ＋(k∈Z)
点拨：1.公式的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和.
2.符号变化规律可简记为“分子同，分母反”.
2. 正切公式的变形
tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)；
tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)；
1－tan αtan β＝；
1＋tan αtan β＝.
知 识 点 一
知识点一　两角和与差的正切公式的正用
例1　(1)设tan α，tan β是方程x2－3x＋2＝0的根，则tan(α＋β)的值为(　　)
A. －3 B. －1
C. 1 D. 3
【解析】由题意知tan α＋tan β＝3，tan α·tan β＝2，
∴tan(α＋β)＝＝－3.
A
(2)若tan，则tan α＝________.
【解析】方法一　∵tan，∴6tan α－6＝1＋tan α(tan α≠－1)，∴tan α＝.
方法二　tan α＝tan＝
.
[反思感悟]　直接运用两角和与差的正切公式的注意点
(1)直接运用两角和与差的正切公式进行求值、化简与证明的关键是准确记忆公式，特别是中的符号规律是“分子相同、分母相反”.
(2)对于不能直接套用公式的情况，需根据已知与未知进行变形使之联系起来，有时还要借助角的变换技巧.
知 识 点 二
知识点二　两角和与差的正切公式的逆用
例2　计算：(1)；
解：原式＝tan(75°－15°)＝tan 60°＝.
(2)；
解：＝tan(45°－15°)＝
tan 30°＝.
(3).
解：
tan(45°－15°)＝tan 30°＝.
[反思感悟]　逆用公式T(α±β)的注意点：一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换，如tan ＝1，tan ，tan 等.
知 识 点 三
知识点三　两角和与差的正切公式的变形应用
例3　(1)tan 25°＋tan 35°＋tan 25°tan 35°的计算结果
为(　　)
A. － B.
C. － D.
【解析】∵tan (25°＋35°)＝，∴tan 25°＋tan 35°＝(1－tan 25°tan 35°)，∴tan 25°＋tan 35°＋tan 25°tan 35°＝.
B
(2)(1＋tan 21°)(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)·(1＋tan 24°)＝__________.
【解析】(1＋tan 21°)(1＋tan 24°)＝1＋tan 21°＋tan 24°＋tan 21°tan 24°＝1＋tan(21°＋24°)(1－tan 21°·tan 24°)＋tan 21°tan 24°＝1＋(1－tan 21°·tan 24°)·tan 45°＋tan 21°·tan 24°＝1＋1－tan 21°·tan 24°＋tan 21°
tan 24°＝2.同理可得(1＋tan 22°)·(1＋tan 23°)＝2，
∴原式＝2×2＝4.
4
[反思感悟]　1.整体意识：若化简的式子中出现了“tan α±
tan β”及“tan α·tan β”两个整体，常考虑tan(α±β)的变形公式.
2.当一个式子中出现两角正切的和或差时，常考虑使用两角和或差的正切公式.
随 堂 巩 固
1. 已知tan α＝3，则tan等于(　　)
A. －3 B. 3
C. －2 D. 2
C
2. 已知tan α＝2，tan β＝3，则tan(α＋β)等于(　　)
A. 1 B. 5
C. －1 D. －5
C
3. 已知tan(α＋β)＝，tan，则tan的值是
(　　)
A. B.
C. D.
B
4. 计算：＝__________.
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