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五、三角恒等变换
导学4　二倍角的正弦、余弦、正切公式
　高中数学 必修 第一册
三角函数
第五章
知 识 梳 理
二倍角的正弦、余弦、正切公式
1. 二倍角公式
函数 公式 β＝α 简记符号
正弦 sin 2α＝___________________ S(α＋β)
余弦 cos 2α＝_______________ ＝___________ ＝___________ C(α＋β)
正切 tan 2α＝_____________ T(α＋β)
2sin αcos α
cos2α－sin2α
2cos2α－1
1－2sin2α
点拨：倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如6α是3α的2倍，3α是的2倍，也就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的.
2. 二倍角公式的变形
(1)逆用：2sin αcos α＝sin 2α，2cos2α－1＝cos 2α，1－2sin2α＝cos 2α；
(2)变形：①cos2α＝，sin2α＝；
②1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α.
知 识 点 一
知识点一　给角求值
例1　求下列各式的值：
(1)sin2－cos2；(2)；
(3)cos 20°·cos 40°·cos 80°.
解：(1)原式＝－＝－cos＝
－cos＝cos .
(2)原式＝＝2×＝2×＝2.
(3)原式＝＝
.
[反思感悟]　对于给角求值问题，一般有两类
(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角.
(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.
知 识 点 二
知识点二　给值求值(角)
例2　(1)已知α为锐角，且满足cos 2α＝sin α，则α等于(　　)
A. 75° B. 45°
C. 60° D. 30°
【解析】∵cos 2α＝1－2sin2α，∴由题意知2sin2α＋sin α－1＝0，即(sin α＋1)(2sin α－1)＝0.∵α为锐角，
∴sin α＝，∴α＝30°.
D
(2)已知cos≤α＜，求cos的值.
解：∵≤α＜，∴≤α＋.∵cos＞0，∴＜α＋.∴sin＝－＝－＝
－，∴cos 2α＝sin＝2sincos＝2××＝－，sin 2α＝－cos＝1－2cos2＝1－2×，∴coscos 2α－sin 2α＝×＝－.
[反思感悟]　运用二倍角公式求解角的三角函数值的思路
(1)观察式子的结构特点及角之间是否存在特殊的倍数关系.
(2)结合诱导公式恰当变换函数名称，灵活处理系数，构造二倍角公式的形式.
知 识 点 三
知识点三　化简与证明
例3　(1)化简：.
解：原式＝＝tan 2θ.
(2)证明：cos2(A＋B)－sin2(A－B)＝cos 2Acos 2B.
证明：左边＝＝
(cos 2Acos 2B－sin 2Asin 2B＋
cos 2Acos 2B＋sin 2Asin 2B)＝cos 2A·cos 2B＝右边，∴原等式成立.
[反思感悟]　三角函数式的化简与证明
(1)化简的方法：①弦切互化，异名化同名，异角化同角；②降幂或升幂；③一个重要结论：
(sin θ±cos θ)2＝1±sin 2θ.
(2)证明三角恒等式的方法：①从复杂的一边入手，证明一边等于另一边；②比较法，左边－右边＝0，左边/右边＝1；③分析法，从要证明的等式出发，一步步寻找等式成立的条件.
随 堂 巩 固
1. 下列各式中，值为的是(　　)
A. 2sin 15°cos 15°
B. cos215°－sin215°
C. 2sin215°
D. sin215°＋cos215°
B
2. 若sin ，则cos α等于(　　)
A. － B. －
C. D.
C
3. 已知sin 2α＝－，则cos2的值为(　　)
A. －
B. －
C.
D.
C
4. 设sin 2α＝－sin α，α∈，则tan 2α的值为________. 5.5 导学4　二倍角的正弦、余弦、正切公式
　　　　　　　　　　　　　　　　
　 知识梳理
二倍角的正弦、余弦、正切公式
1. 二倍角公式
函数 公式 β＝α 简记符号
正弦 sin 2α＝　 　 S(α＋β)
余弦 cos 2α＝　 　 ＝　 　 ＝　 　 C(α＋β)
正切 tan 2α＝ T(α＋β)
点拨：倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如6α是3α的2倍，3α是的2倍，也就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的.
2. 二倍角公式的变形
(1)逆用：2sin αcos α＝sin 2α，2cos2α－1＝cos 2α，1－2sin2α＝cos 2α；
(2)变形：①cos2α＝，sin2α＝；
②1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α.
知识点一　给角求值
例1　求下列各式的值：
(1)sin2－cos2；(2)；
(3)cos 20°·cos 40°·cos 80°.
[反思感悟]　对于给角求值问题，一般有两类
(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角.
(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.
知识点二　给值求值(角)
例2　(1)已知α为锐角，且满足cos 2α＝sin α，则α等于(　 　)
A. 75° B. 45°
C. 60° D. 30°
(2)已知cos≤α＜，求cos的值.
[反思感悟]　运用二倍角公式求解角的三角函数值的思路
(1)观察式子的结构特点及角之间是否存在特殊的倍数关系.
(2)结合诱导公式恰当变换函数名称，灵活处理系数，构造二倍角公式的形式.
知识点三　化简与证明
例3　(1)化简：.
(2)证明：cos2(A＋B)－sin2(A－B)＝cos 2Acos 2B.
[反思感悟]　三角函数式的化简与证明
(1)化简的方法：①弦切互化，异名化同名，异角化同角；②降幂或升幂；③一个重要结论：
(sin θ±cos θ)2＝1±sin 2θ.
(2)证明三角恒等式的方法：①从复杂的一边入手，证明一边等于另一边；②比较法，左边－右边＝0，左边/右边＝1；③分析法，从要证明的等式出发，一步步寻找等式成立的条件.
　 随堂巩固
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 下列各式中，值为的是(　 　)
A. 2sin 15°cos 15°
B. cos215°－sin215°
C. 2sin215°
D. sin215°＋cos215°
2. 若sin ，则cos α等于(　 　)
A. － B. －
C. D.
3. 已知sin 2α＝－，则cos2的值为(　 　)
A. －
B. －
C.
D.
4. 设sin 2α＝－sin α，α∈，则tan 2α的值为 　. 5.5 导学4　二倍角的正弦、余弦、正切公式
　　　　　　　　　　　　　　　　
　 知识梳理
二倍角的正弦、余弦、正切公式
1. 二倍角公式
函数 公式 β＝α 简记符号
正弦 sin 2α＝　2sin αcos α　 S(α＋β)
余弦 cos 2α＝　cos2α－sin2α　 ＝　2cos2α－1　 ＝　1－2sin2α　 C(α＋β)
正切 tan 2α＝ T(α＋β)
点拨：倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如6α是3α的2倍，3α是的2倍，也就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的.
2. 二倍角公式的变形
(1)逆用：2sin αcos α＝sin 2α，2cos2α－1＝cos 2α，1－2sin2α＝cos 2α；
(2)变形：①cos2α＝，sin2α＝；
②1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α.
知识点一　给角求值
例1　求下列各式的值：
(1)sin2－cos2；(2)；
(3)cos 20°·cos 40°·cos 80°.
解：(1)原式＝－＝－cos＝
－cos＝cos .
(2)原式＝＝2×＝2×＝2.
(3)原式＝＝
.
[反思感悟]　对于给角求值问题，一般有两类
(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角.
(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.
知识点二　给值求值(角)
例2　(1)已知α为锐角，且满足cos 2α＝sin α，则α等于(　D　)
A. 75° B. 45°
C. 60° D. 30°
【解析】∵cos 2α＝1－2sin2α，∴由题意知2sin2α＋sin α－1＝0，即(sin α＋1)(2sin α－1)＝0.∵α为锐角，∴sin α＝，∴α＝30°.
(2)已知cos≤α＜，求cos的值.
解：∵≤α＜，∴≤α＋.∵cos＞0，∴＜α＋.∴sin＝－＝－＝－，∴cos 2α＝sin＝2sincos＝2××＝－，sin 2α＝－cos＝1－2cos2＝
1－2×，∴coscos 2α－sin 2α＝×＝－.
[反思感悟]　运用二倍角公式求解角的三角函数值的思路
(1)观察式子的结构特点及角之间是否存在特殊的倍数关系.
(2)结合诱导公式恰当变换函数名称，灵活处理系数，构造二倍角公式的形式.
知识点三　化简与证明
例3　(1)化简：.
解：原式＝＝tan 2θ.
(2)证明：cos2(A＋B)－sin2(A－B)＝cos 2Acos 2B.
证明：左边＝＝
(cos 2Acos 2B－sin 2Asin 2B＋cos 2Acos 2B＋sin 2Asin 2B)＝cos 2A·cos 2B＝右边，∴原等式成立.
[反思感悟]　三角函数式的化简与证明
(1)化简的方法：①弦切互化，异名化同名，异角化同角；②降幂或升幂；③一个重要结论：
(sin θ±cos θ)2＝1±sin 2θ.
(2)证明三角恒等式的方法：①从复杂的一边入手，证明一边等于另一边；②比较法，左边－右边＝0，左边/右边＝1；③分析法，从要证明的等式出发，一步步寻找等式成立的条件.
　 随堂巩固
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 下列各式中，值为的是(　B　)
A. 2sin 15°cos 15°
B. cos215°－sin215°
C. 2sin215°
D. sin215°＋cos215°
2. 若sin ，则cos α等于(　C　)
A. － B. －
C. D.
3. 已知sin 2α＝－，则cos2的值为(　C　)
A. －
B. －
C.
D.
4. 设sin 2α＝－sin α，α∈，则tan 2α的值为 　.

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