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5.5 导学5　简单的三角恒等变换(一)
知识点一　半角公式
　　　　　　　　　　　　　　　　
　 知识梳理
半角公式
sin ＝　±　；cos ＝　±　；tan ＝　±　.
例1　已知sin α＝－，π＜α＜，求sin ，cos ，tan 的值.
解：∵π＜α＜，sin α＝－，∴cos α＝－，且，∴sin ，cos ＝－＝－，tan ＝－2.
[反思感悟]　运用半角公式求值的思路
(1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解.
(2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围.
注意：已知cos α的值可求的正弦、余弦、正切值，但要确定其符号.
知识点二　和差化积、积化和差
　　　　　　　　　　　　　　　　
　 知识梳理
1. 积化和差
sin αcos β＝ [sin (α＋β)＋sin (α－β)]　；
cos αsin β＝ [sin (α＋β)－sin (α－β)]　；
cos αcos β＝ [cos (α＋β)＋cos (α－β)]　；
sin αsin β＝　－[cos (α＋β)－cos (α－β)]　.
2. 和差化积
sin θ＋sin φ＝　2sin cos 　；
sin θ－sin φ＝　2cos sin 　；
cos θ＋cos φ＝　2cos cos 　；
cos θ－cos φ＝　－2sin sin 　.
例2　求sin220°＋cos250°＋sin 20°cos 50°的值.
解：方法一　sin220°＋cos250°＋sin 20°cos 50°＝(1－cos 40°)＋(1＋cos 100°)＋[sin 70°＋sin (－30°)]＝(cos 100°－cos 40°＋sin 70°)＝(－2sin 70°sin 30°＋sin 70°)＝(－sin 70°＋sin 70°)＝.
方法二　sin220°＋cos250°＋sin 20°·cos 50°＝(1－cos 40°)＋cos 50°(cos 50°＋sin 20°)＝(1－cos 40°)＋cos 50°·(sin 40°＋sin 20°)＝(1－cos 40°)＋
cos 50°·2sin 30°·cos 10°＝(1－cos 40°)＋cos 50°cos 10°＝(1－cos 40°)＋
(cos 60°＋cos 40°)＝.
方法三　令A＝sin220°＋cos250°＋sin 20°cos 50°，B＝cos220°＋sin250°＋
cos 20°sin 50°.则A＋B＝2＋sin 70°，A－B＝－cos 40°＋cos 100°＋sin (－30°)＝－sin 70°－，两式相加得2A＝，即A＝，故sin220°＋cos250°＋sin 20°cos 50°＝.
[反思感悟]　积化和差、和差化积的转换用到了换元的方法，如把α＋β看作θ，α－β看作φ，从而把包含α，β的三角函数式转化为θ，φ的三角函数式，或者把sin αcos β看作x，cos αsin β看作y，把等式看作x，y的方程，则原问题转化为解方程(组)求x，它们都体现了化归思想.
知识点三　三角函数式的化简与证明
例3　(1)化简：2；
解：原式＝2＋
＝2＝2·|sin 4＋cos 4|＋2|cos 4|.
由于π＜4＜，∴sin 4＜0，cos 4＜0，sin 4＋cos 4＜0，
∴原式＝－2(sin 4＋cos 4)－2cos 4＝－2sin 4－4cos 4.
(2)证明：.
证明：方法一　左边＝＝右边，∴原等式成立.
方法二　左边＝＝
＝右边，∴原等式成立.
[反思感悟]　1.化简问题中的“三变”
(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式.
(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切.
(3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升幂、降幂、配方、开方等.
2.三角恒等式证明的常见途径
(1)从复杂的一端向简单一端化简，即化繁为简.
(2)两边化简，使其都等于中间某个式子，即左右归一.
(3)把式子中的切函数化为弦函数，即化切为弦.
(4)利用分析法、综合法找与原式等价的式子，即等价化归.
　 随堂巩固
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 已知cos α＝－＜α＜π，则sin 等于(　D　)
A. － B.
C. － D.
2. 已知cos θ＝－，－180°＜θ＜－90°，则cos 等于(　B　)
A. － B.
C. － D.
3. 化简的结果是(　C　)
A. －cos 1 B. cos 1
C. cos 1 D. －cos 1
4. 化简：＝　tan 　. 5.5 导学5　简单的三角恒等变换(一)
知识点一　半角公式
　　　　　　　　　　　　　　　　
　 知识梳理
半角公式
sin ＝　 　；cos ＝　 　；tan ＝　 　.
例1　已知sin α＝－，π＜α＜，求sin ，cos ，tan 的值.
[反思感悟]　运用半角公式求值的思路
(1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解.
(2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围.
注意：已知cos α的值可求的正弦、余弦、正切值，但要确定其符号.
知识点二　和差化积、积化和差
　　　　　　　　　　　　　　　　
　 知识梳理
1. 积化和差
sin αcos β＝ 　；
cos αsin β＝ 　；
cos αcos β＝ 　；
sin αsin β＝　 　.
2. 和差化积
sin θ＋sin φ＝　 　；
sin θ－sin φ＝　 　；
cos θ＋cos φ＝　 　；
cos θ－cos φ＝　 　.
例2　求sin220°＋cos250°＋sin 20°cos 50°的值.
[反思感悟]　积化和差、和差化积的转换用到了换元的方法，如把α＋β看作θ，α－β看作φ，从而把包含α，β的三角函数式转化为θ，φ的三角函数式，或者把sin αcos β看作x，cos αsin β看作y，把等式看作x，y的方程，则原问题转化为解方程(组)求x，它们都体现了化归思想.
知识点三　三角函数式的化简与证明
例3　(1)化简：2；
(2)证明：.
[反思感悟]　1.化简问题中的“三变”
(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式.
(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切.
(3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升幂、降幂、配方、开方等.
2.三角恒等式证明的常见途径
(1)从复杂的一端向简单一端化简，即化繁为简.
(2)两边化简，使其都等于中间某个式子，即左右归一.
(3)把式子中的切函数化为弦函数，即化切为弦.
(4)利用分析法、综合法找与原式等价的式子，即等价化归.
　 随堂巩固
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 已知cos α＝－＜α＜π，则sin 等于(　 　)
A. － B.
C. － D.
2. 已知cos θ＝－，－180°＜θ＜－90°，则cos 等于(　 　)
A. － B.
C. － D.
3. 化简的结果是(　 　)
A. －cos 1 B. cos 1
C. cos 1 D. －cos 1
4. 化简：＝　 　. (共23张PPT)
五、三角恒等变换
导学5　简单的三角恒等变换(一)
　高中数学 必修 第一册
三角函数
第五章
知 识 点 一
半角公式
sin ＝_____________；cos ＝______________；tan ＝
____________.
知 识 梳 理
知识点一　半角公式
±
±
±
例1　已知sin α＝－，π＜α＜，求sin ，cos ，tan 的值.
解：∵π＜α＜，sin α＝－，∴cos α＝－，且，∴sin ，cos ＝－＝－，
tan ＝－2.
[反思感悟]　运用半角公式求值的思路
(1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解.
(2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围.
注意：已知cos α的值可求的正弦、余弦、正切值，但要确定其符号.
知 识 点 二
1. 积化和差
sin αcos β＝_________________________；
cos αsin β＝_________________________；
cos αcos β＝_________________________；
sin αsin β＝__________________________.
知 识 梳 理
知识点二　和差化积、积化和差
[sin (α＋β)＋sin (α－β)]
[sin (α＋β)－sin (α－β)]
[cos (α＋β)＋cos (α－β)]
－[cos (α＋β)－cos (α－β)]
2. 和差化积
sin θ＋sin φ＝_______________________；
sin θ－sin φ＝_______________________；
cos θ＋cos φ＝_______________________；
cos θ－cos φ＝_______________________.
2sin cos
2cos sin
2cos cos
－2sin sin
例2　求sin220°＋cos250°＋sin 20°cos 50°的值.
解：方法一　sin220°＋cos250°＋sin 20°cos 50°＝(1－
cos 40°)＋(1＋cos 100°)＋[sin 70°＋sin (－30°)]＝
(cos 100°－cos 40°＋sin 70°)＝(－2sin 70°
sin 30°＋sin 70°)＝(－sin 70°＋sin 70°)＝.
方法二　sin220°＋cos250°＋sin 20°·cos 50°＝(1－
cos 40°)＋cos 50°(cos 50°＋sin 20°)＝(1－cos 40°)＋
cos 50°·(sin 40°＋sin 20°)＝(1－cos 40°)＋cos 50°
·2sin 30°·cos 10°＝(1－cos 40°)＋cos 50°cos 10°＝
(1－cos 40°)＋(cos 60°＋cos 40°)＝.
方法三　令A＝sin220°＋cos250°＋sin 20°cos 50°，B＝cos220°＋sin250°＋cos 20°sin 50°.则A＋B＝2＋sin 70°，
A－B＝－cos 40°＋cos 100°＋sin (－30°)＝－sin 70°－，两式相加得2A＝，即A＝，故sin220°＋cos250°＋
sin 20°cos 50°＝.
[反思感悟]　积化和差、和差化积的转换用到了换元的方法，如把α＋β看作θ，α－β看作φ，从而把包含α，β的三角函数式转化为θ，φ的三角函数式，或者把sin αcos β看作x，cos αsin β看作y，把等式看作x，y的方程，则原问题转化为解方程(组)求x，它们都体现了化归思想.
知 识 点 三
知识点三　三角函数式的化简与证明
例3　(1)化简：2；
解：原式＝2＋
＝2＝
2·|sin 4＋cos 4|＋2|cos 4|.
由于π＜4＜，∴sin 4＜0，cos 4＜0，sin 4＋cos 4＜0，
∴原式＝－2(sin 4＋cos 4)－2cos 4＝－2sin 4－4cos 4.
(2)证明：.
证明：方法一　左边＝
＝右边，∴原等式成立.
方法二　左边＝
＝＝右边，∴原等式成立.
[反思感悟]　1.化简问题中的“三变”
(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式.
(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切.
(3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升幂、降幂、配方、开方等.
2.三角恒等式证明的常见途径
(1)从复杂的一端向简单一端化简，即化繁为简.
(2)两边化简，使其都等于中间某个式子，即左右归一.
(3)把式子中的切函数化为弦函数，即化切为弦.
(4)利用分析法、综合法找与原式等价的式子，即等价化归.
随 堂 巩 固
1. 已知cos α＝－＜α＜π，则sin 等于(　　)
A. － B.
C. － D.
D
2. 已知cos θ＝－，－180°＜θ＜－90°，则cos 等于(　　)
A. － B.
C. － D.
B
3. 化简的结果是(　　)
A. －cos 1 B. cos 1
C. cos 1 D. －cos 1
C
4. 化简：＝____________.
tan

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