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五、三角恒等变换
导学6　简单的三角恒等变换(二)
　高中数学 必修 第一册
三角函数
第五章
知 识 点 一
辅助角公式：y＝asin x＋bcos x＝_____________________.

知 识 梳 理
知识点一　辅助角公式及其应用
·sin(x＋φ)
例1　已知函数f(x)＝2sin x(cos x－sin x)＋1.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
解：f(x)＝2sin x(cos x－sin x)＋1＝sin 2x＋cos 2x＝
sin，令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，得
－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，∴函数f(x)的单调递增区间为
，k∈Z.
(2)设α∈，f，求sin α的值.
解：∵fsin，∴sin，又α∈
，∴α＋∈，∴cos＝－，
∴sin α＝sin ＝sincos－cos
sin ××.
[反思感悟]　研究三角函数的性质，如单调性和最值问题，通常是把复杂的三角函数通过恰当的三角变换，转化为一种简单的三角函数，再研究转化后的函数的性质.在这个过程中，通常利用辅助角公式，将y＝asin x＋bcos x转化为y＝sin(x＋φ)，或y＝cos(x－φ)的形式，以便研究函数的性质.
知 识 点 二
知识点二　三角恒等变换在几何中的应用
例2　某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1 m，求割出的长方形桌面的最大面积，如图所示.
解：如图所示，连接OC，设∠COB＝θ，则
0°＜θ＜45°，OC＝1.
∵AB＝OB－OA＝cos θ－AD＝cos θ－sin θ，
∴S矩形ABCD＝AB·BC＝(cos θ－sin θ)·sin θ＝
－sin2θ＋sin θcos θ＝－(1－cos 2θ)＋sin 2θ＝
(sin 2θ＋cos 2θ)－cos(2θ－45°)－.
当2θ－45°＝0°，即θ＝22.5°时，(S矩形ABCD)max＝m2，
∴割出的长方形桌面的最大面积为 m2.
[反思感悟]　三角函数与平面几何有着密切联系，几何中的角度、长度、面积等问题，常借助三角变换来解决，体现了数学中的化归思想.
知 识 点 三
知识点三　三角恒等变换在实际问题中的应用
例3　如图所示，OA，OB是两条互相垂直
的笔直公路，半径OA＝2 km的扇形AOB是
某地的一处名胜古迹区域.当地政府为了缓
解该古迹周围的交通压力，欲在圆弧AB上
新增一个入口P(点P不与A，B重合)，并新
建两条都与圆弧AB相切的笔直公路MB，
MN，切点分别是B，P.当新建的两条公路总长最小时，投资费用最低.设∠POA＝θ，公路MB，MN的总长为f(θ).
求f(θ)关于θ的函数解析式，并写出函数的定义域.
解：连接OM(图略)，
在Rt△OPN中，OP＝2，
∠POA＝θ，故NP＝2tan θ.
根据平面几何知识可知，MB＝MP，∠BOM＝∠BOP＝
.
在Rt△BOM中，OB＝2，∠BOM＝，故BM＝
2tan ，∴f(θ)＝NP＋2BM＝2tan θ＋4tan.显然θ∈，∴函数f(θ)的定义域为.
[反思感悟]　实际问题的意义常反映在三角形的边、角关系上，故常用建立三角函数模型解决实际的优化问题.
随 堂 巩 固
1. 已知sin x＋cos x＝，则cos等于(　　)
A. B.
C. D.
B
2. 若函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x，则(　　)
A. 函数f(x)的最小正周期为2π
B. 函数f(x)的最大值是2
C. 函数f(x)的一个对称中心为
D. 函数f(x)在上单调递增
D
3. 已知函数f(x)＝sin x＋cos x＋1在区间[0，2π]上有两个零
点α，β(α＜β)，则sin(α－β)等于(　　)
A. － B. －
C. D.
B
4. 如图所示，扇形OAB的半径为1，圆心角为，若P为上异于A，B的点，且PQ⊥OB交OB于点Q，当△POQ的面积大于时，∠POQ的取值范围是__________.
5.5 导学6　简单的三角恒等变换(二)
知识点一　辅助角公式及其应用
　　　　　　　　　　　　　　　　
　 知识梳理
辅助角公式：y＝asin x＋bcos x＝ ·sin(x＋φ)　.
例1　已知函数f(x)＝2sin x(cos x－sin x)＋1.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
解：f(x)＝2sin x(cos x－sin x)＋1＝sin 2x＋cos 2x＝sin，令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，∴函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
(2)设α∈，f，求sin α的值.
解：∵fsin，∴sin，又α∈，∴α＋∈，∴cos＝－，∴sin α＝sin ＝sincos－
cos sin ××.
[反思感悟]　研究三角函数的性质，如单调性和最值问题，通常是把复杂的三角函数通过恰当的三角变换，转化为一种简单的三角函数，再研究转化后的函数的性质.在这个过程中，通常利用辅助角公式，将y＝asin x＋bcos x转化为y＝sin(x＋φ)，或y＝cos(x－φ)的形式，以便研究函数的性质.
知识点二　三角恒等变换在几何中的应用
例2　某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1 m，求割出的长方形桌面的最大面积，如图所示.
解：如图所示，连接OC，设∠COB＝θ，则0°＜θ＜45°，OC＝1.
∵AB＝OB－OA＝cos θ－AD＝cos θ－sin θ，
∴S矩形ABCD＝
AB·BC＝(cos θ－sin θ)·sin θ＝－sin2θ＋sin θcos θ＝－(1－cos 2θ)＋sin 2θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)－cos(2θ－45°)－.
当2θ－45°＝0°，即θ＝22.5°时，(S矩形ABCD)max＝m2，
∴割出的长方形桌面的最大面积为 m2.
[反思感悟]　三角函数与平面几何有着密切联系，几何中的角度、长度、面积等问题，常借助三角变换来解决，体现了数学中的化归思想.
知识点三　三角恒等变换在实际问题中的应用
例3　如图所示，OA，OB是两条互相垂直的笔直公路，半径OA＝2 km的扇形AOB是某地的一处名胜古迹区域.当地政府为了缓解该古迹周围的交通压力，欲在圆弧AB上新增一个入口P(点P不与A，B重合)，并新建两条都与圆弧AB相切的笔直公路MB，MN，切点分别是B，P.当新建的两条公路总长最小时，投资费用最低.设∠POA＝θ，公路MB，MN的总长为f(θ).
求f(θ)关于θ的函数解析式，并写出函数的定义域.
解：连接OM(图略)，
在Rt△OPN中，OP＝2，
∠POA＝θ，故NP＝2tan θ.
根据平面几何知识可知，MB＝MP，∠BOM＝∠BOP＝.
在Rt△BOM中，OB＝2，∠BOM＝，故BM＝2tan ，∴f(θ)＝NP＋2BM＝2tan θ＋4tan.显然θ∈，∴函数f(θ)的定义域为.
[反思感悟]　实际问题的意义常反映在三角形的边、角关系上，故常用建立三角函数模型解决实际的优化问题.
　 随堂巩固
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 已知sin x＋cos x＝，则cos等于(　B　)
A. B.
C. D.
2. 若函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x，则(　D　)
A. 函数f(x)的最小正周期为2π
B. 函数f(x)的最大值是2
C. 函数f(x)的一个对称中心为
D. 函数f(x)在上单调递增
3. 已知函数f(x)＝sin x＋cos x＋1在区间[0，2π]上有两个零点α，β(α＜β)，则sin(α－β)等于(　B　)
A. － B. －
C. D.
4. 如图所示，扇形OAB的半径为1，圆心角为，若P为上异于A，B的点，且PQ⊥OB交OB于点Q，当△POQ的面积大于时，∠POQ的取值范围是
　. 5.5 导学6　简单的三角恒等变换(二)
知识点一　辅助角公式及其应用
　　　　　　　　　　　　　　　　
　 知识梳理
辅助角公式：y＝asin x＋bcos x＝ 　.
例1　已知函数f(x)＝2sin x(cos x－sin x)＋1.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)设α∈，f，求sin α的值.
[反思感悟]　研究三角函数的性质，如单调性和最值问题，通常是把复杂的三角函数通过恰当的三角变换，转化为一种简单的三角函数，再研究转化后的函数的性质.在这个过程中，通常利用辅助角公式，将y＝asin x＋bcos x转化为y＝sin(x＋φ)，或y＝cos(x－φ)的形式，以便研究函数的性质.
知识点二　三角恒等变换在几何中的应用
例2　某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1 m，求割出的长方形桌面的最大面积，如图所示.
[反思感悟]　三角函数与平面几何有着密切联系，几何中的角度、长度、面积等问题，常借助三角变换来解决，体现了数学中的化归思想.
知识点三　三角恒等变换在实际问题中的应用
例3　如图所示，OA，OB是两条互相垂直的笔直公路，半径OA＝2 km的扇形AOB是某地的一处名胜古迹区域.当地政府为了缓解该古迹周围的交通压力，欲在圆弧AB上新增一个入口P(点P不与A，B重合)，并新建两条都与圆弧AB相切的笔直公路MB，MN，切点分别是B，P.当新建的两条公路总长最小时，投资费用最低.设∠POA＝θ，公路MB，MN的总长为f(θ).
求f(θ)关于θ的函数解析式，并写出函数的定义域.
[反思感悟]　实际问题的意义常反映在三角形的边、角关系上，故常用建立三角函数模型解决实际的优化问题.
　 随堂巩固
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 已知sin x＋cos x＝，则cos等于(　 　)
A. B.
C. D.
2. 若函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x，则(　 　)
A. 函数f(x)的最小正周期为2π
B. 函数f(x)的最大值是2
C. 函数f(x)的一个对称中心为
D. 函数f(x)在上单调递增
3. 已知函数f(x)＝sin x＋cos x＋1在区间[0，2π]上有两个零点α，β(α＜β)，则sin(α－β)等于(　 　)
A. － B. －
C. D.
4. 如图所示，扇形OAB的半径为1，圆心角为，若P为上异于A，B的点，且PQ⊥OB交OB于点Q，当△POQ的面积大于时，∠POQ的取值范围是
　.

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