资源简介

5.6 导学1　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
知识点一　φ对y＝sin(x＋φ)图象的影响
　　　　　　　　　　　　　　　　
　 知识梳理
φ对函数y＝sin(x＋φ)，x∈R图象的影响
例1　函数y＝sin的图象可以看作是由y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到的
[延伸探究1]　 函数y＝sin x的图象可以看作是由y＝sin的图象经过怎样的变换而得到的
[延伸探究2]　 函数y＝sin的图象可以看作是由y＝sin(－x)的图象经过怎样的变换而得到的
[延伸探究3]　 求函数y＝sin 2x向右平移个单位长度后的函数解析式.
[延伸探究4]由函数y＝sin的图象经过怎样的变换，可以得到y＝cos x的图象
[反思感悟]　对平移变换应先观察函数名是否相同，若函数名不同，则先化为同名函数，再观察x的系数，当x的系数不为1时，应提取系数确定平移的单位和方向，方向遵循左加右减，且从ωx→ωx＋φ的平移量为个单位长度.
知识点二　ω(ω＞0)对y＝sin(ωx＋φ)图象的影响
　　　　　　　　　　　　　　　　
　 知识梳理
ω(ω＞0)对函数y＝sin(ωx＋φ)图象的影响
例2　为了得到y＝sin x，x∈R的图象，只需把正弦曲线y＝sin x上所有点的(　 　)
A. 横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
B. 横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
C. 纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变
D. 纵坐标缩短到原来的，横坐标不变
[反思感悟]　ω对y＝sin(ωx＋φ)图象影响的注意点
(1)ω与周期相关，因此影响了图象的左右伸缩.
(2)变与不变：横坐标伸长或缩短，而纵坐标不变.
知识点三　A(A＞0)对y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响
　　　　　　　　　　　　　　　　
　 知识梳理
A(A＞0)对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响
例3　说明函数y＝sin图象上的所有点经过怎样的伸缩变换可以得到函数y＝3sin的图象.
[反思感悟]　研究A(A＞0)对y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响时，由y＝sin(ωx＋φ)图象上所有点的纵坐标变成原来的A倍(横坐标不变)即可得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象.
知识点四　y＝sin x与y＝Asin(ωx＋φ)图象间的变换关系
　　　　　　　　　　　　　　　　
　 知识梳理
由函数y＝sin x的图象得到y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)的图象的两种途径可以通过图形表示，如图所示.
例4　由y＝3sin x的图象变换得到y＝3sin的图象主要有两个过程：先平移后伸缩和先伸缩后平移，前者需向左平移 　个单位长度，后者需向左平移 　个单位长度.
[反思感悟]　先平移后伸缩和先伸缩后平移，平移的量是不同的，在应用中一定要区分清楚，以免混淆而导致错误.弄清平移对象是减少错误的关键.
知识点五　“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
例5　用“五点法”画函数y＝2sin在一个周期内的简图.
[延伸探究]　本例中把“一个周期内”改为“”，其他条件不变，又如何作图
[反思感悟]　“五点法”作图的实质
(1)利用“五点法”作函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象，实质是利用函数的三个零点，两个最值点画出函数在一个周期内的图象.
(2)用“五点法”作函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)图象的步骤.
第一步：列表；
ωx＋φ 0 π 2π
x －
f(x) 0 A 0 －A 0
第二步：在同一平面直角坐标系中描出各点；
第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图象.
(3)在画指定区间上的函数图象时，先由x的第一个取值确定ωx＋φ整体取的第一个值，然后再确定ωx＋φ整体后面的取值.
　 随堂巩固
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 用“五点法”作函数y＝cos在一个周期内的图象时，第四个关键点的坐标可以是(　 　)
A. B.
C. D.
2. 将函数y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数解析式为(　 　)
A. y＝cos 2x B. y＝－cos 2x
C. y＝sin D. y＝－sin 2x
3. (2024·泰安高一期末)已知函数y＝cos 2x，若将它的图象向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的3倍(纵坐标不变)，则得到的函数解析式为(　 　)
A. y＝cos B. y＝cos
C. y＝cos D. y＝cos
4. 将函数f(x)＝cos 2x的图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，再向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，则g＝　 　. 5.6 导学1　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
知识点一　φ对y＝sin(x＋φ)图象的影响
　　　　　　　　　　　　　　　　
　 知识梳理
φ对函数y＝sin(x＋φ)，x∈R图象的影响
例1　函数y＝sin的图象可以看作是由y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到的
解：函数y＝sin的图象可以看作是把曲线y＝sin x上的所有点向右平移个单位长度而得到的.
[延伸探究1]　 函数y＝sin x的图象可以看作是由y＝sin的图象经过怎样的变换而得到的
解：函数y＝sin x的图象可以看作是由y＝sin上的所有点向左平移个单位长度而得到的.
[延伸探究2]　 函数y＝sin的图象可以看作是由y＝sin(－x)的图象经过怎样的变换而得到的
解：∵y＝sin＝sin，∴是由y＝sin (－x)的图象向右平移个单位长度得到的.
[延伸探究3]　 求函数y＝sin 2x向右平移个单位长度后的函数解析式.
解：函数y＝sin 2x向右平移个单位长度可得y＝sin 2，即y＝sin.
[延伸探究4]由函数y＝sin的图象经过怎样的变换，可以得到y＝cos x的图象
解：∵y＝sin＝cos＝cos＝cos，故只需将函数y＝sin的图象向左平移个单位长度即可得到y＝cos x的图象.
[反思感悟]　对平移变换应先观察函数名是否相同，若函数名不同，则先化为同名函数，再观察x的系数，当x的系数不为1时，应提取系数确定平移的单位和方向，方向遵循左加右减，且从ωx→ωx＋φ的平移量为个单位长度.
知识点二　ω(ω＞0)对y＝sin(ωx＋φ)图象的影响
　　　　　　　　　　　　　　　　
　 知识梳理
ω(ω＞0)对函数y＝sin(ωx＋φ)图象的影响
例2　为了得到y＝sin x，x∈R的图象，只需把正弦曲线y＝sin x上所有点的(　A　)
A. 横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
B. 横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
C. 纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变
D. 纵坐标缩短到原来的，横坐标不变
【解析】∵ω＝＜1，∴只需把正弦曲线上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变.
[反思感悟]　ω对y＝sin(ωx＋φ)图象影响的注意点
(1)ω与周期相关，因此影响了图象的左右伸缩.
(2)变与不变：横坐标伸长或缩短，而纵坐标不变.
知识点三　A(A＞0)对y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响
　　　　　　　　　　　　　　　　
　 知识梳理
A(A＞0)对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响
例3　说明函数y＝sin图象上的所有点经过怎样的伸缩变换可以得到函数y＝3sin的图象.
解：A＝3＞1，故函数y＝sin图象上所有点的横坐标保持不变，将纵坐标伸长为原来的3倍即可得到函数y＝3sin的图象.
[反思感悟]　研究A(A＞0)对y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响时，由y＝sin(ωx＋φ)图象上所有点的纵坐标变成原来的A倍(横坐标不变)即可得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象.
知识点四　y＝sin x与y＝Asin(ωx＋φ)图象间的变换关系
　　　　　　　　　　　　　　　　
　 知识梳理
由函数y＝sin x的图象得到y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)的图象的两种途径可以通过图形表示，如图所示.
例4　由y＝3sin x的图象变换得到y＝3sin的图象主要有两个过程：先平移后伸缩和先伸缩后平移，前者需向左平移 　个单位长度，后者需向左平移 　个单位长度.
【解析】y＝3sin x的图象y＝3sin的图象y＝3sin 的图象；y＝3sin x的图象y＝3sinx的图象y＝3sin ＝3sin的图象.
[反思感悟]　先平移后伸缩和先伸缩后平移，平移的量是不同的，在应用中一定要区分清楚，以免混淆而导致错误.弄清平移对象是减少错误的关键.
知识点五　“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
例5　用“五点法”画函数y＝2sin在一个周期内的简图.
解：令X＝3x＋，则x＝，列表如下所示：
X 0 π 2π
x －
y 0 2 0 －2 0
描点连线，画图如下所示.
[延伸探究]　本例中把“一个周期内”改为“”，其他条件不变，又如何作图
解：∵x∈，∴3x＋∈，列表如下所示：
3x＋ π 2π
x 0
y 1 2 0 －2 0 1
描点连线，画图如下所示.
[反思感悟]　“五点法”作图的实质
(1)利用“五点法”作函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象，实质是利用函数的三个零点，两个最值点画出函数在一个周期内的图象.
(2)用“五点法”作函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)图象的步骤.
第一步：列表；
ωx＋φ 0 π 2π
x －
f(x) 0 A 0 －A 0
第二步：在同一平面直角坐标系中描出各点；
第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图象.
(3)在画指定区间上的函数图象时，先由x的第一个取值确定ωx＋φ整体取的第一个值，然后再确定ωx＋φ整体后面的取值.
　 随堂巩固
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 用“五点法”作函数y＝cos在一个周期内的图象时，第四个关键点的坐标可以是(　A　)
A. B.
C. D.
2. 将函数y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数解析式为(　B　)
A. y＝cos 2x B. y＝－cos 2x
C. y＝sin D. y＝－sin 2x
3. (2024·泰安高一期末)已知函数y＝cos 2x，若将它的图象向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的3倍(纵坐标不变)，则得到的函数解析式为(　D　)
A. y＝cos B. y＝cos
C. y＝cos D. y＝cos
4. 将函数f(x)＝cos 2x的图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，再向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，则g＝　－2　. (共34张PPT)
六、函数y＝Asin(ωx＋φ)
导学1　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
　高中数学 必修 第一册
三角函数
第五章
知 识 点 一
φ对函数y＝sin(x＋φ)，x∈R图象的影响
知 识 梳 理
知识点一　φ对y＝sin(x＋φ)图象的影响
左
右
例1　函数y＝sin的图象可以看作是由y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到的
解：函数y＝sin的图象可以看作是把曲线y＝sin x上的所有点向右平移个单位长度而得到的.
[延伸探究1]　 函数y＝sin x的图象可以看作是由y＝sin的图象经过怎样的变换而得到的
解：函数y＝sin x的图象可以看作是由y＝sin上的所有点向左平移个单位长度而得到的.
[延伸探究2]　 函数y＝sin的图象可以看作是由y＝sin(－x)的图象经过怎样的变换而得到的
解：∵y＝sin＝sin，∴是由y＝sin (－x)的图象向右平移个单位长度得到的.
[延伸探究3]　 求函数y＝sin 2x向右平移个单位长度后的函数解析式.
解：函数y＝sin 2x向右平移个单位长度可得y＝sin 2，即y＝sin.
[延伸探究4]由函数y＝sin的图象经过怎样的变换，可以得到y＝cos x的图象
解：∵y＝sin＝cos＝cos＝
cos，故只需将函数y＝sin的图象向左平移个单位长度即可得到y＝cos x的图象.
[反思感悟]　对平移变换应先观察函数名是否相同，若函数名不同，则先化为同名函数，再观察x的系数，当x的系数不为1时，应提取系数确定平移的单位和方向，方向遵循左加右减，且从ωx→ωx＋φ的平移量为个单位长度.
知 识 点 二
ω(ω＞0)对函数y＝sin(ωx＋φ)图象的影响
知 识 梳 理
知识点二　ω(ω＞0)对y＝sin(ωx＋φ)图象的影响
缩短
伸长
例2　为了得到y＝sin x，x∈R的图象，只需把正弦曲线y＝
sin x上所有点的(　　)
A. 横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
B. 横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
C. 纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变
D. 纵坐标缩短到原来的，横坐标不变
【解析】∵ω＝＜1，∴只需把正弦曲线上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变.
A
[反思感悟]　ω对y＝sin(ωx＋φ)图象影响的注意点
(1)ω与周期相关，因此影响了图象的左右伸缩.
(2)变与不变：横坐标伸长或缩短，而纵坐标不变.
知 识 点 三
A(A＞0)对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响
知 识 梳 理
知识点三　A(A＞0)对y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响
伸长
缩短
例3　说明函数y＝sin图象上的所有点经过怎样的伸缩变换可以得到函数y＝3sin的图象.
解：A＝3＞1，故函数y＝sin图象上所有点的横坐标保持不变，将纵坐标伸长为原来的3倍即可得到函数y＝
3sin的图象.
[反思感悟]　研究A(A＞0)对y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响时，由y＝sin(ωx＋φ)图象上所有点的纵坐标变成原来的A倍(横坐标不变)即可得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象.
知 识 点 四
由函数y＝sin x的图象得到y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)的图象的两种途径可以通过图形表示，如图所示.
知 识 梳 理
知识点四　y＝sin x与y＝Asin(ωx＋φ)图象间的变换关系
例4　由y＝3sin x的图象变换得到y＝3sin的图象主要有两个过程：先平移后伸缩和先伸缩后平移，前者需向左平移
________个单位长度，后者需向左平移________个单位长度.
【解析】y＝3sin x的图象
y＝3sin的图象
y＝3sin 的图象；y＝3sin x的图象
y＝3sinx的图象
y＝3sin ＝3sin的图象.
[反思感悟]　先平移后伸缩和先伸缩后平移，平移的量是不同的，在应用中一定要区分清楚，以免混淆而导致错误.弄清平移对象是减少错误的关键.
知 识 点 五
知识点五　“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
例5　用“五点法”画函数y＝2sin在一个周期内的简图.
解：令X＝3x＋，则x＝，列表如下所示：
X 0 π 2π
x －
y 0 2 0 －2 0
描点连线，画图如下所示.
[延伸探究]　本例中把“一个周期内”改为“”，其他条件不变，又如何作图
解：∵x∈，∴3x＋∈，列表如下所示：
3x＋ π 2π
x 0
y 1 2 0 －2 0 1
描点连线，画图如下所示.
[反思感悟]　“五点法”作图的实质
(1)利用“五点法”作函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象，实质是利用函数的三个零点，两个最值点画出函数在一个周期内的图象.
(2)用“五点法”作函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)图象的步骤.
第一步：列表；
ωx＋φ 0 π 2π
x －
f(x) 0 A 0 －A 0
第二步：在同一平面直角坐标系中描出各点；
第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图象.
(3)在画指定区间上的函数图象时，先由x的第一个取值确定
ωx＋φ整体取的第一个值，然后再确定ωx＋φ整体后面的取值.
随 堂 巩 固
1. 用“五点法”作函数y＝cos在一个周期内的图象
时，第四个关键点的坐标可以是(　　)
A. B.
C. D.
A
2. 将函数y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度，所得图象对
应的函数解析式为(　　)
A. y＝cos 2x B. y＝－cos 2x
C. y＝sin D. y＝－sin 2x
B
3. (2024·泰安高一期末)已知函数y＝cos 2x，若将它的图象向
左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的3倍(纵坐标不
变)，则得到的函数解析式为(　　)
A. y＝cos B. y＝cos
C. y＝cos D. y＝cos
D
4. 将函数f(x)＝cos 2x的图象上各点的纵坐标伸长到原来的
2倍(横坐标不变)，再向左平移个单位长度后得到函数g(x)的
图象，则g＝__________.
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