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5.6 导学2　函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质
知识点一　已知图象求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
例1　如图所示为函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分，求此函数的解析式.
[反思感悟]　确定y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)的解析式的步骤
(1)求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，B＝；
(2)求ω，确定函数的周期T，则ω＝；
(3)求φ，常用方法有以下两种：
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入；
②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.
知识点二　函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关性质
例2　已知函数f(x)＝sin.
(1)求f(x)的最小正周期及单调递增区间；
(2)求f(x)的图象的对称轴方程和对称中心；
(3)求f(x)的最小值及取得最小值时x的取值集合.
[反思感悟]　函数y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)的性质
首先将三角函数的和差形式转化为y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))的形式，然后再讨论性质.
(1)定义域：R；
(2)值域：[－|A|，|A|]；
(3)奇偶性：函数y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))不一定具备奇偶性，要由φ的值确定；
(4)周期性：T＝；
(5)单调区间：可把ωx＋φ看作一个整体，令z＝ωx＋φ，通过y＝Asin z(y＝Acos z)的单调区间解不等式求得；
(6)对称性：仍然以y＝Asin z(y＝Acos z)的对称轴、对称中心列方程求解，即ωx0＋φ＝kπ＋或ωx0＋φ＝kπ(k∈Z).
注意：ω＜0时先将其化为ω＞0再求单调区间.
知识点三　匀速圆周运动的数学模型
例3　如图所示，一个水轮的半径为4 m，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮每分钟逆时针转动5圈，当水轮上一点P从水中浮现(图中点P0)时开始计算时间.
(1)求点P距离水面的高度z(单位：m)关于时间t(单位：s)的函数解析式.
(2)点P第一次到达最高点需要多长时间
[反思感悟]　匀速圆周运动的数学模型一般都归结为正弦型或余弦型函数形式.此类问题的切入点是初始位置及其半径、周期的值，半径决定A，周期能确定ω，初始位置的不同对φ有影响，还要注意最大值、最小值与函数中参数的关系.
　 随堂巩固
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 若函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R(其中ω＞0，|φ|＜)的最小正周期是π，且f(0)＝，则(　 　)
A. ω＝，φ＝
B. ω＝，φ＝
C. ω＝2，φ＝
D. ω＝2，φ＝
2. 函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k的部分图象如图所示，则A与最小正周期T分别是(　 　)
A. A＝3，T＝
B. A＝3，T＝
C. A＝，T＝
D. A＝，T＝
3. 在函数y＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0)的一个周期上，当x＝时，有最大值2，当x＝时，有最小值－2，则ω＝　 　.
4. 某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝Acos ＋B(x＝1，2，…，12)来表示.已知6月份的平均气温为30 ℃，12月份的平均气温为20 ℃，则10月份的平均气温为　 　 ℃. 5.6 导学2　函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质
知识点一　已知图象求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
例1　如图所示为函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分，求此函数的解析式.
解：方法一　由图象知A＝3，T＝＝π，∴ω＝＝2，
∴y＝3sin(2x＋φ).
∵点在函数图象上，∴0＝3sin，∴－×2＋φ＝2kπ(k∈Z)，得φ＝＋2kπ(k∈Z).∵|φ|＜，∴φ＝，∴y＝3sin.
方法二　由图象知A＝3.
∵图象过点和，得解得又|φ|＜，∴φ＝，∴y＝3sin.
[反思感悟]　确定y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)的解析式的步骤
(1)求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，B＝；
(2)求ω，确定函数的周期T，则ω＝；
(3)求φ，常用方法有以下两种：
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入；
②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.
知识点二　函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关性质
例2　已知函数f(x)＝sin.
(1)求f(x)的最小正周期及单调递增区间；
(2)求f(x)的图象的对称轴方程和对称中心；
(3)求f(x)的最小值及取得最小值时x的取值集合.
解：(1)函数f(x)的最小正周期T＝＝π，由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，∴f(x)的单调递增区间为(k∈Z).
(2)令2x＋＝kπ＋(k∈Z)，则x＝(k∈Z)，∴对称轴方程为x＝(k∈Z)；令2x＋＝kπ(k∈Z)，则x＝(k∈Z)，
∴对称中心为(k∈Z).
(3)当sin＝－1，即2x＋＝－＋2kπ(k∈Z)，x＝－＋kπ(k∈Z)时，f(x)取得最小值是，此时x的取值集合是.
[反思感悟]　函数y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)的性质
首先将三角函数的和差形式转化为y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))的形式，然后再讨论性质.
(1)定义域：R；
(2)值域：[－|A|，|A|]；
(3)奇偶性：函数y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))不一定具备奇偶性，要由φ的值确定；
(4)周期性：T＝；
(5)单调区间：可把ωx＋φ看作一个整体，令z＝ωx＋φ，通过y＝Asin z(y＝Acos z)的单调区间解不等式求得；
(6)对称性：仍然以y＝Asin z(y＝Acos z)的对称轴、对称中心列方程求解，即ωx0＋φ＝kπ＋或ωx0＋φ＝kπ(k∈Z).
注意：ω＜0时先将其化为ω＞0再求单调区间.
知识点三　匀速圆周运动的数学模型
例3　如图所示，一个水轮的半径为4 m，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮每分钟逆时针转动5圈，当水轮上一点P从水中浮现(图中点P0)时开始计算时间.
(1)求点P距离水面的高度z(单位：m)关于时间t(单位：s)的函数解析式.
解：如图所示，建立平面直角坐标系，设角φ是以Ox为始边，OP0为终边的角，OP每秒钟所转过的弧度数为.
又水轮的半径为4 m，圆心O距离水面2 m，∴z＝4sin＋2.当t＝0时，z＝0，得sin φ＝－，即φ＝－.
∴所求的函数解析式为z＝4sin＋2.
(2)点P第一次到达最高点需要多长时间
解：令z＝4sin＋2＝6，得sin＝1.取t－，得t＝4，故点P第一次到达最高点需要4 s.
[反思感悟]　匀速圆周运动的数学模型一般都归结为正弦型或余弦型函数形式.此类问题的切入点是初始位置及其半径、周期的值，半径决定A，周期能确定ω，初始位置的不同对φ有影响，还要注意最大值、最小值与函数中参数的关系.
　 随堂巩固
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 若函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R(其中ω＞0，|φ|＜)的最小正周期是π，且f(0)＝，则(　D　)
A. ω＝，φ＝
B. ω＝，φ＝
C. ω＝2，φ＝
D. ω＝2，φ＝
2. 函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k的部分图象如图所示，则A与最小正周期T分别是(　D　)
A. A＝3，T＝
B. A＝3，T＝
C. A＝，T＝
D. A＝，T＝
3. 在函数y＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0)的一个周期上，当x＝时，有最大值2，当x＝时，有最小值－2，则ω＝　2　.
4. 某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝Acos ＋B(x＝1，2，…，12)来表示.已知6月份的平均气温为30 ℃，12月份的平均气温为20 ℃，则10月份的平均气温为　22.5　 ℃. (共23张PPT)
六、函数y＝Asin(ωx＋φ)
导学2　函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质
　高中数学 必修 第一册
三角函数
第五章
知 识 点 一
知识点一　已知图象求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
例1　如图所示为函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分，求此函数的解析式.
解：方法一　由图象知A＝3，T＝＝π，∴ω＝
＝2，∴y＝3sin(2x＋φ).
∵点在函数图象上，∴0＝3sin，
∴－×2＋φ＝2kπ(k∈Z)，得φ＝＋2kπ(k∈Z).∵|φ|＜，∴φ＝，∴y＝3sin.
方法二　由图象知A＝3.
∵图象过点和，得解得又|φ|＜，∴φ＝，∴y＝3sin.
[反思感悟]　确定y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)的解析式的步骤
(1)求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，B＝；
(2)求ω，确定函数的周期T，则ω＝；
(3)求φ，常用方法有以下两种：
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入；
②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.
知 识 点 二
知识点二　函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关性质
例2　已知函数f(x)＝sin.
(1)求f(x)的最小正周期及单调递增区间；
(2)求f(x)的图象的对称轴方程和对称中心；
(3)求f(x)的最小值及取得最小值时x的取值集合.
解：(1)函数f(x)的最小正周期T＝＝π，由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，∴f(x)的单调递增区间为(k∈Z).
(2)令2x＋＝kπ＋(k∈Z)，则x＝(k∈Z)，∴对称轴方程为x＝(k∈Z)；
令2x＋＝kπ(k∈Z)，则x＝(k∈Z)，
∴对称中心为(k∈Z).
(3)当sin＝－1，即2x＋＝－＋2kπ(k∈Z)，x＝－＋kπ(k∈Z)时，f(x)取得最小值是，此时x的取值集合是
.
[反思感悟]　函数y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)的性质
首先将三角函数的和差形式转化为y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))的形式，然后再讨论性质.
(1)定义域：R；
(2)值域：[－|A|，|A|]；
(3)奇偶性：函数y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))不一定具备奇偶性，要由φ的值确定；
(4)周期性：T＝；
(5)单调区间：可把ωx＋φ看作一个整体，令z＝ωx＋φ，通过y＝Asin z(y＝Acos z)的单调区间解不等式求得；
(6)对称性：仍然以y＝Asin z(y＝Acos z)的对称轴、对称中心列方程求解，即ωx0＋φ＝kπ＋或ωx0＋φ＝kπ(k∈Z).
注意：ω＜0时先将其化为ω＞0再求单调区间.
知 识 点 三
知识点三　匀速圆周运动的数学模型
例3　如图所示，一个水轮的半径为4 m，水轮圆心O距离水面
2 m，已知水轮每分钟逆时针转动5圈，当水轮上一点P从水中浮现(图中点P0)时开始计算时间.
(1)求点P距离水面的高度z(单位：m)关于时间t(单位：s)的函数解析式.
解：如图所示，建立平面直角坐标系，设
角φ是以Ox为始边，OP0为
终边的角，OP每秒钟所转过的弧度数为
.
又水轮的半径为4 m，圆心O距离水面2 m，∴z＝4sin＋2.当t＝0时，z＝0，得sin φ＝－，即φ＝－.
∴所求的函数解析式为z＝4sin＋2.
(2)点P第一次到达最高点需要多长时间
解：令z＝4sin＋2＝6，得sin＝1.取t－，得t＝4，故点P第一次到达最高点需要4 s.
[反思感悟]　匀速圆周运动的数学模型一般都归结为正弦型或余弦型函数形式.此类问题的切入点是初始位置及其半径、周期的值，半径决定A，周期能确定ω，初始位置的不同对φ有影响，还要注意最大值、最小值与函数中参数的关系.
随 堂 巩 固
1. 若函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R(其中ω＞0，|φ|＜)的最小正周期是π，且f(0)＝，则(　　)
A. ω＝，φ＝
B. ω＝，φ＝
C. ω＝2，φ＝
D. ω＝2，φ＝
D
2. 函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k的部分图象如图所示，则A与最小正周期T分别是(　　)
A. A＝3，T＝
B. A＝3，T＝
C. A＝，T＝
D. A＝，T＝
D
3. 在函数y＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0)的一个周期上，当x＝时，有
最大值2，当x＝时，有最小值－2，则ω＝__________.
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4. 某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝Acos ＋B(x＝1，2，…，12)来表示.已知6月份的平均气温为30 ℃，12月份的平均气温为20 ℃，则10月份的平均气温为__________ ℃.
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