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2.1　函数的概念及其表示
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1.函数y=的定义域为M，y=3x2+1的值域为N，则M∪N等于(　　)
A.[0，+∞) B.[0，1]
C.[4，+∞) D.[1，+∞)
2.(2025·南充期末)已知f(x)=则f(f(5))等于(　　)
A.-1 B.0 C. D.1
3.(2025·湘西模拟)已知f(+1)=x+2，则函数f(x)的解析式为(　　)
A.f(x)=x2-1
B.f(x)=x2-1(x≥1)
C.f(x)=x2+1(x≥1)
D.f(x)=x2-1(x≥0)
4.图中的文物叫做“垂鳞纹圆壶”，是甘肃礼县出土的先秦时期的青铜器皿.科研人员为了测量其容积，以恒定的流速向其内注水，恰好用时30秒注满，设注水过程中，壶中水面高度为h，注水时间为t，则下面选项中最符合h关于t的函数图象的是(　　)
5.(2026·烟台模拟)设集合A={x|0A.f(x)=x-1 B.f(x)=
C.f(x)=x2 D.f(x)=x
6.(2025·吉林模拟)南北朝时期杰出的数学家、天文学家祖冲之对圆周率数值的精确推算，对于中国乃至世界是一个重大贡献.已知圆周率π=3.141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 88…，如果记圆周率π小数点后第n位数字为f(n)，则下列说法不正确的是(　　)
A.y=f(n)，n∈N*是一个函数
B.当n=5时，f(n)=3.141 59
C.f(4)=f(8)
D.f(n)∈{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}
7.(2025·泰安模拟)若函数f(x)=若f(a)A.(-1，0)∪(0，1)
B.(-∞，-1)∪(0，1)
C.(-1，0)∪(1，+∞)
D.(-∞，-1)∪(1，+∞)
8.(2026·临沂模拟)已知函数sgn(x)=则“sgn(ex-1)+sgn(-x+1)=0”是“x>1”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
二、多项选择题(每小题6分，共18分)
9.设表格表示的函数为y=f(x)，关于此函数下列说法错误的是(　　)
x 0.1 0.2 0.5 0.8 0.9
y 1 0 1 0 1
A.f(x)的定义域是(0，1)
B.f(f(0.1)-0.8f(0.5))=1
C.f(x)的值域是{0，1}
D.f(x)的图象无对称轴
10.下列说法正确的是(　　)
A.已知f(x)是一次函数且3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17，则f(x)=2x+7
B.y=lg(1-x)+lg(1+x)与y=lg(1-x2)表示同一个函数
C.若函数f(x)的定义域为[0，2]，则函数f(2x)的定义域为[0，2]
D.若函数的定义域中只含有一个元素，则值域中也只含有一个元素
11.(2025·南阳模拟)黎曼函数(Riemann function)是一个特殊的函数，由德国数学家黎曼发现并提出，其解析式为R(x)=
(注：分子与分母是互质数的分数，称为既约分数)，则下列结论正确的是(　　)
A.R=
B.黎曼函数的定义域为[0，1]
C.黎曼函数的最大值为
D.若f(x)是奇函数，且是周期为2的周期函数，当x∈[0，1]时，f(x)=R(x)，则f+f(+6)=
三、填空题(每小题5分，共15分)
12.若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，写出函数y=x2，x∈[-1，2]的一个同族函数　　　　　　　　.
13.(2025·六盘水模拟)已知函数f(x)满足f(x)+2f=2x++3，则f(2)=　　　　.
14.设函数f(x)=若f(f(a))≥3，则实数a的取值范围是　　　　　　.
[每小题5分，共10分]
15.已知函数f(x)=.若其定义域为R，则实数m的取值范围是　　　　　；若函数f(x)的值域是[0，+∞)，则实数m的取值范围是　　　　　　　.
16.(2026·咸阳模拟)定义在[0，1]上的函数f(x)满足：①f(x)+f(1-x)=1；②f=f(x)；③f(x1)≤f(x2)(0≤x12.1　函数的概念及其表示
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1.函数y=的定义域为M，y=3x2+1的值域为N，则M∪N等于(　　)
A.[0，+∞) B.[0，1]
C.[4，+∞) D.[1，+∞)
答案　D
解析　由x-4≥0，得x≥4，故M=[4，+∞)，
由y=3x2+1，得y≥1，故N=[1，+∞)，
故M∪N=[1，+∞).
2.(2025·南充期末)已知f(x)=则f(f(5))等于(　　)
A.-1 B.0 C. D.1
答案　D
解析　由题意得f(5)=f(5-3)=f(2)=f(2-3)=f(-1)=cos=0，
所以f(f(5))=f(0)=cos 0=1.
3.(2025·湘西模拟)已知f(+1)=x+2，则函数f(x)的解析式为(　　)
A.f(x)=x2-1
B.f(x)=x2-1(x≥1)
C.f(x)=x2+1(x≥1)
D.f(x)=x2-1(x≥0)
答案　B
解析　令t=+1，则x=(t-1)2，t≥1，
因为f(+1)=x+2，所以f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1(t≥1)，
则f(x)=x2-1(x≥1).
4.图中的文物叫做“垂鳞纹圆壶”，是甘肃礼县出土的先秦时期的青铜器皿.科研人员为了测量其容积，以恒定的流速向其内注水，恰好用时30秒注满，设注水过程中，壶中水面高度为h，注水时间为t，则下面选项中最符合h关于t的函数图象的是(　　)
答案　A
解析　水壶的结构：底端与上端细、中间粗，所以在注水速度恒定的情况下，开始水的高度增加得由快变慢，中间增加得最慢，最后增加得由慢变快，由图可知选项A符合.
5.(2026·烟台模拟)设集合A={x|0A.f(x)=x-1 B.f(x)=
C.f(x)=x2 D.f(x)=x
答案　D
解析　对于A，f(x)=x-1，A={x|0对于B，f(x)=，A={x|0对于C，f(x)=x2，A={x|0对于D，f(x)=x，当0又 {y|0所以f(x)=x为从A到B的函数，故D正确.
6.(2025·吉林模拟)南北朝时期杰出的数学家、天文学家祖冲之对圆周率数值的精确推算，对于中国乃至世界是一个重大贡献.已知圆周率π=3.141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 88…，如果记圆周率π小数点后第n位数字为f(n)，则下列说法不正确的是(　　)
A.y=f(n)，n∈N*是一个函数
B.当n=5时，f(n)=3.141 59
C.f(4)=f(8)
D.f(n)∈{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}
答案　B
解析　对于A，对于任意n∈N*，均存在唯一的f(n)与之对应，符合函数的定义，y=f(n)，n∈N*是一个函数，故A正确；
对于B，C，f(5)=9，f(4)=5=f(8)，故B错误，C正确；
对于D，根据定义f(n)∈{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，故D正确.
7.(2025·泰安模拟)若函数f(x)=若f(a)A.(-1，0)∪(0，1)
B.(-∞，-1)∪(0，1)
C.(-1，0)∪(1，+∞)
D.(-∞，-1)∪(1，+∞)
答案　B
解析　当a>0时，由f(a)当a<0时，由f(a)0，∴2a(a+1)>0，解得a<-1.
综上，实数a的取值范围是(-∞，-1)∪(0，1).
8.(2026·临沂模拟)已知函数sgn(x)=则“sgn(ex-1)+sgn(-x+1)=0”是“x>1”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案　B
解析　因为sgn(x)=
当sgn(ex-1)+sgn(-x+1)=0时，
有或或
解得x>1或x<0，
所以“sgn(ex-1)+sgn(-x+1)=0”是“x>1”的必要不充分条件.
二、多项选择题(每小题6分，共18分)
9.设表格表示的函数为y=f(x)，关于此函数下列说法错误的是(　　)
x 0.1 0.2 0.5 0.8 0.9
y 1 0 1 0 1
A.f(x)的定义域是(0，1)
B.f(f(0.1)-0.8f(0.5))=1
C.f(x)的值域是{0，1}
D.f(x)的图象无对称轴
答案　ABD
解析　函数f(x)的定义域是{0.1，0.2，0.5，0.8，0.9}，A错误；
f(f(0.1)-0.8f(0.5))=f(0.2)=0，B错误；
函数f(x)的值域是{0，1}，C正确；
函数f(x)的图象关于直线x=0.5对称，D错误.
10.下列说法正确的是(　　)
A.已知f(x)是一次函数且3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17，则f(x)=2x+7
B.y=lg(1-x)+lg(1+x)与y=lg(1-x2)表示同一个函数
C.若函数f(x)的定义域为[0，2]，则函数f(2x)的定义域为[0，2]
D.若函数的定义域中只含有一个元素，则值域中也只含有一个元素
答案　ABD
解析　对于A，∵f(x)是一次函数，可设f(x)=ax+b(a≠0)，
∴3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b]=2x+17，
即ax+(5a+b)=2x+17，
∴解得∴f(x)=2x+7，A正确；
对于B，y=lg(1-x)+lg(1+x)与y=lg(1-x2)的定义域均为(-1，1)，且y=lg(1-x)+lg(1+x)=lg(1-x2)，∴对应关系相同，定义域也相同，故表示同一个函数，故B正确；
对于C，函数f(x)的定义域为[0，2]，由0≤2x≤2，得0≤x≤1，则函数f(2x)的定义域为[0，1]，故C错误；
对于D，由函数的定义知，若函数的定义域中只含有一个元素，则值域中也只有唯一一个元素与之对应，故D正确.
11.(2025·南阳模拟)黎曼函数(Riemann function)是一个特殊的函数，由德国数学家黎曼发现并提出，其解析式为R(x)=
(注：分子与分母是互质数的分数，称为既约分数)，则下列结论正确的是(　　)
A.R=
B.黎曼函数的定义域为[0，1]
C.黎曼函数的最大值为
D.若f(x)是奇函数，且是周期为2的周期函数，当x∈[0，1]时，f(x)=R(x)，则f+f(+6)=
答案　BC
解析　R=R=，A错误；
黎曼函数的定义域为[0，1]，B正确；
因为p，q∈N*，为既约真分数，所以的最大值为，即黎曼函数的最大值为，C正确；
因为f(x)是奇函数，并且是以2为周期的周期函数，f=f=f=-f=-，f(+6)=f(4)=f(4-6)=-f(6-4)=0，所以f+f(+6)=-，D错误.
三、填空题(每小题5分，共15分)
12.若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，写出函数y=x2，x∈[-1，2]的一个同族函数　　　　　　　　.
答案　y=x2，x∈[-2，1](答案不唯一)
解析　函数y=x2，x∈[-1，2]的值域为[0，4]，
函数y=x2，x∈[-2，1]的值域为[0，4]，
所以y=x2，x∈[-2，1]为函数y=x2，x∈[-1，2]的一个同族函数.(答案不唯一)
13.(2025·六盘水模拟)已知函数f(x)满足f(x)+2f=2x++3，则f(2)=　　　　.
答案　5
解析　因为f(x)+2f=2x++3，分别令x=2，x=，
联立得解得
14.设函数f(x)=若f(f(a))≥3，则实数a的取值范围是　　　　　　.
答案　[-1，+∞)
解析　因为f(x)=
令f(a)=t，则f(f(a))≥3可化为f(t)≥3，
当t≥0时，t2+2t≥3，解得t≥1(负值舍去)，
即f(a)≥1；
当t<0时，-t2+2t≥3，不等式无解，
综上，f(a)≥1，
若a≥0，则a2+2a≥1，解得a≥-1(负值舍去)；
若a<0，则-a2+2a≥1，解得a=1(舍去)，
综上，a≥-1.
[每小题5分，共10分]
15.已知函数f(x)=.若其定义域为R，则实数m的取值范围是　　　　　；若函数f(x)的值域是[0，+∞)，则实数m的取值范围是　　　　　　　.
答案　　
解析　若函数f(x)的定义域为R，
则有m>0且Δ=(m-2)2-4m(m-1)≤0，
解得m≥，
所以m的取值范围是.
当m=0时，f(x)==，值域是[0，+∞)，满足条件；
令g(x)=mx2-(m-2)x+m-1，g(x)≥0，
当m<0时，g(x)的图象开口向下，故f(x)的值域不会是[0，+∞)，不满足条件；
当m>0时，g(x)的图象开口向上，
只需关于x的方程mx2-(m-2)x+m-1=0中的Δ≥0，
即(m-2)2-4m(m-1)≥0，
解得-≤m≤，
又m>0，所以0综上，0≤m≤，
所以实数m的取值范围是.
16.(2026·咸阳模拟)定义在[0，1]上的函数f(x)满足：①f(x)+f(1-x)=1；②f=f(x)；③f(x1)≤f(x2)(0≤x1答案　1　
解析　在①中，令x=，得f=，
在②中，令x=0，得f(0)=0，
在①中，令x=0，得f(0)+f(1)=1，所以f(1)=1.
在②中，令x=1，得f=f(1)=，
由③知，f(x)在[0，1]上非严格单调递增，
又因为f=f=，
所以 x∈，均有f(x)=.
注意到=∈，
因此f=，
于是f=f=f=f=f
=…=f=×=.
2.1　函数的概念及其表示
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1.函数y=的定义域为M，y=3x2+1的值域为N，则M∪N等于(　　)
A.[0，+∞) B.[0，1]
C.[4，+∞) D.[1，+∞)
答案　D
解析　由x-4≥0，得x≥4，故M=[4，+∞)，
由y=3x2+1，得y≥1，故N=[1，+∞)，
故M∪N=[1，+∞).
2.(2025·南充期末)已知f(x)=则f(f(5))等于(　　)
A.-1 B.0 C. D.1
答案　D
解析　由题意得f(5)=f(5-3)=f(2)=f(2-3)=f(-1)=cos=0，
所以f(f(5))=f(0)=cos 0=1.
3.(2025·湘西模拟)已知f(+1)=x+2，则函数f(x)的解析式为(　　)
A.f(x)=x2-1
B.f(x)=x2-1(x≥1)
C.f(x)=x2+1(x≥1)
D.f(x)=x2-1(x≥0)
答案　B
解析　令t=+1，则x=(t-1)2，t≥1，
因为f(+1)=x+2，所以f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1(t≥1)，
则f(x)=x2-1(x≥1).
4.图中的文物叫做“垂鳞纹圆壶”，是甘肃礼县出土的先秦时期的青铜器皿.科研人员为了测量其容积，以恒定的流速向其内注水，恰好用时30秒注满，设注水过程中，壶中水面高度为h，注水时间为t，则下面选项中最符合h关于t的函数图象的是(　　)
答案　A
解析　水壶的结构：底端与上端细、中间粗，所以在注水速度恒定的情况下，开始水的高度增加得由快变慢，中间增加得最慢，最后增加得由慢变快，由图可知选项A符合.
5.(2026·烟台模拟)设集合A={x|0A.f(x)=x-1 B.f(x)=
C.f(x)=x2 D.f(x)=x
答案　D
解析　对于A，f(x)=x-1，A={x|0对于B，f(x)=，A={x|0对于C，f(x)=x2，A={x|0对于D，f(x)=x，当0又 {y|0所以f(x)=x为从A到B的函数，故D正确.
6.(2025·吉林模拟)南北朝时期杰出的数学家、天文学家祖冲之对圆周率数值的精确推算，对于中国乃至世界是一个重大贡献.已知圆周率π=3.141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 88…，如果记圆周率π小数点后第n位数字为f(n)，则下列说法不正确的是(　　)
A.y=f(n)，n∈N*是一个函数
B.当n=5时，f(n)=3.141 59
C.f(4)=f(8)
D.f(n)∈{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}
答案　B
解析　对于A，对于任意n∈N*，均存在唯一的f(n)与之对应，符合函数的定义，y=f(n)，n∈N*是一个函数，故A正确；
对于B，C，f(5)=9，f(4)=5=f(8)，故B错误，C正确；
对于D，根据定义f(n)∈{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，故D正确.
7.(2025·泰安模拟)若函数f(x)=若f(a)A.(-1，0)∪(0，1)
B.(-∞，-1)∪(0，1)
C.(-1，0)∪(1，+∞)
D.(-∞，-1)∪(1，+∞)
答案　B
解析　当a>0时，由f(a)当a<0时，由f(a)0，∴2a(a+1)>0，解得a<-1.
综上，实数a的取值范围是(-∞，-1)∪(0，1).
8.(2026·临沂模拟)已知函数sgn(x)=则“sgn(ex-1)+sgn(-x+1)=0”是“x>1”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案　B
解析　因为sgn(x)=
当sgn(ex-1)+sgn(-x+1)=0时，
有或或
解得x>1或x<0，
所以“sgn(ex-1)+sgn(-x+1)=0”是“x>1”的必要不充分条件.
二、多项选择题(每小题6分，共18分)
9.设表格表示的函数为y=f(x)，关于此函数下列说法错误的是(　　)
x 0.1 0.2 0.5 0.8 0.9
y 1 0 1 0 1
A.f(x)的定义域是(0，1)
B.f(f(0.1)-0.8f(0.5))=1
C.f(x)的值域是{0，1}
D.f(x)的图象无对称轴
答案　ABD
解析　函数f(x)的定义域是{0.1，0.2，0.5，0.8，0.9}，A错误；
f(f(0.1)-0.8f(0.5))=f(0.2)=0，B错误；
函数f(x)的值域是{0，1}，C正确；
函数f(x)的图象关于直线x=0.5对称，D错误.
10.下列说法正确的是(　　)
A.已知f(x)是一次函数且3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17，则f(x)=2x+7
B.y=lg(1-x)+lg(1+x)与y=lg(1-x2)表示同一个函数
C.若函数f(x)的定义域为[0，2]，则函数f(2x)的定义域为[0，2]
D.若函数的定义域中只含有一个元素，则值域中也只含有一个元素
答案　ABD
解析　对于A，∵f(x)是一次函数，可设f(x)=ax+b(a≠0)，
∴3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b]=2x+17，
即ax+(5a+b)=2x+17，
∴解得∴f(x)=2x+7，A正确；
对于B，y=lg(1-x)+lg(1+x)与y=lg(1-x2)的定义域均为(-1，1)，且y=lg(1-x)+lg(1+x)=lg(1-x2)，∴对应关系相同，定义域也相同，故表示同一个函数，故B正确；
对于C，函数f(x)的定义域为[0，2]，由0≤2x≤2，得0≤x≤1，则函数f(2x)的定义域为[0，1]，故C错误；
对于D，由函数的定义知，若函数的定义域中只含有一个元素，则值域中也只有唯一一个元素与之对应，故D正确.
11.(2025·南阳模拟)黎曼函数(Riemann function)是一个特殊的函数，由德国数学家黎曼发现并提出，其解析式为R(x)=
(注：分子与分母是互质数的分数，称为既约分数)，则下列结论正确的是(　　)
A.R=
B.黎曼函数的定义域为[0，1]
C.黎曼函数的最大值为
D.若f(x)是奇函数，且是周期为2的周期函数，当x∈[0，1]时，f(x)=R(x)，则f+f(+6)=
答案　BC
解析　R=R=，A错误；
黎曼函数的定义域为[0，1]，B正确；
因为p，q∈N*，为既约真分数，所以的最大值为，即黎曼函数的最大值为，C正确；
因为f(x)是奇函数，并且是以2为周期的周期函数，f=f=f=-f=-，f(+6)=f(4)=f(4-6)=-f(6-4)=0，所以f+f(+6)=-，D错误.
三、填空题(每小题5分，共15分)
12.若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，写出函数y=x2，x∈[-1，2]的一个同族函数　　　　　　　　.
答案　y=x2，x∈[-2，1](答案不唯一)
解析　函数y=x2，x∈[-1，2]的值域为[0，4]，
函数y=x2，x∈[-2，1]的值域为[0，4]，
所以y=x2，x∈[-2，1]为函数y=x2，x∈[-1，2]的一个同族函数.(答案不唯一)
13.(2025·六盘水模拟)已知函数f(x)满足f(x)+2f=2x++3，则f(2)=　　　　.
答案　5
解析　因为f(x)+2f=2x++3，分别令x=2，x=，
联立得解得
14.设函数f(x)=若f(f(a))≥3，则实数a的取值范围是　　　　　　.
答案　[-1，+∞)
解析　因为f(x)=
令f(a)=t，则f(f(a))≥3可化为f(t)≥3，
当t≥0时，t2+2t≥3，解得t≥1(负值舍去)，
即f(a)≥1；
当t<0时，-t2+2t≥3，不等式无解，
综上，f(a)≥1，
若a≥0，则a2+2a≥1，解得a≥-1(负值舍去)；
若a<0，则-a2+2a≥1，解得a=1(舍去)，
综上，a≥-1.
[每小题5分，共10分]
15.已知函数f(x)=.若其定义域为R，则实数m的取值范围是　　　　　；若函数f(x)的值域是[0，+∞)，则实数m的取值范围是　　　　　　　.
答案　　
解析　若函数f(x)的定义域为R，
则有m>0且Δ=(m-2)2-4m(m-1)≤0，
解得m≥，
所以m的取值范围是.
当m=0时，f(x)==，值域是[0，+∞)，满足条件；
令g(x)=mx2-(m-2)x+m-1，g(x)≥0，
当m<0时，g(x)的图象开口向下，故f(x)的值域不会是[0，+∞)，不满足条件；
当m>0时，g(x)的图象开口向上，
只需关于x的方程mx2-(m-2)x+m-1=0中的Δ≥0，
即(m-2)2-4m(m-1)≥0，
解得-≤m≤，
又m>0，所以0综上，0≤m≤，
所以实数m的取值范围是.
16.(2026·咸阳模拟)定义在[0，1]上的函数f(x)满足：①f(x)+f(1-x)=1；②f=f(x)；③f(x1)≤f(x2)(0≤x1答案　1　
解析　在①中，令x=，得f=，
在②中，令x=0，得f(0)=0，
在①中，令x=0，得f(0)+f(1)=1，所以f(1)=1.
在②中，令x=1，得f=f(1)=，
由③知，f(x)在[0，1]上非严格单调递增，
又因为f=f=，
所以 x∈，均有f(x)=.
注意到=∈，
因此f=，
于是f=f=f=f=f
=…=f=×=.

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