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九年级数学中考模拟试卷 · 人教版
2026 年九年级数学中考模拟试卷
（人教版）
满分 120 分 考试时间 120 分钟
姓名：____________ 准考证号：____________ 座位号：__________
注意事项：1. 答题前请将姓名、准考证号填写在试卷规定位置；2. 选择题答案直接将所选选项字母填入题前括号内；3. 解答题在题目下方的空白区域作答，请字迹工整；4. 考试结束后，将试卷上交。
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1. ( ) -2 的相反数是（ ）
A. -2 B. 2 C. D.
2. ( ) 我国第七次全国人口普查结果显示，全国人口约 1411780000 人，将 1411780000 用科学记数法表示为（ ）
A. 1.41178×108 B. 1.41178×109 C. 14.1178×108 D. 0.141178×1010
3. ( ) 如图，是由一个长方体和一个圆柱组合而成的几何体，则它的俯视图是（ ）
A. 矩形内有一圆 B. 矩形内有一矩形 C. 圆形 D. 三角形
4. ( ) 关于 x 的一元二次方程 x - 4x + m = 0 有两个相等的实数根，则 m 的值为（ ）
A. 2 B. -2 C. 4 D. -4
5. ( ) 不等式组 的解集是（ ）
A. x > 1 B. x ≥ -3 C. 1 < x ≤ -3（无解） D. x > 1 且 x ≥ -3
6. ( ) 一组数据 5, 7, 7, 8, 9, 10 的中位数是（ ）
A. 7 B. 7.5 C. 8 D. 9
7. ( ) 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，两枚都正面朝上的概率是（ ）
A. B. C. D.
8. ( ) 如图，直线 a∥b，直线 c 与 a、b 分别相交于两点。若 ∠1 = 110°，则 ∠2 的度数为（ ）
A. 70° B. 80° C. 110° D. 130°
9. ( ) 如图，A、B、C 是 ⊙O 上三点，连接 OA、OB、CA、CB。若 ∠ACB = 50°，则 ∠AOB 的度数为（ ）
A. 25° B. 50° C. 100° D. 130°
10. ( ) 二次函数 y = ax + bx + c（a ≠ 0）的图象如图所示，下列结论正确的是（ ）
A. a > 0 B. b - 4ac < 0 C. abc > 0 D. 当 x = 1 时，y 取得最大值
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）
11. 分解因式：x - 9 = ____________。
12. 分式方程 = 的解为 x = __________。
13. 反比例函数 y = 的图象经过点 (2, -3)，则 k = __________。
14. 如图，正方形 ABCD 的边长为 2，对角线 AC、BD 相交于点 O，则 OA = __________。
15. 一个不透明的袋中装有 3 个红球、2 个白球，它们除颜色外完全相同。从袋中随机摸出 1 个球，摸到红球的概率是 __________。
16. 观察一组数：1, 4, 9, 16, 25, ……则其中第 n 个数是 __________。
三、解答题（本大题共 9 小题，共 72 分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. （6 分）计算：|-2| + (π - 3) + () -
18. （6 分）先化简，再求值：(1 + ) ÷ ，其中 x = + 1。
19. （6 分）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来。
20. （8 分）为了解某校九年级学生的体育成绩，随机抽取了 50 名学生进行成绩抽样，并按 A（优秀）、B（良好）、C（合格）、D（待合格）四个等级进行统计，结果如图所示。
（1）补全说明本次调查中数据的众数所在等级是__________；
（2）若该校九年级共有学生 600 人，请估计该校九年级体育成绩达到优秀（A 等级）的学生人数；
（3）从抽样的 50 名学生中，随机抽取 1 名学生，求该学生体育成绩为合格（含合格）以上的概率。
21. （8 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，E、F 分别是 AB、CD 的中点，连接 DE、BF。求证：四边形 DEBF 是平行四边形。
22. （8 分）某文具店购进甲、乙两种钢笔，甲种钢笔每支进价 6 元，乙种钢笔每支进价 4 元。该店一次共购进两种钢笔 100 支，购进的总费用不超过 520 元，且要求甲种钢笔不少于 40 支。设购进甲种钢笔 x 支。
（1）写出总费用 y（元）与 x（支）之间的函数关系式；
（2）求出 x 的取值范围；
（3）若甲种钢笔每支获利 2 元，乙种钢笔每支获利 1 元，全部售完后，该店应如何进货才能使获利最大？最大获利是多少？
23. （10 分）如图，PA 是 ⊙O 的切线，A 为切点；过点 P 作 ⊙O 的割线，与 ⊙O 相交于 B、C 两点（B 在 P 与 C 之间）。
（1）求证：△PAB ∽ △PCA；
（2）若 PA = 6，PB = 4，求 BC 的长。
24. （10 分）如图，已知二次函数 y = -x + 2x + 3 的图象与 x 轴交于点 A、B（A 在 B 的左侧），与 y 轴交于点 C，顶点为 D。
（1）求点 A、B、C、D 的坐标；
（2）求 △ABC 的面积；
（3）抛物线上是否存在点 P（不与 C 重合），使 △PAB 的面积等于 △CAB 的面积？若存在，求出所有满足条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由。
25. （10 分）如图，矩形 ABCD 中，AB = 3，BC = 4。点 P 从点 B 出发，沿 BC 边以每秒 1 个单位的速度向点 C 运动，设运动时间为 t 秒（0 ≤ t ≤ 4）。
（1）当 t = 2 时，求 △APD 的面积；
（2）当 △APD 为等腰三角形时，求 t 的所有可能值。
2026 年九年级数学中考模拟试卷
参考答案与解析
（人教版）
一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B A C A B C C C D
逐题简析：
【解析】1. -2 的相反数为 2，选 B。
【解析】2. 1411780000 = 1.41178×10 （科学记数法要求 1 ≤ |a| < 10），选 B。
【解析】3. 圆柱位于长方体之上，由上向下投影得到：外轮廓为长方形，圆柱投影为圆，所以俯视图是矩形内含一个圆，选 A。
【解析】4. 方程有两个相等实根 Δ = (-4) - 4m = 16 - 4m = 0 m = 4，选 C。
【解析】5. 由 3x - 1 > x + 1 解得 x > 1；由 2(x + 1) ≥ x - 1 解得 x ≥ -3。两者求交集得 x > 1，选 A。
【解析】6. 6 个数从小到大已排序，中位数为第 3、4 个数 7、8 的平均数 = 7.5，选 B。
【解析】7. 两枚硬币结果有正正、正反、反正、反反 4 种等可能情况，两枚都正面朝上 1 种，概率为 1/4，选 C。
【解析】8. ∵ a ∥ b，∠1 与 ∠2 是 "同位角的对顶角"（即位置对应，可由 "同位角相等 + 对顶角相等" 推出 ∠1 = ∠2），∴ ∠2 = 110°，选 C。
【解析】9. 同弧所对的圆心角是圆周角的 2 倍，∠AOB = 2∠ACB = 2 × 50° = 100°，选 C。
【解析】10. 由图：开口向下 a < 0（A 错）；抛物线与 x 轴有两个交点 Δ = b - 4ac > 0（B 错）；对称轴 x = 1 > 0，由 -b/(2a) = 1 且 a < 0 b > 0；图象与 y 轴正半轴相交 c > 0，所以 abc < 0（C 错）；对称轴 x = 1，开口向下，所以 x = 1 时 y 取最大值，D 正确，选 D。
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
11. (x + 3)(x - 3)
12. x = -3
【解析】由 = 得 2x = x - 3，∴ x = -3。代回检验 x - 3 = -6 ≠ 0，x ≠ 0，方程有意义，故 x = -3。
13. k = -6
【解析】将点 (2, -3) 代入 y = k/x：-3 = k/2 k = -6。
14. OA = √2
【解析】正方形 ABCD 边长为 2，对角线 AC = 2，OA = AC/2 = 。
15. 3/5
16. n
【解析】数列 1, 4, 9, 16, 25, … 即 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , … 通项为 n 。
三、解答题（共 72 分）
17．（6 分）
原式 = 2 + 1 + 2 - 2
= 3
【解析】|-2| = 2；任何非零数的 0 次幂为 1，(π-3) = 1；负整数指数幂 ( ) = 2； = 2。
18．（6 分）
原式 = ((x - 1 + 1) / (x - 1)) ÷ (x / ((x - 1)(x + 1)))
= (x / (x - 1)) × ((x - 1)(x + 1) / x)
= x + 1
当 x = + 1 时，原式 = + 1 + 1 = + 2。
19．（6 分）
由 3x - 1 > x + 1 得 2x > 2，∴ x > 1；
由 2(x + 1) ≥ x - 1 得 2x + 2 ≥ x - 1，∴ x ≥ -3。
不等式组的解集为 x > 1。
数轴表示：从 1 处画空心圆圈，向右画一条射线表示 x > 1。
20．（8 分）
（1）由条形图可知 B（良好）等级人数最多（18 人），众数所在等级为 B（良好）。
（2）抽样比 = 12/50 = 6/25，估算该校九年级 A 等级（优秀）人数 ≈ 600 × 6/25 = 144（人）。
（3）合格及以上 = A + B + C = 12 + 18 + 15 = 45 人，概率 = 45/50 = 9/10。
21．（8 分）
证明： 在平行四边形 ABCD 中，AB ∥ CD 且 AB = CD。
∵ E、F 分别是 AB、CD 的中点，
∴ BE = ( )·AB，DF = ( )·CD，
又 ∵ AB = CD，∴ BE = DF。
∵ BE 与 DF 都在平行直线 AB 与 CD 上，∴ BE ∥ DF。
∴ 四边形 DEBF 中有一组对边平行且相等，
∴ 四边形 DEBF 是平行四边形。
22．（8 分）
设购进甲种钢笔 x 支，则乙种 (100 - x) 支。
（1）y = 6x + 4(100 - x) = 2x + 400（元）。
（2）由 y ≤ 520 得 2x + 400 ≤ 520，∴ x ≤ 60；
又 x ≥ 40，∴ x 的取值范围是 40 ≤ x ≤ 60（x 为整数）。
（3）总利润 W = 2x + 1·(100 - x) = x + 100。
W 随 x 的增大而增大，故当 x = 60 时取最大值：
W_max = 60 + 100 = 160（元），
即应购进甲种钢笔 60 支、乙种钢笔 40 支，最大获利 160 元。
23．（10 分）
（1）证明： ∵ PA 是 ⊙O 的切线，A 为切点，由弦切角定理：
∠PAB = ∠ACB（弦切角等于所夹弧上的圆周角），即 ∠PAB = ∠PCA；
又 ∠APB = ∠CPA（公共角），
∴ △PAB ∽ △PCA（两角对应相等）。
（2）解： 由 (1) 中相似 PA / PC = PB / PA，
∴ PA = PB · PC（切割线定理），即 6 = 4 · PC，
∴ PC = 9，BC = PC - PB = 9 - 4 = 5。
24．（10 分）
（1） 令 y = 0：-x + 2x + 3 = 0 x - 2x - 3 = 0 (x - 3)(x + 1) = 0，
解得 x = -1 或 x = 3，∴ A(-1, 0)，B(3, 0)；
令 x = 0，y = 3，∴ C(0, 3)；
配方：y = -(x - 1) + 4，∴ 顶点 D(1, 4)。
（2） AB = 3 - (-1) = 4，OC = 3，
S△ABC = ( ) · AB · OC = ( ) · 4 · 3 = 6。
（3） 设 P(x, y) 在抛物线上，到 x 轴（即直线 AB）的距离为 |y|。
S△PAB = ( ) · AB · |y| = 2|y|；令 2|y| = S△CAB = 6 |y| = 3。
① 当 y = 3：-x + 2x + 3 = 3 x - 2x = 0 x = 0 或 x = 2；x = 0 时即点 C（舍）；x = 2 得 P (2, 3)。
② 当 y = -3：-x + 2x + 3 = -3 x - 2x - 6 = 0 x = 1 ± ，
得 P (1 + , -3)，P (1 - , -3)。
综上，存在 3 个点 P：P (2, 3)、P (1 + , -3)、P (1 - , -3)。
25．（10 分）
以 B 为原点建立坐标系，AB 在 y 轴正方向上，BC 在 x 轴正方向上。
则 B(0, 0)，A(0, 3)，C(4, 0)，D(4, 3)，P(t, 0)（0 ≤ t ≤ 4）。
（1） AD = 4，AD 与 BC 平行且距离为 3。
△APD 以 AD 为底，对应的高为 A、D 所在直线（y = 3）与 P 所在直线（y = 0）之间的距离 = 3。
所以 t = 2 时（实际上 t 取何值均一样），S△APD = ( ) × 4 × 3 = 6。
（2） AP = √(t + 9)，DP = √((4 - t) + 9)，AD = 4。分三种情形：
① AP = DP：t + 9 = (4 - t) + 9 t = (4 - t) t = 4 - t t = 2；
② AP = AD：√(t + 9) = 4 t + 9 = 16 t = （取正值，且 ≈ 2.65 ∈ [0, 4]）；
③ DP = AD：√((4 - t) + 9) = 4 (4 - t) = 7 t = 4 - （同理 4 - ≈ 1.35 ∈ [0, 4]）。
综上 t = 2 或 t = 或 t = 4 - 。
命题思路与考点分布
本卷参照人教版初中数学教材体系命制，覆盖 7~9 年级核心知识：
数与代数（约 38 分）：实数、整式、分式、方程、不等式、函数（一次/反比例/二次）；
图形与几何（约 50 分）：平行线、四边形、圆、相似、视图、动点综合；
统计与概率（约 14 分）：中位数、众数、频数分布、简单事件概率；
综合应用（约 18 分）：函数应用、几何探究、动态变化、最值优化。
难度梯度：选择题前 7 道、填空题前 5 道、解答题 17–19 题为基础；选择 8–10、填空 14–16、解答 20–22 为中档；解答 23、24、25 为压轴。
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