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2.2　函数的单调性与最值
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.(2023·北京)下列函数中，在区间(0，+∞)上单调递增的是(　　)
A.f(x)=-ln x B.f(x)=
C.f(x)=- D.f(x)=3|x-1|
2.已知f(x)=2x+x，则“f(x1)=f(x2)”是“x1=x2”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.函数f(x)=|x|(x-1)的单调递减区间是(　　)
A.(-∞，0) B.
C. D.(1，+∞)
4.(2025·青海省部分学校联考)已知函数f(x)=在区间[0，1]上的最大值为5，则a的值为(　　)
A.3 B.4 C. D.2
5.(2025·成都模拟)已知函数f(x)=满足对任意实数x1≠x2，都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0成立，则实数a的取值范围是(　　)
A.(0，4] B.[2，+∞)
C.[2，4] D.(0，+∞)
6.已知函数y=f(x)的定义域为R，对任意x1，x2∈R，且x1≠x2，都有>-1，则下列说法正确的是(　　)
A.y=f(x)+x是增函数
B.y=f(x)+x是减函数
C.y=f(x)是增函数
D.y=f(x)是减函数
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.设函数f(x)为增函数，且f(x)≠0，则下列结论错误的是(　　)
A.y=为减函数
B.y=|f(x)|为增函数
C.y=-为增函数
D.y=-f(x)为减函数
8.(2026·昆明模拟)已知函数f(x)对于一切实数x，y都有f(x+y)=f(x)f(y)，当x>0时，0A.f(0)=1
B.若f(m)=25，则m=2
C.f(x)>0恒成立
D.f(x)是减函数
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.若函数f(x)=4|x-a|+3在区间[1，+∞)上不单调，则a的取值范围是　　　　　　.
10.已知函数f(x)=则不等式f(x+2)四、解答题(共28分)
11.(13分)(2025·乌鲁木齐模拟)已知函数f(x)=2x-，且f(2)=.
(1)求实数a的值；(3分)
(2)判断函数f(x)在(1，+∞)上的单调性，并用定义证明；(6分)
(3)求函数f(x)在[2，3]上的最值.(4分)
12.(15分)已知定义在(0，+∞)上的函数f(x)满足f(mn)=f(m)+f(n)(m，n>0)，且当x>1时，f(x)>0.
(1)求证：f=f(m)-f(n)；(6分)
(2)若f(2)=1，解不等式f(x+2)-f(2x)>2.(9分)
[每小题5分，共10分]
13.(2026·昆明模拟)已知函数f(x)=lo(a≥0)在(4，+∞)上单调递减，则实数a的取值范围是 (　　)
A.[4，+∞) B.(0，4]
C.[0，16] D.[16，+∞)
14.(2025·北京)关于定义域为R的函数f(x)，以下说法正确的有　　　　.
①存在在R上单调递增的函数f(x)使得f(x)+f(2x)=-x恒成立；
②存在在R上单调递减的函数f(x)使得f(x)+f(2x)=-x恒成立；
③使得f(x)+f(-x)=cos x恒成立的函数f(x)存在且有无穷多个；
④使得f(x)-f(-x)=cos x恒成立的函数f(x)存在且有无穷多个.
2.2　函数的单调性与最值
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.(2023·北京)下列函数中，在区间(0，+∞)上单调递增的是(　　)
A.f(x)=-ln x B.f(x)=
C.f(x)=- D.f(x)=3|x-1|
答案　C
解析　对于A，因为y=ln x在(0，+∞)上单调递增，所以f(x)=-ln x在(0，+∞)上单调递减，故A错误；
对于B，因为y=2x在(0，+∞)上单调递增，所以f(x)=在(0，+∞)上单调递减，故B错误；
对于C，因为y=在(0，+∞)上单调递减，所以f(x)=-在(0，+∞)上单调递增，故C正确；
对于D，因为f===，f(1)=3|1-1|=30=1，f(2)=3|2-1|=3，
显然f(x)=3|x-1|在(0，+∞)上不单调，D错误.
2.已知f(x)=2x+x，则“f(x1)=f(x2)”是“x1=x2”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案　C
解析　因为函数y=2x，y=x在R上为增函数，
则函数f(x)=2x+x在R上为增函数，
则“f(x1)=f(x2)”可以推出“x1=x2”，“x1=x2”也可推出“f(x1)=f(x2)”，
故“f(x1)=f(x2)”是“x1=x2”的充要条件.
3.函数f(x)=|x|(x-1)的单调递减区间是(　　)
A.(-∞，0) B.
C. D.(1，+∞)
答案　B
解析　f(x)=作出图象，
可以得到函数的单调递减区间是.
4.(2025·青海省部分学校联考)已知函数f(x)=在区间[0，1]上的最大值为5，则a的值为(　　)
A.3 B.4 C. D.2
答案　A
解析　因为f(x)=a+在区间[0，1]上单调递减，所以f(0)=a+2=5，解得a=3.
5.(2025·成都模拟)已知函数f(x)=满足对任意实数x1≠x2，都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0成立，则实数a的取值范围是(　　)
A.(0，4] B.[2，+∞)
C.[2，4] D.(0，+∞)
答案　C
解析　由对任意实数x1≠x2，都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0，可知函数f(x)在R上单调递减，
则有解得2≤a≤4，所以实数a的取值范围为[2，4].
6.已知函数y=f(x)的定义域为R，对任意x1，x2∈R，且x1≠x2，都有>-1，则下列说法正确的是(　　)
A.y=f(x)+x是增函数
B.y=f(x)+x是减函数
C.y=f(x)是增函数
D.y=f(x)是减函数
答案　A
解析　不妨令x1∵>-1 f(x1)-f(x2)<-(x1-x2) f(x1)+x1令g(x)=f(x)+x，∴g(x1)又x1又f(x)为常函数时，=0>-1，此时f(x)既不是增函数也不是减函数，C，D错误.
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.设函数f(x)为增函数，且f(x)≠0，则下列结论错误的是(　　)
A.y=为减函数
B.y=|f(x)|为增函数
C.y=-为增函数
D.y=-f(x)为减函数
答案　ABC
解析　若f(x)=x(x≠0)，则y==(x≠0)，不是减函数，故A错误；
y=|f(x)|=|x|(x≠0)，不是增函数，故B错误；
y=-=-(x≠0)，不是增函数，故C错误；
对于D，函数f(x)为增函数，则对于定义域内的任意的x1，x2，
设x1对于y=-f(x)，则有y1-y2=[-f(x1)]-[-f(x2)]=f(x2)-f(x1)>0，
则y=-f(x)为减函数，故D正确.
8.(2026·昆明模拟)已知函数f(x)对于一切实数x，y都有f(x+y)=f(x)f(y)，当x>0时，0A.f(0)=1
B.若f(m)=25，则m=2
C.f(x)>0恒成立
D.f(x)是减函数
答案　ACD
解析　对于A，令x=1，y=0，
则f(1)=f(1)f(0)，
∵f(1)=，∴f(0)=1，故A正确；
对于B，f(2)=f(1)f(1)=，故B错误；
对于C，令y=-x，则f(x)f(-x)=f(x-x)=f(0)=1，
当x<0时，-x>0，∴00，
∴f(x)>0恒成立，故C正确；
对于D，设x2>x1，
则f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1)=f(x2-x1)f(x1)-f(x1)=f(x1)[f(x2-x1)-1]，
∵x2-x1>0，∴0又f(x1)>0，∴f(x2)-f(x1)<0，f(x)是减函数，故D正确.
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.若函数f(x)=4|x-a|+3在区间[1，+∞)上不单调，则a的取值范围是　　　　　　.
答案　(1，+∞)
解析　因为函数f(x)=4|x-a|+3在(-∞，a)上单调递减，在(a，+∞)上单调递增，
又函数f(x)在区间[1，+∞)上不单调，所以a>1.
10.已知函数f(x)=则不等式f(x+2)答案　(-∞，-2)∪(1，+∞)
解析　函数f(x)=
显然y=ln(x+1)在[0，+∞)上单调递增，y=-2x2在(-∞，0)上单调递增，
且ln(0+1)=-2×02=0，所以f(x)在R上单调递增，
不等式f(x+2)即x2+x-2>0，解得x>1或x<-2，
则原不等式的解集为(-∞，-2)∪(1，+∞).
四、解答题(共28分)
11.(13分)(2025·乌鲁木齐模拟)已知函数f(x)=2x-，且f(2)=.
(1)求实数a的值；(3分)
(2)判断函数f(x)在(1，+∞)上的单调性，并用定义证明；(6分)
(3)求函数f(x)在[2，3]上的最值.(4分)
解　(1)因为f(x)=2x-，且f(2)=，
所以4-=，解得a=-1.
(2)函数f(x)在(1，+∞)上单调递增.证明如下：
由(1)可得，f(x)=2x+，
任取x1，x2∈(1，+∞)，x1则f(x2)-f(x1)=2x2+-
=2(x2-x1)+
=2(x2-x1)+=(x2-x1)
=，
因为x1，x2∈(1，+∞)且x1所以x2-x1>0，2x1x2-1>0，x1x2>0，
所以f(x2)-f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)，
所以f(x)在(1，+∞)上单调递增.
(3)由(2)知，函数f(x)在[2，3]上单调递增，
则当x=2时，f(x)有最小值f(2)=；
当x=3时，f(x)有最大值f(3)=.
12.(15分)已知定义在(0，+∞)上的函数f(x)满足f(mn)=f(m)+f(n)(m，n>0)，且当x>1时，f(x)>0.
(1)求证：f=f(m)-f(n)；(6分)
(2)若f(2)=1，解不等式f(x+2)-f(2x)>2.(9分)
(1)证明　f(m)=f=f+f(n)，
即f=f(m)-f(n).
(2)解　任取x1，x2∈(0，+∞)，且x1则>1.
由(1)得f(x2)-f(x1)=f>0，
即f(x2)>f(x1)，
∴f(x)在(0，+∞)上单调递增，
∵f(2)=1，∴2=f(2)+f(2)=f(4)，
f(x+2)-f(2x)>2 f(x+2)>f(2x)+f(4) f(x+2)>f(8x)，
又f(x)在(0，+∞)上单调递增，
∴解得0故不等式f(x+2)-f(2x)>2的解集为.
[每小题5分，共10分]
13.(2026·昆明模拟)已知函数f(x)=lo(a≥0)在(4，+∞)上单调递减，则实数a的取值范围是 (　　)
A.[4，+∞) B.(0，4]
C.[0，16] D.[16，+∞)
答案　C
解析　令t=，因为y=lot为减函数，f(x)=lo在(4，+∞)上单调递减，
所以t=在(4，+∞)上单调递增.
令g(x)=x+-4，
当a>0时，g(x)=x+-4在(，+∞)上单调递增，g(4)=4+-4=>0，
所以当≤4时满足t=在(4，+∞)上单调递增，即得0当a=0时，t=|x-4|在(4，+∞)上单调递增，当x>4时，t=x-4>0，满足题意.
综上可得0≤a≤16.
14.(2025·北京)关于定义域为R的函数f(x)，以下说法正确的有　　　　.
①存在在R上单调递增的函数f(x)使得f(x)+f(2x)=-x恒成立；
②存在在R上单调递减的函数f(x)使得f(x)+f(2x)=-x恒成立；
③使得f(x)+f(-x)=cos x恒成立的函数f(x)存在且有无穷多个；
④使得f(x)-f(-x)=cos x恒成立的函数f(x)存在且有无穷多个.
答案　②③
解析　对于①，若存在R上的增函数f(x)，满足f(x)+f(2x)=-x，
则f(0)+f(2×0)=-0，即f(0)=0，
故当x>0时，f(4x)>f(2x)>f(x)>0，故f(4x)+f(2x)>f(x)+f(2x)，
故-2x>-x，即x<0，矛盾，故①错误；
对于②，取f(x)=-x，该函数为R上的减函数且f(x)+f(2x)=-x，
故该函数符合题意，故②正确；
对于③，取f(x)=cos x+mx，m∈R，
此时f(x)+f(-x)=cos x，由m∈R可得f(x)有无穷多个，故③正确；
对于④，若存在f(x)，使得f(x)-f(-x)=cos x，
令x=0，则0=cos 0，但cos 0=1，矛盾，
故满足f(x)-f(-x)=cos x恒成立的函数f(x)不存在，故④错误.

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