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2.3　函数的奇偶性
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.(2025·北京模拟)下列函数中，既是奇函数又在区间(-∞，+∞)上单调递增的是(　　)
A.f(x)=-x3 B.f(x)=2x
C.f(x)=ex-e-x D.f(x)=lg x
2.(2026·柳州模拟)设偶函数f(x)的定义域为R，在区间[0，4]上单调递减，则(　　)
A.f(π)B.f(π)C.f(-2)D.f(-3)3.(2025·赤峰模拟)若函数f(x)=a-是奇函数，则实数a的值为(　　)
A. B.1 C. D.3
4.(2025·白银模拟)已知函数f(x)=x3-sin x+2在[-2，2]上的最大值和最小值分别为M，m，则M+m等于(　　)
A.8 B.0 C.4 D.2
5.(2021·全国乙卷)设函数f(x)=，则下列函数中为奇函数的是(　　)
A.f(x-1)-1 B.f(x-1)+1
C.f(x+1)-1 D.f(x+1)+1
6.(2025·安徽皖南八校模拟)已知函数f(x)的定义域为R，y=f(x)+ex是偶函数，y=f(x)-3ex是奇函数，则f(ln 3)的值为(　　)
A. B.3 C. D.
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.(2025·毕节模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，g(x)是定义在R上的偶函数，则(　　)
A.f(x)g(x)是奇函数 B.f(g(x))是奇函数
C.f(x)-g(x)是奇函数 D.g(f(x))是偶函数
8.(2025·湖北重点学校开学联考)已知函数f(x)的定义域为R， x，y∈R，f(xy)+xy=xf(y)+yf(x)，则(　　)
A.f(0)=0
B.xf+f(x)=2(x≠0)
C.f(x)为减函数
D.f(x)为奇函数
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.(2026·绵阳模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)=2x+x+m，则f(-3)=　　　　.
10.若函数f(x)为偶函数，且在(0，+∞)上单调递增，又f(-2)=0，则xf(x)>0的解集为　　　　　　　.
四、解答题(共28分)
11.(13分)(2025·湖南省名校联盟开学考)已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=3x-3.
(1)求函数f(x)的解析式；(6分)
(2)若关于x的方程f(x)=2a+3恰有两个实数根，求实数a的取值范围.(7分)
12.(15分)函数f(x)和g(x)具有如下性质：①定义域均为R；②f(x)为奇函数，g(x)为偶函数；③f(x)+g(x)=ex(常数e是自然对数的底数).
(1)求函数f(x)和g(x)的解析式；(7分)
(2)对任意实数x，[g(x)]2-[f(x)]2是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.(8分)
[每小题5分，共10分]
13.(2026·贵阳模拟)已知函数f(x)=的定义域为[-4，4]，且满足f(m2)+f(m-2)>0，则实数m的取值范围是　　　　　　.
14.(2022·全国乙卷)若f(x)=ln+b是奇函数，则a=　　　，b=　　　.
2.3　函数的奇偶性
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.(2025·北京模拟)下列函数中，既是奇函数又在区间(-∞，+∞)上单调递增的是(　　)
A.f(x)=-x3 B.f(x)=2x
C.f(x)=ex-e-x D.f(x)=lg x
答案　C
解析　对于A，显然函数f(x)=-x3为奇函数，且在(-∞，+∞)上单调递减，故A不符合题意；
对于B，f(-x)=2-x，显然函数f(x)是非奇非偶函数，故B不符合题意；
对于C，由函数f(x)=ex-e-x的定义域为R，f(-x)=e-x-ex=-f(x)，则函数f(x)是奇函数，由函数y=ex在R上单调递增，函数y=-e-x在R上单调递增，则函数f(x)在R上单调递增，故C符合题意；
对于D，由函数f(x)=lg x的定义域为(0，+∞)，则函数f(x)是非奇非偶函数，故D不符合题意.
2.(2026·柳州模拟)设偶函数f(x)的定义域为R，在区间[0，4]上单调递减，则(　　)
A.f(π)B.f(π)C.f(-2)D.f(-3)答案　A
解析　因为f(x)为偶函数，
则f(-2)=f(2)，f(-3)=f(3)，
又因为f(x)在区间[0，4]上单调递减，
0<2<3<π<4，
则f(2)>f(3)>f(π)，
即f(π)3.(2025·赤峰模拟)若函数f(x)=a-是奇函数，则实数a的值为(　　)
A. B.1 C. D.3
答案　C
解析　因为函数f(x)=a-是奇函数，定义域为R，
所以f(0)=a-=a-=0，解得a=，
当a=时，f(x)=-=，
f(-x)===-f(x)，
所以函数f(x)=-是奇函数，则a=.
4.(2025·白银模拟)已知函数f(x)=x3-sin x+2在[-2，2]上的最大值和最小值分别为M，m，则M+m等于(　　)
A.8 B.0 C.4 D.2
答案　C
解析　设g(x)=x3-sin x，易知定义域为R，又g(-x)=(-x)3-sin(-x)=-x3+sin x=-g(x)，故函数g(x)为奇函数，
所以当x∈[-2，2]时，g(x)max+g(x)min=0，
又f(x)=g(x)+2，所以M+m=f(x)max+f(x)min=[g(x)max+2]+[g(x)min+2]=4.
5.(2021·全国乙卷)设函数f(x)=，则下列函数中为奇函数的是(　　)
A.f(x-1)-1 B.f(x-1)+1
C.f(x+1)-1 D.f(x+1)+1
答案　B
解析　方法一　因为f(x)=，所以f(x-1)==，f(x+1)==.
对于A，令F(x)=f(x-1)-1=-1=，定义域关于原点对称，但不满足F(x)=-F(-x)，即f(x-1)-1不是奇函数；
对于B，令G(x)=f(x-1)+1=+1=，定义域关于原点对称，且满足G(x)=-G(-x)，即f(x-1)+1是奇函数；
对于C，f(x+1)-1=-1==-，定义域不关于原点对称，即f(x+1)-1为非奇非偶函数；
对于D，f(x+1)+1=+1==，定义域不关于原点对称，即f(x+1)+1为非奇非偶函数.
方法二　f(x)===-1，为保证函数变换之后为奇函数，需将函数y=f(x)的图象向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度，得到的图象对应的函数为y=f(x-1)+1.
6.(2025·安徽皖南八校模拟)已知函数f(x)的定义域为R，y=f(x)+ex是偶函数，y=f(x)-3ex是奇函数，则f(ln 3)的值为(　　)
A. B.3 C. D.
答案　D
解析　因为函数y=f(x)+ex为偶函数，
则f(-x)+e-x=f(x)+ex，
即f(x)-f(-x)=e-x-ex， ①
又因为函数y=f(x)-3ex为奇函数，
则f(-x)-3e-x=-f(x)+3ex，
即f(x)+f(-x)=3ex+3e-x， ②
联立①②可得f(x)=ex+2e-x，
所以f(ln 3)=eln 3+2e-ln 3=.
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.(2025·毕节模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，g(x)是定义在R上的偶函数，则(　　)
A.f(x)g(x)是奇函数 B.f(g(x))是奇函数
C.f(x)-g(x)是奇函数 D.g(f(x))是偶函数
答案　AD
解析　因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(-x)=-f(x)；
g(x)是定义在R上的偶函数，所以g(-x)=g(x)，
则f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)，所以f(x)g(x)为奇函数，故A正确；
f(g(-x))=f(g(x))，所以f(g(x))为偶函数，故B错误；
f(-x)-g(-x)=-f(x)-g(x)，则f(x)-g(x)为非奇非偶函数，故C错误；
g(f(-x))=g(-f(x))=g(f(x))，故g(f(x))为偶函数，故D正确.
8.(2025·湖北重点学校开学联考)已知函数f(x)的定义域为R， x，y∈R，f(xy)+xy=xf(y)+yf(x)，则(　　)
A.f(0)=0
B.xf+f(x)=2(x≠0)
C.f(x)为减函数
D.f(x)为奇函数
答案　ABD
解析　因为 x，y∈R，f(xy)+xy=xf(y)+yf(x)，
令x=y=1，可得f(1)+1=f(1)+f(1)，则f(1)=1，
令x=y=-1，可得f(1)+1=-f(-1)-f(-1)，则f(-1)=-1.
对于A，令x=y=0，可得f(0)=0，所以A正确；
对于B，令y=(x≠0)，可得f(1)+1=xf+f(x)=2，所以B正确；
对于C，因为f(-1)=-1，f(1)=1，所以f(x)不可能为R上的减函数，故C错误；
对于D，函数f(x)的定义域为R，定义域关于原点对称，
令y=-1，可得f(-x)-x=xf(-1)-f(x)，
所以f(-x)=-f(x)，所以f(x)为奇函数，所以D正确.
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.(2026·绵阳模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)=2x+x+m，则f(-3)=　　　　.
答案　-10
解析　因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)=20+m=0，
解得m=-1，则当x≥0时，f(x)=2x+x-1，
故f(-3)=-f(3)=-10.
10.若函数f(x)为偶函数，且在(0，+∞)上单调递增，又f(-2)=0，则xf(x)>0的解集为　　　　　　　.
答案　(-2，0)∪(2，+∞)
解析　因为函数f(x)为偶函数，且在(0，+∞)上单调递增，f(-2)=0，
所以f(x)在(-∞，0)上单调递减，f(2)=f(-2)=0，
则xf(x)>0可化为或
所以或
即x>2或-2所以原不等式的解集为(-2，0)∪(2，+∞).
四、解答题(共28分)
11.(13分)(2025·湖南省名校联盟开学考)已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=3x-3.
(1)求函数f(x)的解析式；(6分)
(2)若关于x的方程f(x)=2a+3恰有两个实数根，求实数a的取值范围.(7分)
解　(1)因为函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=3x-3，
当x=0时，f(0)=0；
当x<0时，-x>0，
所以f(x)=-f(-x)=-3-x+3，
综上，f(x)=
(2)函数f(x)的图象如图所示，
所以-2<2a+3<2且2a+3≠0，
解得-故实数a的取值范围是∪.
12.(15分)函数f(x)和g(x)具有如下性质：①定义域均为R；②f(x)为奇函数，g(x)为偶函数；③f(x)+g(x)=ex(常数e是自然对数的底数).
(1)求函数f(x)和g(x)的解析式；(7分)
(2)对任意实数x，[g(x)]2-[f(x)]2是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.(8分)
解　(1)由性质③f(x)+g(x)=ex，
则f(-x)+g(-x)=e-x，
由性质②知f(-x)=-f(x)，g(-x)=g(x)，故-f(x)+g(x)=e-x.
则
解得f(x)=，g(x)=.
(2)由(1)可得[g(x)]2-[f(x)]2
=-
=-=1，
故对任意实数x，[g(x)]2-[f(x)]2为定值，定值为1.
[每小题5分，共10分]
13.(2026·贵阳模拟)已知函数f(x)=的定义域为[-4，4]，且满足f(m2)+f(m-2)>0，则实数m的取值范围是　　　　　　.
答案　(1，2]
解析　因为f(-x)===-f(x)，所以f(x)为奇函数，
又因为f(x)==1-，
所以f(x)为[-4，4]上的增函数.
因为f(m2)+f(m-2)>0，f(x)为奇函数，
所以f(m2)>-f(m-2)=f(2-m)，
又f(x)为[-4，4]上的增函数，
所以
解得1所以实数m的取值范围为(1，2].
14.(2022·全国乙卷)若f(x)=ln+b是奇函数，则a=　　　，b=　　　.
答案　-　ln 2
解析　f(x)=ln+b=ln+ln eb=ln.
∵f(x)为奇函数，
∴f(-x)+f(x)
=ln=0，
∴=|1-x2|.
当(a+1)2e2b-a2e2bx2=1-x2时，
[(a+1)2e2b-1]+(1-a2e2b)x2=0对任意的x恒成立，
则
解得
当(a+1)2e2b-a2e2bx2=x2-1时，
[(a+1)2e2b+1]-(a2e2b+1)x2=0对任意的x恒成立，
则无解.
综上，a=-，b=ln 2.

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