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2.4　函数的周期性和对称性
一、单项选择题(每小题5分，共20分)
1.函数y=-ex与y=e-x的图象(　　)
A.关于x轴对称
B.关于y轴对称
C.关于原点对称
D.关于直线y=x对称
2.(2025·全国Ⅰ卷)已知f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，f(x)=5-2x，则f等于(　　)
A.- B.- C. D.
3.(2025·泰州模拟)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)=f(4-x)，且f(x)在[-2，2]上单调递增.设a=f，b=f，c=f(-13)，则(　　)
A.aC.b4.(2025·沧州期末)定义在R上的奇函数f(x+1)与函数g(x-1)的图象关于直线x=1对称，则下列结论错误的是(　　)
A.函数f(x)与g(x)的图象关于直线x=1对称
B.函数f(x)的图象关于点(1，0)对称
C.函数g(x-1)的图象关于点(2，0)对称
D.函数g(x)的图象关于点(2，0)对称
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
5.(2026·武汉模拟)已知函数f(x)=2sin x-2cos x，下列说法中正确的是(　　)
A.f(x)是周期函数
B.f(x)在上单调递增
C.函数f(x)为偶函数
D.函数f(x)的图象关于点对称
6.(2025·汕头模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x+2)=-f(x)，当0≤x≤1时，f(x)=tanx，则下列结论正确的是(　　)
A.f(x)的图象关于直线x=1对称
B.f=
C.f(x)在区间[2 023，2 025]上单调递增
D.当x∈[0，20]时，方程f(x)=的所有解的和为90
三、填空题(每小题5分，共10分)
7.(2026·淮南模拟)函数f(x)=(x2+2x)(x2+ax+b)的图象关于直线x=1对称，则a+b=　　　.
8.(2025·八省联考)已知曲线C：y=x3-，两条直线l1，l2均过坐标原点O，l1和C交于M，N两点，l2和C交于P，Q两点.若△OPM的面积为，则△MNQ的面积为　　　　.
四、解答题(共26分)
9.(12分)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且y=f(x)的图象关于直线x=2对称.
(1)证明：f(x)是周期函数；(6分)
(2)若当x∈[-2，2]时，f(x)=-x2+1，求当x∈[2，6]时，f(x)的解析式.(6分)
10.(链接教材，人教A版必修第一册P87习题3.2 T13)(14分)函数y=f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称的充要条件是函数y=f(x+a)-b为奇函数.
(1)若f(x)=x3-3x2，求此函数图象的对称中心；(9分)
(2)类比上述推广结论，写出“函数y=f(x)的图象关于y轴成轴对称的充要条件是函数y=f(x)为偶函数”的一个推广结论.(5分)
[每小题6分，共12分]
11.(多选)(2025·漳州模拟)已知定义在R上的函数f(x)不恒等于0，f(π)=0，且对任意的x，y∈R，都有f(2x)+f(2y)=2f(x+y)f(x-y)，则(　　)
A.f(0)=1
B.f(x)是偶函数
C.f(x)的图象关于点(π，0)中心对称
D.2π是f(x)的一个周期
12.(多选)(2025·福州模拟)已知定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(2+x)+g(-x)=1，则(　　)
A.f(x)的图象关于点(2，2)对称
B.f(x)是以8为周期的周期函数
C.g(x+8)=g(x)
D.f(4k-2)=2 025
2.4　函数的周期性和对称性
一、单项选择题(每小题5分，共20分)
1.函数y=-ex与y=e-x的图象(　　)
A.关于x轴对称
B.关于y轴对称
C.关于原点对称
D.关于直线y=x对称
答案　C
解析　根据两函数图象即可判断出其图象关于原点对称.
2.(2025·全国Ⅰ卷)已知f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，f(x)=5-2x，则f等于(　　)
A.- B.- C. D.
答案　A
解析　由题意知f(x)=f(-x)，f(x+2)=f(x)对一切x∈R成立，
于是f=f=f=5-2×=-.
3.(2025·泰州模拟)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)=f(4-x)，且f(x)在[-2，2]上单调递增.设a=f，b=f，c=f(-13)，则(　　)
A.aC.b答案　D
解析　定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)=f(4-x)，
则f(x)的图象的一条对称轴是直线x=2，
所以f(x)=f(4-x)=-f(-x)，
则f(x+4)=-f(x)，
则f(x+8)=-f(x+4)=f(x)，所以f(x)的一个周期是8，
所以b=f=f，c=f(-13)=f(3)=f(1)，
因为f(x)在[-2，2]上单调递增，
所以b=f4.(2025·沧州期末)定义在R上的奇函数f(x+1)与函数g(x-1)的图象关于直线x=1对称，则下列结论错误的是(　　)
A.函数f(x)与g(x)的图象关于直线x=1对称
B.函数f(x)的图象关于点(1，0)对称
C.函数g(x-1)的图象关于点(2，0)对称
D.函数g(x)的图象关于点(2，0)对称
答案　D
解析　函数f(x+1)的图象向右平移一个单位长度得到函数f(x)的图象，函数g(x-1)的图象向左平移一个单位长度得到函数g(x)的图象，且函数f(x+1)与g(x-1)的图象关于直线x=1对称，所以函数f(x)与g(x)的图象关于直线x=1对称，故A正确；
因为f(x+1)是奇函数，即f(x+1)的图象关于点(0，0)对称，所以f(x)的图象关于点(1，0)对称，故B正确；
由函数f(x+1)与g(x-1)的图象关于直线x=1对称，且f(x+1)的图象关于点(0，0)对称知，函数g(x-1)的图象关于点(2，0)对称，所以函数g(x)的图象关于点(1，0)对称，故C正确，D错误.
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
5.(2026·武汉模拟)已知函数f(x)=2sin x-2cos x，下列说法中正确的是(　　)
A.f(x)是周期函数
B.f(x)在上单调递增
C.函数f(x)为偶函数
D.函数f(x)的图象关于点对称
答案　ABD
解析　对于A，因为f(x+2π)=2sin(x+2π)-2cos(x+2π)=2sin x-2cos x=f(x)，
所以f(x)是周期函数，故A正确；
对于B，因为y=sin x在上单调递增，y=cos x在上单调递减，
且y=2x在上单调递增，可知y=2sin x在上单调递增，y=2cos x在上单调递减，所以f(x)=2sin x-2cos x在上单调递增，故B正确；
对于C，f=-=0，f=-≠0，即f≠f，
所以函数f(x)不是偶函数，C错误；
对于D，因为f=-=2cos x-2sin x=-f(x)，
所以函数f(x)的图象关于点对称，故D正确.
6.(2025·汕头模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x+2)=-f(x)，当0≤x≤1时，f(x)=tanx，则下列结论正确的是(　　)
A.f(x)的图象关于直线x=1对称
B.f=
C.f(x)在区间[2 023，2 025]上单调递增
D.当x∈[0，20]时，方程f(x)=的所有解的和为90
答案　ACD
解析　由f(x+2)=-f(x)=f(-x)知，f(x)的图象关于直线x=1对称，A正确；
所以f=f=tan=，B错误；
奇函数f(x)在[0，1]上单调递增，且f(0)=0，所以f(x)在[-1，1]上单调递增，
由f(x+4)=-f(x+2)=f(x)知，f(x)是周期为4的周期函数，
又2 023=4×506-1，2 025=4×506+1，所以f(x)在区间[2 023，2 025]上单调递增，C正确；
画出函数f(x)的图象(图略)，方程f(x)=在[0，4]上有两根，且两根关于直线x=1对称，所以两根和为2，故f(x)=在[0，20]上所有根的和为2×(1+5+9+13+17)=90，D正确.
三、填空题(每小题5分，共10分)
7.(2026·淮南模拟)函数f(x)=(x2+2x)(x2+ax+b)的图象关于直线x=1对称，则a+b=　　　.
答案　2
解析　因为函数f(x)=(x2+2x)(x2+ax+b)的图象关于直线x=1对称，所以f(1+x)=f(1-x)，
所以
即解得
经检验，符合题意，所以a+b=2.
8.(2025·八省联考)已知曲线C：y=x3-，两条直线l1，l2均过坐标原点O，l1和C交于M，N两点，l2和C交于P，Q两点.若△OPM的面积为，则△MNQ的面积为　　　　.
答案　2
解析　因为函数y=x3-为奇函数，所以曲线C的图象关于原点对称，又两条直线l1和l2均过坐标原点O，则P，Q关于原点对称，M，N关于原点对称，则四边形PNQM为平行四边形.又S△OPM=，则S△MNQ=2.
四、解答题(共26分)
9.(12分)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且y=f(x)的图象关于直线x=2对称.
(1)证明：f(x)是周期函数；(6分)
(2)若当x∈[-2，2]时，f(x)=-x2+1，求当x∈[2，6]时，f(x)的解析式.(6分)
(1)证明　因为函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称，所以f(x+2)=f(2-x)，
即有f(-x)=f(x+4)，
又函数f(x)是定义在R上的偶函数，
有f(-x)=f(x)，
所以f(x+4)=f(-x)=f(x)，
即f(x)是周期为4的周期函数.
(2)解　当x∈[-2，2]时，f(x)=-x2+1，
又f(x)是周期为4的周期函数，
当x∈[2，6]时，x-4∈[-2，2]，
所以f(x)=f(x-4)=-(x-4)2+1，
所以f(x)=-(x-4)2+1=-x2+8x-15，x∈[2，6].
10.(链接教材，人教A版必修第一册P87习题3.2 T13)(14分)函数y=f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称的充要条件是函数y=f(x+a)-b为奇函数.
(1)若f(x)=x3-3x2，求此函数图象的对称中心；(9分)
(2)类比上述推广结论，写出“函数y=f(x)的图象关于y轴成轴对称的充要条件是函数y=f(x)为偶函数”的一个推广结论.(5分)
解　(1)设函数f(x)=x3-3x2的图象的对称中心为点P(a，b)，g(x)=f(x+a)-b，
则g(x)为奇函数，故g(-x)=-g(x)，
故f(-x+a)-b=-f(x+a)+b，
即f(-x+a)+f(x+a)=2b，
即[(-x+a)3-3(-x+a)2]+[(x+a)3-3(x+a)2]=2b.
整理得(3a-3)x2+a3-3a2-b=0，
故解得
所以函数f(x)=x3-3x2的图象的对称中心为(1，-2).
(2)推论：函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称的充要条件是函数y=f(x+a)为偶函数.
[每小题6分，共12分]
11.(多选)(2025·漳州模拟)已知定义在R上的函数f(x)不恒等于0，f(π)=0，且对任意的x，y∈R，都有f(2x)+f(2y)=2f(x+y)f(x-y)，则(　　)
A.f(0)=1
B.f(x)是偶函数
C.f(x)的图象关于点(π，0)中心对称
D.2π是f(x)的一个周期
答案　ABC
解析　根据题意，f(2x)+f(2y)=2f(x+y)f(x-y)，
对于A，令y=x，可得f(2x)+f(2x)=2f(2x)f(0)，解得f(0)=1，即A正确；
对于B，令y=-x可得f(2x)+f(-2x)=2f(0)f(2x)=2f(2x)，所以f(2x)=f(-2x)，
即可得对任意的x∈R满足f(x)=f(-x)，即f(x)是偶函数，所以B正确；
对于C，令x=π-y，可得f(2π-2y)+f(2y)=2f(π)f(π-2y)=0，
即f(x)满足f(2π-x)+f(x)=0，因此可得f(x)的图象关于点(π，0)中心对称，即C正确；
对于D，假设2π是f(x)的一个周期，则f(2π)=f(0)=1，又f(2π-x)+f(x)=0，令x=0，得f(2π)+f(0)=0，即f(2π)=-f(0)=-1≠f(0)，故2π不是f(x)的一个周期，即D错误.
12.(多选)(2025·福州模拟)已知定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(2+x)+g(-x)=1，则(　　)
A.f(x)的图象关于点(2，2)对称
B.f(x)是以8为周期的周期函数
C.g(x+8)=g(x)
D.f(4k-2)=2 025
答案　BC
解析　对于A，由题意f(-x)=f(x)，g(-x)=-g(x)，且g(0)=0，
又f(2+x)+g(-x)=1，即f(2+x)-g(x)=1， ①
用-x替换f(2+x)+g(-x)=1中的x，得f(2-x)+g(x)=1， ②
由①+②得f(2+x)+f(2-x)=2，所以f(x)的图象关于点(2，1)对称，故A错误；
对于B，由f(2+x)+f(2-x)=2，可得f(4+x)+f(-x)=2，即f(4+x)=2-f(-x)=2-f(x)，
所以f(8+x)=2-f(4+x)=2-[2-f(x)]=f(x)，
所以f(x)是以8为周期的周期函数，故B正确；
对于C，由①可得g(x)=f(2+x)-1，则g(x+8)=f(2+x+8)-1=f(2+x)-1=g(x)，
所以g(x+8)=g(x)，故C正确；
对于D，因为f(4+x)+f(-x)=2，f(x)为偶函数，所以f(4+x)+f(x)=2，
令x=2，则有f(6)+f(2)=2，
令x=10，则有f(14)+f(10)=2，
令x=18，则有f(22)+f(18)=2，
……
令x=8 090，则有f(8 094)+f(8 090)=2，
所以f(4k-2)=f(2)+f(6)+f(10)+f(14)+f(18)+f(22)+…+f(8 090)+f(8 094)
==2×1 012=2 024，故D错误.

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