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2.5　二次函数与幂函数
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.若幂函数f(x)=xα的图象经过第三象限，则α的值可以是(　　)
A.-2 B.2 C. D.
2.(2025·石家庄统考)已知a=，b=，c=1，则(　　)
A.aC.b3.(2025·苏州期末)设幂函数f(x)=xα，则“α<0”是“f(x)在定义域内单调递减”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.(2026·郑州模拟)已知函数f(x)=x2+2ax+1，若 x∈[-1，2]，都有f(x)<4，则实数a的取值范围是(　　)
A.(，+∞) B.∪(1，+∞)
C. D.(-1，1)
5.若函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可能是(　　)
A.f(x)=
B.f(x)=
C.f(x)=
D.f(x)=
6.(2025·湖南长郡中学模拟)已知二次函数f(x)=ax2+x+c(x∈R)的值域为[0，+∞)，则+的最小值为(　　)
A.6 B.8 C.10 D.12
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.函数f(x)=ax2-2x+1与g(x)=xa在同一平面直角坐标系中的图象不可能为(　　)
8.(2025·金华期末)已知f(x)=xα(α∈R)，则下列说法正确的是(　　)
A.当α=3时，f(π)>f(3)
B.若函数f(x)的图象与y轴没有交点，则α<0
C.当α=时，[f(x)]2是奇函数
D.若α=2，则对任意实数x1，x2，有f≤
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.(2025·昭通模拟)已知幂函数f(x)=(m2-3m+3)xm的图象关于y轴对称，且函数g(x)=f(x)-2ax在区间[1，3]上单调递减，则实数a的取值范围是　　　　　.
10.(2026·南阳模拟)若函数f(x)=x2-2x+3在区间[m，n]上的值域为[2，18]，则n-m的最大值为　　　　.
四、解答题(共28分)
11.(13分)(2025·咸阳模拟)已知函数g(x)=ax2-4ax+1+b(a>0)在区间[1，3]上有最大值4和最小值1.
(1)求a，b的值；(7分)
(2)若函数g(x)在区间(m-1，2m)上不单调，求实数m的取值范围.(6分)
12.(15分)已知幂函数f(x)=(2k-1)(m∈N*)为偶函数，且在(0，+∞)上单调递减.
(1)求m和k的值；(7分)
(2)求满足(2a+1)-m<(3-2a)-m的实数a的取值范围.(8分)
[每小题5分，共10分]
13.已知函数f(x)=的部分图象如图所示，则a+b+c等于(　　)
A.-3 B.-6 C.13 D.1
14.(2025·岳阳模拟)关于x的不等式(x-1)9 999-29 999·x9 999≤x+1的解集为　　　　　.
2.5　二次函数与幂函数
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.若幂函数f(x)=xα的图象经过第三象限，则α的值可以是(　　)
A.-2 B.2 C. D.
答案　D
解析　当α=-2时，f(x)=x-2为偶函数，图象在第一和第二象限，不经过第三象限，A不符合题意；
当α=2时，f(x)=x2为偶函数，图象过原点，分布在第一和第二象限，不经过第三象限，B不符合题意；
当α=时，f(x)=，x∈[0，+∞)，图象过原点，分布在第一象限，不经过第三象限，C不符合题意；
当α=时，f(x)=，x∈R，为奇函数，图象经过原点和第一、三象限，D符合题意.
2.(2025·石家庄统考)已知a=，b=，c=1，则(　　)
A.aC.b答案　A
解析　b==，
而函数y=在(0，+∞)上单调递增，2<9<17，
因此<<1，所以a3.(2025·苏州期末)设幂函数f(x)=xα，则“α<0”是“f(x)在定义域内单调递减”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案　B
解析　若幂函数f(x)=xα在定义域内单调递减，则必有α<0，必要性成立；
但如α=-1<0，f(x)=x-1=不在定义域内单调递减，充分性不成立.
4.(2026·郑州模拟)已知函数f(x)=x2+2ax+1，若 x∈[-1，2]，都有f(x)<4，则实数a的取值范围是(　　)
A.(，+∞) B.∪(1，+∞)
C. D.(-1，1)
答案　C
解析　 x∈[-1，2]，都有f(x)<4，
即f(x)max<4，
因为f(x)的图象是开口向上的抛物线，所以当x∈[-1，2]时，函数f(x)的最大值在端点处取得，故即
解得-15.若函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可能是(　　)
A.f(x)=
B.f(x)=
C.f(x)=
D.f(x)=
答案　B
解析　由题图看出，f(x)为偶函数，定义域为R，
A选项，f(x)==，定义域为[0，+∞)，不符合题意；
B选项，f(x)==，定义域为R，且满足f(-x)===f(x)，
故f(x)=为偶函数，且在[0，+∞)上单调递增，增长速度越来越慢，B正确；
C选项，f(x)==的定义域为{x|x≠0}，C错误；
D选项，f(x)==()x=，不是偶函数，且在R上为减函数，D错误.
6.(2025·湖南长郡中学模拟)已知二次函数f(x)=ax2+x+c(x∈R)的值域为[0，+∞)，则+的最小值为(　　)
A.6 B.8 C.10 D.12
答案　C
解析　二次函数f(x)=ax2+x+c(x∈R)的值域为[0，+∞)，
故a>0，Δ=12-4ac=0，故ac=，
所以c>0，+==4(a2+c2)+8(a+c)
≥8ac+8×2=2+8=10，
当且仅当a=c=时，等号成立，
故+的最小值为10.
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.函数f(x)=ax2-2x+1与g(x)=xa在同一平面直角坐标系中的图象不可能为(　　)
答案　BD
解析　因为f(x)=ax2-2x+1，g(x)=xa，
对于A，当a=-1时，f(x)=-x2-2x+1，其图象开口向下，对称轴方程为x=-1，g(x)=x-1=，其图象关于原点对称，且在(0，+∞)上单调递减，故A可能是其图象；
对于B，当f(x)=ax2-2x+1的图象开口向上时，a>0，此时g(x)=xa在(0，+∞)上单调递增，故B不可能是其图象；
对于C，当a=时，f(x)=x2-2x+1，其图象开口向上，对称轴方程为x=2，g(x)=，其图象在[0，+∞)上单调递增，且增长速度越来越慢，故C可能是其图象；
对于D，当f(x)=ax2-2x+1的图象开口向上时，a>0，此时其对称轴方程为x=-=>0，故D不可能是其图象.
8.(2025·金华期末)已知f(x)=xα(α∈R)，则下列说法正确的是(　　)
A.当α=3时，f(π)>f(3)
B.若函数f(x)的图象与y轴没有交点，则α<0
C.当α=时，[f(x)]2是奇函数
D.若α=2，则对任意实数x1，x2，有f≤
答案　AD
解析　当α=3时，f(x)=x3在R上单调递增，所以f(π)>f(3)，故A正确；
若函数f(x)的图象与y轴没有交点，则函数f(x)在x=0处没有定义，故α≤0，故B错误；
当α=时，f(x)=(x≥0)，则[f(x)]2=x(x≥0)，定义域不关于原点对称，故[f(x)]2为非奇非偶函数，故C错误；
若α=2，则f(x)=x2，
f==，
=，
故f-
=-
=
=≤0，当且仅当x1=x2时，等号成立，
故f≤，D正确.
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.(2025·昭通模拟)已知幂函数f(x)=(m2-3m+3)xm的图象关于y轴对称，且函数g(x)=f(x)-2ax在区间[1，3]上单调递减，则实数a的取值范围是　　　　　.
答案　[3，+∞)
解析　因为函数f(x)=(m2-3m+3)xm是幂函数，则m2-3m+3=1，解得m=1或m=2.
当m=1时，f(x)=x，该函数是奇函数，不符合题意；
当m=2时，f(x)=x2，该函数是定义域为R的偶函数，符合题意.
所以f(x)=x2，则g(x)=x2-2ax，其对称轴方程为x=a.
因为g(x)在区间[1，3]上单调递减，则a≥3.
10.(2026·南阳模拟)若函数f(x)=x2-2x+3在区间[m，n]上的值域为[2，18]，则n-m的最大值为　　　　.
答案　8
解析　因为函数f(x)=x2-2x+3=(x-1)2+2，
所以当x=1时，f(x)有最小值f(1)=2，
当f(x)=18，即x2-2x+3=18时，解得x=-3或x=5，
又当x∈[-3，1)时，f(x)单调递减，
当x∈(1，5]时，f(x)单调递增，
所以n的最大值为5，m的最小值为-3，
所以n-m的最大值为5+3=8.
四、解答题(共28分)
11.(13分)(2025·咸阳模拟)已知函数g(x)=ax2-4ax+1+b(a>0)在区间[1，3]上有最大值4和最小值1.
(1)求a，b的值；(7分)
(2)若函数g(x)在区间(m-1，2m)上不单调，求实数m的取值范围.(6分)
解　(1)由题意得g(x)图象的对称轴为直线x=-=2，
所以当x=2时，g(x)取得最小值，当x=1或x=3时，g(x)取得最大值，
则解得
(2)由(1)得g(x)=3x2-12x+13，其图象的对称轴为直线x=2，
若函数g(x)在区间(m-1，2m)上不单调，
则m-1<2<2m，解得1所以实数m的取值范围为(1，3).
12.(15分)已知幂函数f(x)=(2k-1)(m∈N*)为偶函数，且在(0，+∞)上单调递减.
(1)求m和k的值；(7分)
(2)求满足(2a+1)-m<(3-2a)-m的实数a的取值范围.(8分)
解　(1)由函数f(x)=(2k-1)为幂函数，则2k-1=1，解得k=1.
由f(x)=(m∈N*)在(0，+∞)上单调递减，得m2-2m-3<0，解得-1而m∈N*，故m=1或m=2，
当m=1时，f(x)=x-4，定义域为{x|x≠0}，
且f(x)为偶函数，符合题意；
当m=2时，f(x)=x-3，定义域为{x|x≠0}，函数为奇函数，不符合题意，
故m=1，k=1.
(2)由(1)得m=1，则(2a+1)-1<(3-2a)-1，
即<，故2a+1>3-2a>0或0>2a+1>3-2a或2a+1<0<3-2a，
解得故实数a的取值范围为∪.
[每小题5分，共10分]
13.已知函数f(x)=的部分图象如图所示，则a+b+c等于(　　)
A.-3 B.-6 C.13 D.1
答案　A
解析　令g(x)=ax2+bx+c，
则f(x)=，
由图可得方程g(x)=0的两根为2和4，
则g(x)=a(x-2)(x-4)，
又由图象知f(3)=1，
即=1，则g(3)=1，
所以a×(3-2)×(3-4)=1，解得a=-1，
所以g(x)=-(x-2)(x-4)=-x2+6x-8，
所以b=6，c=-8，
则a+b+c=-1+6-8=-3.
14.(2025·岳阳模拟)关于x的不等式(x-1)9 999-29 999·x9 999≤x+1的解集为　　　　　.
答案　[-1，+∞)
解析　不等式(x-1)9 999-(2x)9 999≤x+1可化为(x-1)9 999+(x-1)≤(2x)9 999+2x，
而幂函数y=x9 999和y=x在R上均为增函数，
所以函数f(x)=x9 999+x为R上的增函数，
所以原不等式可化为f(x-1)≤f(2x)，
所以x-1≤2x，解得x≥-1，
故原不等式的解集为[-1，+∞).

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