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2.6　指数与指数函数
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.函数y=3|x|-1的定义域为[-1，2]，则其值域为(　　)
A.[2，8] B.[1，8]
C.[0，8] D.[-1，8]
2.已知指数函数f(x)=(a-1)bx的图象经过点，则等于(　　)
A. B. C.2 D.4
3.(2025·汕头期末)设a=，b=，c=，则a，b，c的大小关系为(　　)
A.c>a>b B.a>b>c
C.b>a>c D.a>c>b
4.(2025·乌鲁木齐模拟)函数y=ax-(a>0且a≠1)的图象可能是(　　)
5.(2026·哈尔滨模拟)已知函数y=a+b的图象经过原点，且无限接近直线y=2，但又不与该直线相交，则ab等于(　　)
A.-1 B.-2 C.-4 D.-9
6.已知奇函数f(x)=ax+b·a-x(a>0，a≠1)在[-1，1]上的最大值为，则a等于(　　)
A.或3 B.或2
C.3 D.2
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.下列各式正确的是(　　)
A.若2a=，则8a=
B.若am=3，an=4，则=24
C.若a>0，则=
D.若a>0，b>0，则4÷=-6ab-1
8.下列是真命题的是 (　　)
A.函数f(x)=+1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点(1，1)
B.函数y=的值域为(0，2]
C.函数f(x)=-为奇函数
D.若存在x∈(-∞，0]满足x2-3x+a<0(a∈R)，则a的取值范围是(-∞，1)
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.计算：3π0+×-=　　　　.
10.已知函数f(x)=|ax-1|(a>0，且a≠1)，若直线y=2a与函数f(x)的图象有两个公共点，则实数a的取值范围是　　　　　　　　.
四、解答题(共27分)
11.(13分)(2026·莆田模拟)已知函数f(x)=(a∈R).
(1)若a=-2，求f(x)的单调区间；(6分)
(2)若f(x)有最大值3，求a的值.(7分)
12.(14分)(2025·南通模拟)已知函数f(x)=22x+2k·2x+1的最小值为-3，k∈R.
(1)求实数k的值；(6分)
(2)若不等式f(x)≤-8有实数解，求实数a的取值范围.(8分)
[13题5分，14题6分，共11分]
13.(2025·成都模拟)已知a>2，8a+15a=17b，则(　　)
A.a>b>2
B.a>2>b
C.b>a>2
D.b>2，但a和b的大小关系无法确定
14.(多选)函数y=f(x)和y=f(-x)，若两函数在区间[m，n]上的单调性相同，则把区间[m，n]叫做y=f(x)的“稳定区间”，已知区间[1，2 025]为函数y=的“稳定区间”，则实数a的可能取值是(　　)
A.- B.- C.0 D.
2.6　指数与指数函数
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.函数y=3|x|-1的定义域为[-1，2]，则其值域为(　　)
A.[2，8] B.[1，8]
C.[0，8] D.[-1，8]
答案　C
解析　由题意x∈[-1，2]，所以|x|∈[0，2]，y=3|x|-1∈[0，8].
2.已知指数函数f(x)=(a-1)bx的图象经过点，则等于(　　)
A. B. C.2 D.4
答案　A
解析　由指数函数f(x)=(a-1)bx的图象经过点，得解得a=b=2，
所以==.
3.(2025·汕头期末)设a=，b=，c=，则a，b，c的大小关系为(　　)
A.c>a>b B.a>b>c
C.b>a>c D.a>c>b
答案　D
解析　依题意，函数y=在(0，+∞)上单调递增，函数y=在R上单调递减，
则>>，
即a，b，c的大小关系为a>c>b.
4.(2025·乌鲁木齐模拟)函数y=ax-(a>0且a≠1)的图象可能是(　　)
答案　D
解析　当a>1时，0<<1，函数y=ax-单调递增，
且图象由y=ax(a>1)的图象向下平移个单位长度得到，故A，B错误；
当01，函数y=ax-单调递减，
且图象由y=ax(05.(2026·哈尔滨模拟)已知函数y=a+b的图象经过原点，且无限接近直线y=2，但又不与该直线相交，则ab等于(　　)
A.-1 B.-2 C.-4 D.-9
答案　C
解析　因为函数y=a+b的图象经过原点，所以a+b=0，
即a+b=0，又该函数图象无限接近直线y=2，且不与该直线相交，
所以b=2，则a=-2，
所以ab=-4.
6.已知奇函数f(x)=ax+b·a-x(a>0，a≠1)在[-1，1]上的最大值为，则a等于(　　)
A.或3 B.或2
C.3 D.2
答案　A
解析　因为f(x)是奇函数，且定义域是R，
所以f(0)=a0+b·a0=1+b=0，
解得b=-1，
经检验，b=-1符合题意，所以f(x)=ax-a-x，
当a>1时，函数f(x)=ax-a-x在[-1，1]上单调递增，
所以f(x)max=f(1)=a-a-1=，
整理得3a2-8a-3=0，
解得a=3或a=-(舍去)，所以a=3；
当0所以f(x)max=f(-1)=a-1-a=，
整理得3a2+8a-3=0，
解得a=或a=-3(舍去)，所以a=，
综上，a=或a=3.
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.下列各式正确的是(　　)
A.若2a=，则8a=
B.若am=3，an=4，则=24
C.若a>0，则=
D.若a>0，b>0，则4÷=-6ab-1
答案　ABD
解析　对于A，因为2a=，所以8a=23a=(2a)3=，A正确；
对于B，=am·=3·(an=3×=3×(22=3×23=3×8=24，B正确；
对于C，===，C错误；
对于D，4÷=4××=-6ab-1，D正确.
8.下列是真命题的是 (　　)
A.函数f(x)=+1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点(1，1)
B.函数y=的值域为(0，2]
C.函数f(x)=-为奇函数
D.若存在x∈(-∞，0]满足x2-3x+a<0(a∈R)，则a的取值范围是(-∞，1)
答案　BCD
解析　对于A，令x-1=0，则x=1，当x=1时，f(1)=a0+1=2，所以函数f(x)的图象恒过定点(1，2)，故A错误；
对于B，令u=x2-1，所以u≥-1，又y=为减函数，所以y=∈(0，2]，即y=的值域为(0，2]，B正确；
对于C，因为函数f(x)=-的定义域为R，关于原点对称，且f(-x)=-=-，则f(-x)+f(x)=0，所以函数f(x)=-为奇函数，故C正确；
对于D，依题意，存在x∈(-∞，0]满足a<-x2+3x，令f(x)=-x2+3x，x∈(-∞，0]，
因为y=-x2与y=3x在(-∞，0]上单调递增，所以f(x)在(-∞，0]上单调递增，所以f(x)max=f(0)=1，所以a<1，即a的取值范围是(-∞，1)，D正确.
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.计算：3π0+×-=　　　　.
答案　
解析　原式=3+×-3
=×
=×=×=.
10.已知函数f(x)=|ax-1|(a>0，且a≠1)，若直线y=2a与函数f(x)的图象有两个公共点，则实数a的取值范围是　　　　　　　　.
答案　
解析　y=|ax-1|的图象由y=ax的图象向下平移一个单位长度，再将x轴下方的图象翻折到x轴上方得到，分a>1和0当a>1时，2a>2，显然不符合题意；
当0综上，实数a的取值范围是.
四、解答题(共27分)
11.(13分)(2026·莆田模拟)已知函数f(x)=(a∈R).
(1)若a=-2，求f(x)的单调区间；(6分)
(2)若f(x)有最大值3，求a的值.(7分)
解　(1)当a=-2时，f(x)=的定义域为R，
令t=-2x2-4x+3=-2(x+1)2+5≤5，
因为t=-2x2-4x+3在(-∞，-1)上单调递增，在(-1，+∞)上单调递减，
且y=在t∈(-∞，5]上单调递减，
所以f(x)在(-∞，-1)上单调递减，在(-1，+∞)上单调递增，
即f(x)的单调递增区间是(-1，+∞)，单调递减区间是(-∞，-1).
(2)令g(x)=ax2-4x+3，f(x)=，
由于f(x)有最大值3，所以g(x)应有最小值-1，
因此必有
解得a=1，即当f(x)有最大值3时，a的值为1.
12.(14分)(2025·南通模拟)已知函数f(x)=22x+2k·2x+1的最小值为-3，k∈R.
(1)求实数k的值；(6分)
(2)若不等式f(x)≤-8有实数解，求实数a的取值范围.(8分)
解　(1)令t=2x>0，g(t)=t2+2kt+1，t>0，则g(t)的图象开口向上，且对称轴为直线t=-k，
当-k≤0，即k≥0时，g(t)在(0，+∞)上单调递增，
由t=2x单调递增可知f(x)单调递增，此时f(x)无最值，不满足题意；
当-k>0，即k<0时，g(t)在(0，-k)上单调递减，在(-k，+∞)上单调递增，
所以f(x)min=g(t)min=g(-k)=-k2+1=-3，
可得k=-2(正值舍去).
(2)由题意及(1)知f(x)=22x-4·2x+1≤-8有解，
即≥2x+-4有解，
而2x+-4≥2-4=2，
当且仅当2x=3，即x=log23时取等号，
故只需≥2，解得0故实数a的取值范围为.
[13题5分，14题6分，共11分]
13.(2025·成都模拟)已知a>2，8a+15a=17b，则(　　)
A.a>b>2
B.a>2>b
C.b>a>2
D.b>2，但a和b的大小关系无法确定
答案　A
解析　由于a>2，所以17b=8a+15a>82+152=172，因此b>2，
又因为17b-a=+<+=1，即b-a<0，故214.(多选)函数y=f(x)和y=f(-x)，若两函数在区间[m，n]上的单调性相同，则把区间[m，n]叫做y=f(x)的“稳定区间”，已知区间[1，2 025]为函数y=的“稳定区间”，则实数a的可能取值是(　　)
A.- B.- C.0 D.
答案　AB
解析　因为y=f(x)=，
则f(-x)==|2x+a|，
由题意得f(x)=与f(-x)=|2x+a|在区间[1，2 025]上单调性相同.
若单调递增，则在区间[1，2 025]上恒成立，即所以-2≤a≤-；
若单调递减，则在区间[1，2 025]上恒成立，即无解，
综上，实数a的取值范围是，所以A，B选项符合题意.

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