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2.7　对数与对数函数
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.若函数y=log3x与y=f(x)的图象关于直线y=x对称，则f等于(　　)
A. B. C. D.3
2.(2025·湘西期末)函数y=的定义域为(　　)
A. B.(-∞，1]
C. D.[1，+∞)
3.(2025·天津河西区模拟)设a=log0.30.4，b=log0.31.1，c=log0.40.3，则a，b，c的大小关系为(　　)
A.bC.c4.(2025·成都模拟)已知f(x)=loga(x-1)+1(a>0且a≠1)恒过定点M，且点M在直线+=1(m>0，n>0)上，则m+n的最小值为(　　)
A.3+2 B.8
C.4 D.4
5.(2026·菏泽模拟)以下运算中正确的是(　　)
A.-2ln(ln ee)=9
B.log23·log94=2
C.若lg 3=a，lg 2=b，则log518=
D.+=lg 3
6.若不等式(x-1)20且a≠1)在x∈(1，2]内恒成立，则实数a的取值范围为(　　)
A.(1，2] B.(1，2)
C.(1，] D.(，2)
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.(2025·贵阳模拟)已知2x=3y=6，则实数x，y满足(　　)
A.(x-1)(y-1)=1 B.x+y>4
C.+>1 D.xy>4
8.(2026·烟台模拟)已知函数f(x)=lg(x2+ax-a)，下列说法中正确的是(　　)
A.若f(x)的定义域为R，则a的取值范围是(-4，0)
B.若f(x)的值域为R，则a的取值范围是(-∞，-4]∪[0，+∞)
C.若a=2，则f(x)的单调递减区间为(-∞，-1)
D.若f(x)在(-2，-1)上单调递减，则a的取值范围是
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.(2025·八省联考)已知函数f(x)=ax(a>0，a≠1)，若f(ln 2)f(ln 4)=8，则a=　　　　.
10.设函数f(x)=log2(4x)·log2(2x)，≤x≤4，则f(x)的最大值为　　　　.
四、解答题(共27分)
11.(13分)(2025·南昌模拟)已知函数f(x)=log3(9x+1)+kx是偶函数.
(1)求k的值；(6分)
(2)解不等式f(x)≥log3(7·3x-1).(7分)
12.(14分)(2026·南通模拟)已知函数f(x)=log2.
(1)判断并证明f(x)的奇偶性；(6分)
(2)若对任意x∈，t∈[-2，2]，不等式f(x)≥t2+at-6恒成立，求实数a的取值范围.(8分)
[13题5分，14题6分，共11分]
13.(2025·全国Ⅰ卷)已知2+log2x=3+log3y=5+log5z，则x，y，z的大小关系不可能为(　　)
A.x>y>z B.x>z>y
C.y>x>z D.y>z>x
14.(多选)(2025·沈阳模拟)科学记数法可以将一个正数x表示成x=a×10b，a∈[1，10)，b∈Z的形式，显然lg x=b+lg a，其中b叫做lg x的首数，记为f(x)，lg a叫做lg x的尾数，记为g(x)，则(　　)
A.f(e4)=1
B.g(e4)>
C.f(xy)=f(x)+f(y)
D.g(xy)=g(x)+g(y)
2.7　对数与对数函数
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.若函数y=log3x与y=f(x)的图象关于直线y=x对称，则f等于(　　)
A. B. C. D.3
答案　B
解析　因为函数y=log3x与y=f(x)的图象关于直线y=x对称，
所以f(x)=3x，所以f==.
2.(2025·湘西期末)函数y=的定义域为(　　)
A. B.(-∞，1]
C. D.[1，+∞)
答案　C
解析　由题意得
解得3.(2025·天津河西区模拟)设a=log0.30.4，b=log0.31.1，c=log0.40.3，则a，b，c的大小关系为(　　)
A.bC.c答案　D
解析　易知0=log0.31而log0.31.1又log0.40.3>log0.40.4=1，即c>1，
所以b4.(2025·成都模拟)已知f(x)=loga(x-1)+1(a>0且a≠1)恒过定点M，且点M在直线+=1(m>0，n>0)上，则m+n的最小值为(　　)
A.3+2 B.8
C.4 D.4
答案　A
解析　对于函数f(x)=loga(x-1)+1(a>0且a≠1)，f(2)=loga1+1=1，即点M(2，1)，
由题意可得+=1(m>0，n>0)，
所以m+n=(m+n)=3++
≥3+2=3+2，
当且仅当=，
即m=2+，n=+1时，等号成立，
故m+n的最小值为3+2.
5.(2026·菏泽模拟)以下运算中正确的是(　　)
A.-2ln(ln ee)=9
B.log23·log94=2
C.若lg 3=a，lg 2=b，则log518=
D.+=lg 3
答案　C
解析　-2ln(ln ee)=9-2ln e=9-2=7，故A错误；
log23·log94=log23·log32=1，故B错误；
log518====，故C正确；
+=+=log32+log35=log310=≠lg 3，故D错误.
6.若不等式(x-1)20且a≠1)在x∈(1，2]内恒成立，则实数a的取值范围为(　　)
A.(1，2] B.(1，2)
C.(1，] D.(，2)
答案　B
解析　若0而(x-1)2>0，
故(x-1)2若a>1，此时x∈(1，2]，logax>0，而(x-1)2>0，
令f(x)=logax，g(x)=(x-1)2，
画出函数f(x)与g(x)的图象，如图，
若不等式(x-1)2则loga2>1，解得1二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.(2025·贵阳模拟)已知2x=3y=6，则实数x，y满足(　　)
A.(x-1)(y-1)=1 B.x+y>4
C.+>1 D.xy>4
答案　ABD
解析　因为2x=3y=6，
所以x=log26=1+log23，y=log36=1+log32，
所以(x-1)(y-1)=log23×log32=1，A正确；
x+y=2+log23+log32>2+2=4，B正确；
+=log62+log63=1，C错误；
由+=1，可得xy=x+y>4，D正确.
8.(2026·烟台模拟)已知函数f(x)=lg(x2+ax-a)，下列说法中正确的是(　　)
A.若f(x)的定义域为R，则a的取值范围是(-4，0)
B.若f(x)的值域为R，则a的取值范围是(-∞，-4]∪[0，+∞)
C.若a=2，则f(x)的单调递减区间为(-∞，-1)
D.若f(x)在(-2，-1)上单调递减，则a的取值范围是
答案　ABD
解析　选项A，x2+ax-a>0对任意x∈R恒成立，即Δ=a2+4a<0，解得-4选项B，x2+ax-a≤0有解，因此Δ=a2+4a≥0，解得a≤-4或a≥0，B正确；
选项C，当a=2时，f(x)=lg(x2+2x-2)，由x2+2x-2=(x+1)2-3>0得x<-1-或x>-1+，根据复合函数的单调性得其单调递减区间是(-∞，-1-)，C错误；
选项D，f(x)在(-2，-1)上单调递减，
则解得a≤，D正确.
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.(2025·八省联考)已知函数f(x)=ax(a>0，a≠1)，若f(ln 2)f(ln 4)=8，则a=　　　　.
答案　e
解析　f(ln 2)f(ln 4)=aln 2aln 4=aln 2+ln 4
=a3ln 2==8，
∴aln 2=2，∴a=e.
10.设函数f(x)=log2(4x)·log2(2x)，≤x≤4，则f(x)的最大值为　　　　.
答案　12
解析　f(x)=log2(4x)·log2(2x)
=(log24+log2x)(log22+log2x)
=(2+log2x)(1+log2x)，
令t=log2x，∵≤x≤4，∴-2≤t≤2，
则g(t)=(2+t)(1+t)=t2+3t+2=-，
∴当t=2时，g(t)取得最大值12，
即f(x)的最大值为12.
四、解答题(共27分)
11.(13分)(2025·南昌模拟)已知函数f(x)=log3(9x+1)+kx是偶函数.
(1)求k的值；(6分)
(2)解不等式f(x)≥log3(7·3x-1).(7分)
解　(1)∵f(x)是偶函数，
∴f(-x)=f(x)，
即log3(9-x+1)-kx=log3(9x+1)+kx对任意x∈R恒成立，
∴2kx=log3(9-x+1)-log3(9x+1)
=log3=log33-2x=-2x，
∴k=-1.
(2)由(1)得f(x)=log3(9x+1)-x=log3(9x+1)-log33x=log3=log3(3x+3-x)，
则不等式f(x)≥log3(7·3x-1)等价于3x+3-x≥7·3x-1>0，
由7·3x-1>0，解得x>-log37；
由3x+3-x≥7·3x-1，
得6·(3x)2-3x-1≤0，
得0<3x≤，
即x≤-log32，
综上，不等式的解集为{x|-log3712.(14分)(2026·南通模拟)已知函数f(x)=log2.
(1)判断并证明f(x)的奇偶性；(6分)
(2)若对任意x∈，t∈[-2，2]，不等式f(x)≥t2+at-6恒成立，求实数a的取值范围.(8分)
解　(1)f(x)为奇函数，证明如下：
由解析式易知>0 (x-1)(x+1)<0 -1而f(-x)=log2=-log2=-f(x)，故f(x)为奇函数.
(2)由m==-1在上单调递减，而y=log2m在定义域上为增函数，
所以f(x)在上单调递减，
故f(x)min=f=-1，
要使任意x∈，t∈[-2，2]，不等式f(x)≥t2+at-6恒成立，
只需t2+at-6≤-1在t∈[-2，2]上恒成立，
即t2+at-5≤0在t∈[-2，2]上恒成立，
由y=t2+at-5的图象开口向上，
则 -≤a≤，
综上，实数a的取值范围为.
[13题5分，14题6分，共11分]
13.(2025·全国Ⅰ卷)已知2+log2x=3+log3y=5+log5z，则x，y，z的大小关系不可能为(　　)
A.x>y>z B.x>z>y
C.y>x>z D.y>z>x
答案　B
解析　方法一　设2+log2x=3+log3y=5+log5z=m，
令m=2，则x=1，y=3-1=，z=5-3=，此时x>y>z，A有可能；
令m=5，则x=8，y=9，z=1，此时y>x>z，C有可能；
令m=8，则x=26=64，y=35=243，z=53=125，此时y>z>x，D有可能.
方法二　设2+log2x=3+log3y=5+log5z=t，
则x=2t-2，y=3t-3，z=5t-5.
当x>y时，2t-2>3t-3，解得t<<5；
当z>y时，5t-5>3t-3，解得t>>5.
因此当x>z>y时，t无解，故选B.
14.(多选)(2025·沈阳模拟)科学记数法可以将一个正数x表示成x=a×10b，a∈[1，10)，b∈Z的形式，显然lg x=b+lg a，其中b叫做lg x的首数，记为f(x)，lg a叫做lg x的尾数，记为g(x)，则(　　)
A.f(e4)=1
B.g(e4)>
C.f(xy)=f(x)+f(y)
D.g(xy)=g(x)+g(y)
答案　AB
解析　因为10<24所以e4用科学记数法表示为e4=×10，
所以lg e4=1+lg，所以f(e4)=1，故A正确；
因为e3>10，所以e>1，即e4>1，
所以>1，则g(e4)=lg>，故B正确；
令x=2，y=5，则f(xy)=f(10)=1，
f(x)=f(2)=0，f(y)=f(5)=0，
所以f(xy)≠f(x)+f(y)，故C错误；
令x=2，y=5，则g(xy)=g(10)=0，
g(x)=g(2)=lg 2，g(y)=g(5)=lg 5，
所以g(xy)≠g(x)+g(y)，故D错误.

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