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2.10　函数的零点与方程的解
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.若函数y=f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，则“f(a)·f(b)<0”是“函数y=f(x)在开区间(a，b)内至少有一个零点”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.在用二分法求方程3x+2x-10=0在(1，2)上的近似解时，构造函数f(x)=3x+2x-10，依次计算得f(1)<0，f(2)>0，f(1.5)<0，f(1.75)>0，f(1.625)<0，则该近似解所在的区间是(　　)
A.(1，1.5) B.(1.5，1.625)
C.(1.625，1.75) D.(1.75，2)
3.已知函数f(x)=3x-4，则方程f(x)=2x的根的个数为(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
4.(2026·武汉期中)函数f(x)=cos 2x·(ln x-2π+1)，x∈(0，2π]的零点个数为(　　)
A.4 B.5 C.3 D.2
5.函数f(x)=+x2+m在区间(2，4)上存在零点，则实数m的取值范围是(　　)
A.(-∞，-18) B.(4+，+∞)
C.(4+，18) D.(-18，-4-)
6.已知函数f(x)=g(x)=f(x)-x-a，若函数g(x)有2个零点，则实数a的取值范围是(　　)
A.[-1，0) B.[1，+∞)
C.(-∞，1] D.[2，+∞)
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.在下列区间内，函数f(x)=9lg x-x2+9有零点的是(　　)
A.(0，1) B.(2，3) C.(3，4) D.(4，5)
8.(2025·大连模拟)已知x1，x2分别是函数f(x)=2x-和g(x)=log2x-的零点，则(　　)
A.-x2=0
B.log2x1+log2x2=0
C.x2>2
D.·log2x2=1
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.已知函数f(x)=则函数y=f(x)的零点是　　　　　　.
10.(2026·绵阳模拟)已知函数f(x)=若 m∈R，方程f(x)=m有三个实数根，则实数a的取值范围是　　　　　.
四、解答题(共28分)
11.(13分)已知二次函数f(x)=x2-bx+c(c≠0)的单调递增区间为[2，+∞)，且有一个零点为c.
(1)求c；(6分)
(2)若函数g(x)=f(x)-mx+1在(1，3)上有两个零点，求m的取值范围.(7分)
12.(15分)(2025·天水模拟)已知函数f(x)=log2(2+x)-log2(2-x).
(1)判断f(x)的奇偶性；(6分)
(2)若关于x的方程f(x)=log2(a+x)有两个不同的实数根，求实数a的取值范围.(9分)
[每小题5分，共10分]
13.(2025·石家庄模拟)函数f(x)=sin在上的零点个数为(　　)
A.3 B.4 C.6 D.8
14.(2026·银川模拟)当x∈[0，4]时，函数y=2x-2+mx2与y=4mx-2-x+2的图象有唯一的交点，则实数m的值为　　　　.
2.10　函数的零点与方程的解
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.若函数y=f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，则“f(a)·f(b)<0”是“函数y=f(x)在开区间(a，b)内至少有一个零点”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案　A
解析　函数y=f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，
由函数零点存在定理可知，当f(a)·f(b)<0时，函数y=f(x)在开区间(a，b)内至少有一个零点，充分性成立；
而函数y=f(x)在开区间(a，b)内至少有一个零点时，f(a)·f(b)<0不一定成立，
则“f(a)·f(b)<0”是“函数y=f(x)在开区间(a，b)内至少有一个零点”的充分不必要条件.
2.在用二分法求方程3x+2x-10=0在(1，2)上的近似解时，构造函数f(x)=3x+2x-10，依次计算得f(1)<0，f(2)>0，f(1.5)<0，f(1.75)>0，f(1.625)<0，则该近似解所在的区间是(　　)
A.(1，1.5) B.(1.5，1.625)
C.(1.625，1.75) D.(1.75，2)
答案　C
解析　由f(1)<0，f(1.5)<0，f(1.625)<0，f(1.75)>0，f(2)>0，根据二分法可知该近似解所在的区间是(1.625，1.75).
3.已知函数f(x)=3x-4，则方程f(x)=2x的根的个数为(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
答案　C
解析　方程f(x)=2x即为2x=3x-4，即3x=2x+4，
则方程f(x)=2x的根的个数，即为函数y=3x和y=2x+4的图象交点的个数，
作出函数y=3x和y=2x+4的图象，如图，
由图可知，两个图象有2个交点，所以方程f(x)=2x有2个根.
4.(2026·武汉期中)函数f(x)=cos 2x·(ln x-2π+1)，x∈(0，2π]的零点个数为(　　)
A.4 B.5 C.3 D.2
答案　A
解析　f(x)=0 cos 2x=0或ln x-2π+1=0.
若cos 2x=0 2x=kπ+，k∈Z x=+，k∈Z，
∵x∈(0，2π]，∴x=或或或；
若ln x-2π+1=0，解得x=e2π-1>e5>2π，舍去，
故函数f(x)只有4个零点.
5.函数f(x)=+x2+m在区间(2，4)上存在零点，则实数m的取值范围是(　　)
A.(-∞，-18) B.(4+，+∞)
C.(4+，18) D.(-18，-4-)
答案　D
解析　函数f(x)=+x2+m在(2，4)上的图象连续不断，且f(x)单调递增，
若f(x)=+x2+m在区间(2，4)上存在零点，
根据函数零点存在定理可知，只需满足f(2)f(4)<0，
即(m+4+)(m+18)<0，
解得-18所以实数m的取值范围是(-18，-4-).
6.已知函数f(x)=g(x)=f(x)-x-a，若函数g(x)有2个零点，则实数a的取值范围是(　　)
A.[-1，0) B.[1，+∞)
C.(-∞，1] D.[2，+∞)
答案　D
解析　由函数f(x)=
因为g(x)=f(x)-x-a，令g(x)=0，
即f(x)=x+a，由函数g(x)有2个零点，即y=f(x)和y=x+a的图象有两个交点，
在同一坐标系内画出两个函数的图象，如图所示，
结合函数的图象，要使函数g(x)有2个零点，则a≥2，
所以实数a的取值范围为[2，+∞).
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.在下列区间内，函数f(x)=9lg x-x2+9有零点的是(　　)
A.(0，1) B.(2，3) C.(3，4) D.(4，5)
答案　AC
解析　因为f(x)的定义域为(0，+∞)，分别画出函数y=9lg x与y=x2-9的图象，如图所示，
结合图象可知两函数图象的交点有2个，
易知f(x)在(0，1)内有零点，
又因为f(3)=9lg 3-9+9=9lg 3>0，
f(4)=9lg 4-16+9=3lg 64-7<3lg 100-7=-1<0，
所以f(3)f(4)<0，所以f(x)在(3，4)内有零点.
8.(2025·大连模拟)已知x1，x2分别是函数f(x)=2x-和g(x)=log2x-的零点，则(　　)
A.-x2=0
B.log2x1+log2x2=0
C.x2>2
D.·log2x2=1
答案　ABD
解析　由题设知，f(x)的零点为函数y=2x与函数y=图象交点的横坐标；g(x)的零点为函数y=log2x与函数y=图象交点的横坐标，由y=2x与y=log2x的图象关于直线y=x对称，y=的图象关于直线y=x对称，
所以x1，x2关于直线y=x对称，y=2x，y=log2x，y=的图象如图所示，
所以点(x1，)与点(x2，log2x2)关于直线y=x对称，
即
故-x2=0，·log2x2=1，
log2x1+log2x2=log2(x1x2)=0，A，B，D对；
若x2>2，即x2=>2 x1>1，此时x1x2>2，与x1x2=1矛盾，C错.
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.已知函数f(x)=则函数y=f(x)的零点是　　　　　　.
答案　-1和4
解析　依题意，或
解得x=-1或x=4.
10.(2026·绵阳模拟)已知函数f(x)=若 m∈R，方程f(x)=m有三个实数根，则实数a的取值范围是　　　　　.
答案　
解析　当a≥0时，函数y=x2在[a，+∞)上单调递增，且最小值为a2，函数y=2x+3在(-∞，a)上单调递增，且y<2a+3，如图1所示，
由图象可知，无论2a+3≥a2，还是2a+3当a<0时，函数y=x2在(0，+∞)上单调递增，在[a，0)上单调递减，则有y≥0，
函数y=2x+3在(-∞，a)上单调递增，且y<2a+3，如图2所示，
要想函数f(x)的图象与直线y=m可能有三个交点，
只需2a+3>0，即-综上，实数a的取值范围为.
四、解答题(共28分)
11.(13分)已知二次函数f(x)=x2-bx+c(c≠0)的单调递增区间为[2，+∞)，且有一个零点为c.
(1)求c；(6分)
(2)若函数g(x)=f(x)-mx+1在(1，3)上有两个零点，求m的取值范围.(7分)
解　(1)由二次函数f(x)=x2-bx+c(c≠0)的单调递增区间为[2，+∞)，
可得=2，解得b=4.
又因为f(x)有一个零点为c，
则f(c)=c2-4c+c=0，
解得c=3或c=0(舍去).
故c=3.
(2)由(1)可知g(x)=x2-4x+3-mx+1
=x2-(4+m)x+4，
因为g(x)在(1，3)上有两个零点，
则满足
解得0所以实数m的取值范围为.
12.(15分)(2025·天水模拟)已知函数f(x)=log2(2+x)-log2(2-x).
(1)判断f(x)的奇偶性；(6分)
(2)若关于x的方程f(x)=log2(a+x)有两个不同的实数根，求实数a的取值范围.(9分)
解　(1)f(x)为奇函数，理由如下：
由题意得解得-2又f(-x)=log2(2-x)-log2(2+x)=-f(x)，
故f(x)为奇函数.
(2)由f(x)=log2(a+x)，
得log2(2+x)-log2(2-x)=log2(a+x)，
所以=a+x，
所以a=-x=-x
=+(2-x)-3，
故方程f(x)=log2(a+x)有两个不同的实数根可转化为方程a=+(2-x)-3在区间(-2，2)上有两个不同的实数根，即函数y=a与y=+(2-x)-3在区间(-2，2)上的图象有两个交点.
设t=2-x，x∈(-2，2)，则y=+t-3，t∈(0，4).
作出函数y=+t-3，t∈(0，4)的图象，如图所示.
当1故实数a的取值范围是(1，2).
[每小题5分，共10分]
13.(2025·石家庄模拟)函数f(x)=sin在上的零点个数为(　　)
A.3 B.4 C.6 D.8
答案　C
解析　令t=x+，根据对勾函数的性质可知，函数t=x+在上单调递减，在(1，10)上单调递增，且t(1)=2，t=t(10)=.
所以当x∈时，t∈，
由y=sin t=0 t=kπ，k∈Z.
只有当k=1，2，3时，t的值分别对应π，2π，3π∈.
又因为x+=π，2π，3π在上各有2个解，
所以f(x)在上有6个零点.
14.(2026·银川模拟)当x∈[0，4]时，函数y=2x-2+mx2与y=4mx-2-x+2的图象有唯一的交点，则实数m的值为　　　　.
答案　
解析　当x∈[0，4]时，函数y=2x-2+mx2与y=4mx-2-x+2的图象有唯一的交点，
则关于x的方程2x-2+mx2=4mx-2-x+2在[0，4]上有唯一解，
即f(x)=2x-2+2-x+2+mx2-4mx在[0，4]上有唯一零点，
因为f(x)=2x-2+2-x+2+m(x-2)2-4m，
所以f(x)的图象关于直线x=2对称，
又f(x)在[0，4]上存在唯一零点，
所以f(2)=0，解得m=.

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