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2.11　函数与方程的综合应用
一、单项选择题(每小题5分，共20分)
1.若方程x2-3ax+2a2=0的一个根小于1，另一个根大于1，则实数a的取值范围是(　　)
A.(0，1) B.(1，2)
C.(2，5) D.
2.已知方程2x2-4mx-3=0的两根为α，β，且α∈(1，2)，β∈(-1，0)，则实数m的取值范围是(　　)
A. B.(-∞，-1)
C.(1，+∞) D.
3.(2026·六安模拟)已知函数f(x)的定义域为(0，+∞)，且f(x)在(0，+∞)上是单调函数，若f=3，则f(x)的零点为(　　)
A.2 B.1 C.4 D.6
4.(2025·白银模拟)已知函数f(x)=记函数g(x)=[f(x)]2-2f(x)-3的n个零点为xi(i=1，2，…，n)，则x1+x2+…+xn等于(　　)
A. B.5 C.3 D.
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
5.(2025·贵阳模拟)关于x的方程ax2+2x-1=0至少有一个正实根，则实数a的值可以是(　　)
A.0 B.-1 C.1 D.-2
6.(2025·汕头模拟)已知函数y=f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)=若关于x的方程[f(x)]2+a·f(x)+b=0(a，b∈R)有且只有7个不同的实数根，则实数a的值可能是(　　)
A.-3 B.- C.-2 D.-
三、填空题(每小题5分，共10分)
7.(2026·乌鲁木齐期中)已知函数f(x)=4x-a·2x+3(a∈R)在区间(0，2)上有两个零点，则实数a的取值范围为　　　　　　.
8.(2026·漳州模拟)已知函数f(x)=则方程f(f(x))=的解有　　　　个.
2.11　函数与方程的综合应用
一、单项选择题(每小题5分，共20分)
1.若方程x2-3ax+2a2=0的一个根小于1，另一个根大于1，则实数a的取值范围是(　　)
A.(0，1) B.(1，2)
C.(2，5) D.
答案　D
解析　令f(x)=x2-3ax+2a2，∵方程x2-3ax+2a2=0的一个根小于1，另一个根大于1，
∴f(1)=12-3a+2a2<0，解得∴实数a的取值范围是.
2.已知方程2x2-4mx-3=0的两根为α，β，且α∈(1，2)，β∈(-1，0)，则实数m的取值范围是(　　)
A. B.(-∞，-1)
C.(1，+∞) D.
答案　D
解析　令f(x)=2x2-4mx-3，
由题意f(0)=-3<0，
则得解得故实数m的取值范围是.
3.(2026·六安模拟)已知函数f(x)的定义域为(0，+∞)，且f(x)在(0，+∞)上是单调函数，若f=3，则f(x)的零点为(　　)
A.2 B.1 C.4 D.6
答案　B
解析　因为f(x)在(0，+∞)上单调，令t=f(x)+(t>0)，则f(x)=t-，且f(t)=3，
从而t-=3，解得t=4(负值舍去)，
所以f(x)=4-(x>0)，
由f(x)=0得x=1，所以f(x)的零点为1.
4.(2025·白银模拟)已知函数f(x)=记函数g(x)=[f(x)]2-2f(x)-3的n个零点为xi(i=1，2，…，n)，则x1+x2+…+xn等于(　　)
A. B.5 C.3 D.
答案　A
解析　令t=f(x)，h(t)=t2-2t-3=(t-3)(t+1)，
令h(t)=0，得t=-1或t=3，所以f(x)=-1或f(x)=3，
因为f(x)=所以当x≤0时，由x2+2=3，得x=-1；
当x>0时，由log2x=-1，得x=，由log2x=3，得x=8，
所以函数g(x)=[f(x)]2-2f(x)-3共有3个零点，分别为x1=-1，x2=，x3=8，
所以x1+x2+x3=.
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
5.(2025·贵阳模拟)关于x的方程ax2+2x-1=0至少有一个正实根，则实数a的值可以是(　　)
A.0 B.-1 C.1 D.-2
答案　ABC
解析　当a=0时，方程为2x-1=0，解得x=，方程有一个正实根；
当a≠0时，方程ax2+2x-1=0的根不为0.
①当方程ax2+2x-1=0有一个正实根和一个负实根时，解得a>0.
②当方程ax2+2x-1=0有两个正实根时，解得-1≤a<0.
综上，a的取值范围为[-1，+∞)，
结合选项可知，实数a的值可以是-1，0，1.
6.(2025·汕头模拟)已知函数y=f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)=若关于x的方程[f(x)]2+a·f(x)+b=0(a，b∈R)有且只有7个不同的实数根，则实数a的值可能是(　　)
A.-3 B.- C.-2 D.-
答案　BD
解析　由题可画出函数f(x)的大致图象如图所示，
∵关于x的方程[f(x)]2+a·f(x)+b=0(a，b∈R)有且只有7个不同的实数根，
设t=f(x)，则t≥，结合函数图象，
可知方程t2+at+b=0必有两个根t1，t2，
且t1=1，t2∈，∴t1+t2=-a∈，
则-2即实数a的取值范围是.
结合选项可知，B，D正确.
三、填空题(每小题5分，共10分)
7.(2026·乌鲁木齐期中)已知函数f(x)=4x-a·2x+3(a∈R)在区间(0，2)上有两个零点，则实数a的取值范围为　　　　　　.
答案　(2，4)
解析　令t=2x，因为x∈(0，2)，所以t∈(1，4)，
则方程t2-at+3=0在(1，4)内有2个根，
即a=t+在(1，4)内有2个解，
即直线y=a与函数g(t)=t+的图象在(1，4)内有2个交点，
由对勾函数的性质可知，g(t)=t+在(1，)上单调递减，在(，4)上单调递增，
又因为g(1)=4，g()=2，g(4)=，
所以2故实数a的取值范围为(2，4).
8.(2026·漳州模拟)已知函数f(x)=则方程f(f(x))=的解有　　　　个.
答案　4
解析　函数f(x)的图象如图所示.
设t=f(x)，则方程f(f(x))=即f(t)=，由图象可知，y=与y=f(x)的图象有3个交点，
横坐标分别为t1，t2，t3(t1方程f(f(x))=的解的个数转化为方程f(x)=t1，f(x)=t2，f(x)=t3的解的个数之和，
由图象可知，y=t1与y=f(x)的图象有1个交点，y=t2与y=f(x)的图象有3个交点，
y=t3与y=f(x)的图象没有交点，
所以方程f(f(x))=的解的个数为1+3=4.

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