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2.12　函数模型的应用
一、单项选择题(每小题5分，共20分)
1.下列选项分别是四种生意预期的获利y关于时间x的函数模型，从足够长远的角度看，使得公司获利最大的函数模型是(　　)
A.y=10×1.05x B.y=20+x2
C.y=30+lg(x+1) D.y=50x
2.(2025·菏泽模拟)某地西红柿从2月1日起开始上市.通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/102 kg)与上市时间t(单位：天)的数据如表.
上市时间t 50 110 250
种植成本Q 150 108 150
根据表中数据，函数①Q=at+b，②Q=at2+bt+c，③Q=a·bt，④Q=alogbt中能够描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系的是(　　)
A.① B.② C.③ D.④
3.学校宿舍与办公室相距a m.某同学有重要材料要送交给老师，从宿舍出发，先匀速跑步3 min来到办公室，停留2 min，然后匀速步行10 min返回宿舍.在这个过程中，这位同学行进的速度v(t)和行走的路程s(t)都是时间t的函数，则速度函数和路程函数的示意图分别是下面四个图象中的(　　)
A.①② B.③④ C.①④ D.③②
4.(2026·哈尔滨模拟)研究表明地震释放的能量E(单位：焦耳)与震级M之间的关系为lg E=λM+μ(其中λ，μ为常数).已知3级地震所释放的能量为2×109焦耳，4级地震所释放的能量为6.3×1010焦耳，则5.8级地震所释放的能量约为(　　)
(参考数据：lg 2≈0.30，100.8≈6.3，≈3.16)
A.1.5×1013焦耳 B.3.2×1013焦耳
C.5.8×1012焦耳 D.6.3×1012焦耳
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
5.(人教A版必修第一册P150例5改编)假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案每天的回报如图所示(横轴为投资时间，纵轴为每天的回报).根据以上信息，若使回报最多，则下列说法正确的是(　　)
A.投资3天以内(含3天)，采用方案一
B.投资4天，不采用方案三
C.投资8天，采用方案二
D.投资12天，采用方案二
6.某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常，排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为64 ppm，继续排气4分钟后又测得浓度为32 ppm.由检验知该地下车库一氧化碳浓度y(单位：ppm)与排气时间t(单位：分钟)之间满足函数关系y=aeRt(a，R为常数，e是自然对数的底数).若空气中一氧化碳浓度不高于0.5 ppm，人就可以安全进入车库了，则下列说法正确的是(　　)
A.a=128
B.R=ln 2
C.排气12分钟后浓度为16 ppm
D.排气32分钟后，人可以安全进入车库
三、填空题(每小题5分，共10分)
7.某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：如果顾客选购物品的总金额不超过600元，那么不享受任何折扣优惠；如果顾客选购物品的总金额超过600元，那么超过600元的部分享受一定的折扣优惠，折扣优惠按下表累计计算.
可以享受折扣优惠金额 折扣优惠率
不超过500元的部分 5%
超过500元的部分 10%
某人在此商场购物获得的折扣优惠金额为30元，则他实际所付金额为　　　　元.
8.(2026·沈阳期中)已知池塘中的荷花每经过一天的生长，荷叶覆盖水面面积都是前一天的倍，若荷叶经过20天可以完全长满池塘水面，则当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶大约生长了　　　　天.(参考数据：lg 2≈0.3)
四、解答题(共28分)
9.(13分)(2026·上海期中)某工厂某种产品的年固定成本为300万元，每生产x件，需另投入成本C(x)(万元)，当年产量不足80件时，C(x)=x2+10x；当年产量不少于80件时，C(x)=51x+-1 450.每件产品售价为50万元，通过市场分析，该工厂生产的产品能全部售完.
(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(件)的函数解析式；(6分)
(2)当年产量为多少时，该工厂在这一产品的生产销售中所获年利润最大？(7分)
10.(15分)(人教A版必修第一册P152例6)某公司为了实现1 000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y=0.25x，y=log7x+1，y=1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？
2.12　函数模型的应用
一、单项选择题(每小题5分，共20分)
1.下列选项分别是四种生意预期的获利y关于时间x的函数模型，从足够长远的角度看，使得公司获利最大的函数模型是(　　)
A.y=10×1.05x B.y=20+x2
C.y=30+lg(x+1) D.y=50x
答案　A
解析　因为指数函数y=1.05x的底数大于1，其增长速度随着时间的推移会越来越快，
比幂函数y=x2，对数型函数y=lg(x+1)，一次函数y=50x的增长速度快，
所以从足够长远的角度看，使得公司获利最大的函数模型是y=10×1.05x.
2.(2025·菏泽模拟)某地西红柿从2月1日起开始上市.通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/102 kg)与上市时间t(单位：天)的数据如表.
上市时间t 50 110 250
种植成本Q 150 108 150
根据表中数据，函数①Q=at+b，②Q=at2+bt+c，③Q=a·bt，④Q=alogbt中能够描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系的是(　　)
A.① B.② C.③ D.④
答案　B
解析　根据表中数据，西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系函数不是常数函数，也不是单调函数，
而Q=at+b，Q=a·bt，Q=alogbt，当a≠0时，均为单调函数，这与所提供的数据不符，
故能够描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系的是②Q=at2+bt+c.
3.学校宿舍与办公室相距a m.某同学有重要材料要送交给老师，从宿舍出发，先匀速跑步3 min来到办公室，停留2 min，然后匀速步行10 min返回宿舍.在这个过程中，这位同学行进的速度v(t)和行走的路程s(t)都是时间t的函数，则速度函数和路程函数的示意图分别是下面四个图象中的(　　)
A.①② B.③④ C.①④ D.③②
答案　A
解析　由题意得v(t)=
且s(t)=
由速度函数及路程函数的解析式可知，其图象分别为①②.
4.(2026·哈尔滨模拟)研究表明地震释放的能量E(单位：焦耳)与震级M之间的关系为lg E=λM+μ(其中λ，μ为常数).已知3级地震所释放的能量为2×109焦耳，4级地震所释放的能量为6.3×1010焦耳，则5.8级地震所释放的能量约为(　　)
(参考数据：lg 2≈0.30，100.8≈6.3，≈3.16)
A.1.5×1013焦耳 B.3.2×1013焦耳
C.5.8×1012焦耳 D.6.3×1012焦耳
答案　B
解析　因为lg E=λM+μ，由题意得解得
所以lg E≈1.5M+4.8，则E≈101.5M+4.8.
当M=5.8时，E≈101.5×5.8+4.8=1013.5=100.5×1013≈3.16×1013≈3.2×1013(焦耳).
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
5.(人教A版必修第一册P150例5改编)假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案每天的回报如图所示(横轴为投资时间，纵轴为每天的回报).根据以上信息，若使回报最多，则下列说法正确的是(　　)
A.投资3天以内(含3天)，采用方案一
B.投资4天，不采用方案三
C.投资8天，采用方案二
D.投资12天，采用方案二
答案　ABC
解析　对于A，若投资3天以内(含3天)，因为每天的回报均是方案一的回报最多，故采用方案一，所以A正确；
对于B，投资4天，方案三的总回报是最少的，故不采用方案三，所以B正确；
对于C，投资8天，由图可得方案三每天的回报均少于方案二，计算可以得到方案一的总回报为40×8=320(元)；
方案二的总回报为10+20+30+40+50+60+70+80=360(元)，故采用方案二，所以C正确；
对于D，根据图象的变化可知，方案三从第10天开始回报远超过140元，
可知方案三回报高很多，所以采用方案三，所以D错误.
6.某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常，排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为64 ppm，继续排气4分钟后又测得浓度为32 ppm.由检验知该地下车库一氧化碳浓度y(单位：ppm)与排气时间t(单位：分钟)之间满足函数关系y=aeRt(a，R为常数，e是自然对数的底数).若空气中一氧化碳浓度不高于0.5 ppm，人就可以安全进入车库了，则下列说法正确的是(　　)
A.a=128
B.R=ln 2
C.排气12分钟后浓度为16 ppm
D.排气32分钟后，人可以安全进入车库
答案　ACD
解析　设f(t)=aeRt，由题意得
解得A正确，B错误；
此时f(t)=128=27·=，
所以f(12)=24=16(ppm)，C正确；
当f(t)≤0.5时，≤0.5=2-1，得7-≤-1，所以t≥32，所以排气32分钟后，人可以安全进入车库，D正确.
三、填空题(每小题5分，共10分)
7.某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：如果顾客选购物品的总金额不超过600元，那么不享受任何折扣优惠；如果顾客选购物品的总金额超过600元，那么超过600元的部分享受一定的折扣优惠，折扣优惠按下表累计计算.
可以享受折扣优惠金额 折扣优惠率
不超过500元的部分 5%
超过500元的部分 10%
某人在此商场购物获得的折扣优惠金额为30元，则他实际所付金额为　　　　元.
答案　1 120
解析　设顾客选购物品的总金额为x元，获得的折扣优惠金额为y 元，
则当x∈[0，600]时，y=0，当x∈(600，1 100]时，y=(x-600)×5%=0.05x-30，令y=30，得0.05x-30=30，解得x=1 200>1 100，不符合题意；
当x∈(1 100，+∞) 时，y=500×5%+(x-1 100)×10%=25+0.1x-110=0.1x-85，令y=30，得0.1x-85=30，解得x=1 150，符合题意，
所以他实际所付金额为1 150-30=1 120(元).
8.(2026·沈阳期中)已知池塘中的荷花每经过一天的生长，荷叶覆盖水面面积都是前一天的倍，若荷叶经过20天可以完全长满池塘水面，则当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶大约生长了　　　　天.(参考数据：lg 2≈0.3)
答案　17
解析　设荷叶覆盖水面的初始面积为a，
则经过x天荷叶覆盖水面的面积y=a·(x∈N*)，
由题意得2a·=a·，即241-2x=520-x，
两边取以10为底的对数得(41-2x)lg 2=(20-x)lg 5，
所以(41-2x)×0.3=(20-x)×0.7，
解得x=17，故当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶大约生长了17天.
四、解答题(共28分)
9.(13分)(2026·上海期中)某工厂某种产品的年固定成本为300万元，每生产x件，需另投入成本C(x)(万元)，当年产量不足80件时，C(x)=x2+10x；当年产量不少于80件时，C(x)=51x+-1 450.每件产品售价为50万元，通过市场分析，该工厂生产的产品能全部售完.
(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(件)的函数解析式；(6分)
(2)当年产量为多少时，该工厂在这一产品的生产销售中所获年利润最大？(7分)
解　(1)当0≤x<80时，
L(x)=50x-x2-10x-300=-x2+40x-300；
当x≥80时，L(x)=50x-51x-+1 450-300=1 150-，
所以L(x)=其中x∈N.
(2)当0≤x<80时，
L(x)=-x2+40x-300=-(x-60)2+900，
所以当x=60时，L(x)取得最大值900；
当x≥80时，L(x)=1 150-≤1 150-2=950，
当且仅当x=，即x=100时，
L(x)取得最大值950，
所以当年产量为100件时，该工厂在这一产品的生产销售中所获年利润最大，最大年利润为950万元.
10.(15分)(人教A版必修第一册P152例6)某公司为了实现1 000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y=0.25x，y=log7x+1，y=1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？
解　借助信息技术画出函数y=5，y=0.25x，y=log7x+1，y=1.002x的图象(如图).观察图象发现，在区间[10，1 000]上，模型y=0.25x，y=1.002x的图象都有一部分在直线y=5的上方，只有模型y=log7x+1的图象始终在y=5的下方，这说明只有按模型y=log7x+1进行奖励时才符合公司的要求.
下面通过计算确认上述判断.
先计算哪个模型的奖金总数不超过5万元.
对于模型y=0.25x，它在区间[10，1 000]上单调递增，而且当x=20时，y=5，因此，当x>20时，y>5，所以该模型不符合要求；
对于模型y=1.002x，由函数图象，并利用信息技术，可知在区间(805，806)内有一个点x0满足1.00=5，由于它在区间[10，1 000]上单调递增，因此当x>x0时，y>5，所以该模型也不符合要求；
对于模型y=log7x+1，它在区间[10，1 000]上单调递增，而且当x=1 000时，y=log71 000+1≈4.55<5，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求.
再计算按模型y=log7x+1奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当x∈[10，1 000]时，是否有y≤0.25x，即log7x+1≤0.25x成立.
令f(x)=log7x+1-0.25x，x∈[10，1 000]，利用信息技术画出它的图象(如图).
由图象可知函数f(x)在区间[10，1 000]上单调递减，因此
f(x)≤f(10)≈-0.316 7<0，
即log7x+1<0.25x.
所以，当x∈[10，1 000]时，y≤0.25x，说明按模型y=log7x+1奖励，资金不会超过利润的25%.
综上所述，模型y=log7x+1确实能符合公司要求.

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