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第二十四章 一元二次方程 学情评估试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．下列关于的方程中，一定是一元二次方程的为（ ）
A. B.
C. D.
2．方程的解为（ ）
A. B.
C. D. ，
3．已知是关于的一元二次方程的一个解，则的值为（ ）
A. 2 024 B. 2 025 C. 2 026 D. 2 027
4．用配方法解方程，配方后的方程是（ ）
A. B. C. D.
5．一元二次方程的根的情况为（ ）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 不能判定
6．利用公式法解一元二次方程，得到方程的两根分别为，，且，则的值为（ ）
A. B. C. D.
7．若关于的一元二次方程有两个实数根，，则下列说法正确的是（ ）
A. 的值可以是0 B.
C. D. ，都是正数
8．在“双减政策”的推动下，某中学学生完成课后作业的平均时长明显减少.经过两个学期的两次调整，由原来每天完成作业的平均时长为90分钟，调整为60分钟.设这两次该校学生每天完成作业的平均时长的下降率均为，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
9．如图，为矩形对角线上一点，，，则方程的正数解是（ ）
A. 线段的长 B. 线段的长 C. 线段的长 D. 线段的长
10．定义：若一元二次方程有两个整数根，且其中一个根是另一个根的整数倍，则称该方程是“一元二次倍根方程”.例如的两根为，，因为是的2倍，所以是“一元二次倍根方程”.已知是正整数，若关于的一元二次方程是“倍根方程”，且关于的一元二次方程总有两个不相等的实数根，则的值为（ ）
A. 2 B. 2或5 C. 4或6 D. 2或6
二、填空题（本大题共3小题，每小题4分，共12分）
11．若方程化为一般形式后的二次项为，则一次项的系数为_ _ _ _ _ _ .
12．若关于的一元二次方程的两个实数根分别为3和，则_ _ _ _ _ _ .
13．如图，小程爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸭舍，其面积为，在鸭舍侧面中间位置留一个宽的门（由其他材料制成），则的长为_ _ _ _ _ _ _ _ .
三、解答题（本大题共4小题，共48分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
14．（16分）解方程：
（1） （直接开平方法）；
（2） （公式法）；
（3） （配方法）；
（4） （因式分解法）.
15．（8分）已知关于的一元二次方程.
（1） 求证：方程总有两个实数根；
（2） 若，且此方程的两个实数根的差为3，求的值.
16．（12分）某商店以20元/千克的单价购进一批商品，经调查发现，在一段时间内，销售量（千克）与销售单价（元/千克）之间存在一次函数关系，对应数值如表所示.
销售单价（元/千克） 25 35
销售量千克 50 30
（1） 求与之间的函数关系式.
（2） 现要求尽快售完该商品，并使销售利润达到400元，求销售单价应定为每千克多少元.
（3） 售完该商品后，销售利润能达到500元吗？若能，求出此时的销售单价；若不能，请说明理由.
17．（12分） 如图，在中， ，，，点从点开始沿边向点以的速度匀速运动，点从点开始沿边向点以的速度匀速运动.点，分别从点，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动.
（1） 经过多长时间，的面积等于？
（2） 的面积会等于的面积的一半吗？若会，请求出此时的运动时间；若不会，请说明理由.
参考答案
1．【答案】C
2．【答案】D
3．【答案】B
4．【答案】A
5．【答案】C
6．【答案】A
7．【答案】D
8．【答案】C
9．【答案】C
10．【答案】B
11．【答案】
12．【答案】
13．【答案】
14．（1） 解：,
两边开平方，得,
,.
（2） ，，，，
，，.
（3） ，
移项，得，
配方，得，
即，
，
，.
（4） ，
，
，即，
或，
，.
15．（1） 证明：.
， 该方程总有两个实数根.
（2） 解：解一元二次方程，
得，.
，.
该方程的两个实数根的差为3，
，解得.
16．（1） 解：设与之间的函数关系式为,
把代入，
得
解得与之间的函数关系式为.
（2） 根据题意，得，
整理，得，
解得，.
要尽快售完， 销售单价应定为30元/千克.
（3） 不能.理由如下：
根据题意，得，
整理，得，
，
此方程无解， 售完该商品后，销售利润不能达到500元.
17．（1） 解：点从点到点的运动时间为，点从点到点的运动时间为.设经过，的面积等于，
则，，
，
解方程，得，， 经过或，的面积等于.
（2） 不会.理由：在中， ，，，.
设经过，的面积等于的面积的一半，根据题意，得，
.
，
关于的一元二次方程无实数解，
的面积不会等于的面积的一半.
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