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【北师大版九年级数学（上）单元测试卷】
第一章：特殊平行四边形
一.选择题：（每小题3分共24分)
1．（本题3分）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
B、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意；
C、只含一个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，是一元二次方程，符合题意；
D、未知数最高次数为1，是一元一次方程，不是一元二次方程，不符合题意.
2．（本题3分）用配方法解方程，变形后结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
解：∵配方法需要在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，原方程为，一次项系数为，一半的平方为 ，
∴方程两边同时加，得，
整理得.
3．（本题3分）一元二次方程的一个根为3，那么它的另一个根为（ ）
A． B．0 C．2 D．
解：∵是一元二次方程的根，
∴将代入原方程得，可得，
∴原方程为，即，
解得，
∴方程的另一个根为．
4．（本题3分）若关于x的一元二次方程两根为、，且，则m的值为（ ）
A．12 B． C． D．9
解：对于一元二次方程，由根与系数的关系可得
，
∵
∴代入得，即
解得或
当时，，
当时，，
∴．
5．（本题3分）某超市2019年的销售利润是100万元，计划到2021年利润要达到144万元，若设每年平均增长率是，则可得方程（ ）
A． B．
C． D．
解：由题意可得，.
6．（本题3分）某食品厂生产一种饮料，平均每天销售箱，每箱盈利元．为了减少库存，食品厂决定降价销售．如果每箱降价1元，则每天可多销售5箱；若每箱降价x元，则可盈利元，依题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
解:设每箱降价元，
原来每箱盈利元，降价元后，每箱盈利为元，
原来每天售出箱，每降价元可多销售箱，降价元后，每天销售量为箱，
∵要求总盈利为元，
∴依题意可列方程为．
7．（本题3分）2024年8月20日，巴黎奥运表彰大会在北京隆重举行，在庆功聚会上，每2位参与者都热情地握了一次手以表达友谊，据统计，所有人共握手79800次，设有x人参加这次聚会，则根据题意，可列方程为（ ）
A． B． C． D．
解：∵设有人参加聚会，
∴每个人需要和除自身外的人握手，
又∵每两人之间仅握手1次，上述计算中每一次握手被重复计算了1次，
∴总握手次数为，结合题意总握手次数为次，
可得方程．故选C．
8．（本题3分）足球运动能锻炼学生的心肺功能、身体协调性、爆发力和耐力，促进骨骼与肌肉的发育，改善体态和运动能力．在某中学举办的“青春杯”校园足球赛中，采用单循环赛制（参赛的每两支球队之间都要进行一场比赛），共比赛28场，则参加比赛的球队数量是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
解单循环赛制中每两支球队之间只进行一场比赛，总比赛场数为28场，
设参加比赛的球队数量是，列方程 ，
整理得 ，
因式分解得 ，
解得 ，．
球队数量为正整数，
（舍去），
．
参加比赛的球队数量是8．
二、填空题（共15分）
9．（本题3分）判断下列一元二次方程中根的情况：
①____________________
②_____________________
③____________________
④________________________
解：①方程中，，，，
，因此该方程有两个不相等的实数根；
②方程中，，，，
，因此该方程有两个相等的实数根；
③方程中，，，，
，因此该方程有两个不相等的实数根；
④方程中，，，，
，因此该方程没有实数根．
10．（本题3分）已知一元二次方程的两根是，，则的值为_______．
解：∵一元二次方程的两根为，，其中，， ，
∴，，
∴．
11．（本题3分）如图，某小区规划在一个长、宽的长方形场地上修建三条同样宽的通道，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种花草，要使每一块草坪的面积都为，那么通道的宽x应该满足的方程为_______________________________
解：由题意，可列方程为.
12．（本题3分）如图，某中学课外兴趣活动小组准备围建一个面积为平方米的矩形苗圃园，其中一边靠米的墙，另外三边是周长为米的篱笆围成，则这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米．
依题意可列方程为：___________________；其中x的取值范围为：______________________
解：这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米，根据题意得，
，
，，
，，
．
13．（本题3分）已知不相等的实数，满足，，则代数式的值等于______．
解：∵不相等的实数，满足，，
∴，是一元二次方程的两个不相等的实数根，
∴，，
∴
．
三、解答题（共61分）
14．（本题6分）解下列方程：
(1)；
(2)．
（1）解：
∴或
∴，；
（2）解：
∴或
∴，．
15．（本题8分）关于的一元二次方程．
(1)若，求方程的解；
(2)求证：无论取何值，方程总有实数根．
（1）解：当时，变形为，
∴，
解得，．
（2）解：∵一元二次方程，且
∴
，
无论取何值，方程总有实数根．
16．（本题8分）关于x的一元二次方程．
(1)求证：方程有两个不相等的实数根．
(2)已知方程的两个实数根分别为，，且，求k的值．
(1)证明：∵原方程为，
∴
，
∴方程有两个不相等的实数根．
（2）解：∵方程的两个实数根为，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
代入得：，
整理得，
解得或．
17．（本题8分）2021年7月1日，是中国共产党建党100周年纪念日．100年前，在那个风雨飘摇的年代，伟大的中国共产党诞生于浙江嘉兴南湖的红船之上，成为了中华民族和中国人民的主心骨和领路人．2021年6月30日，为庆祝建党百年华诞，长沙市橘子洲举行了大型的音乐焰火晚会．据悉，当天下午3点钟的时候，橘子洲周边游客人数为2500人，下午5点钟时，游客人数达到了3600人．
(1)若3点至5点橘子洲每小时游客人数的平均增长率相同，求这个平均增长率；
(2)若橘子洲每小时游客人数的平均增长率保持不变，预计7点时，橘子洲游客人数有没有超过5000人？请用计算进行说明．
（1）解：设平均增长率为x，
依题意：，
解得：，（舍去）．
答：平均增长率为．
(2)依题意：．
∵，
∴游客人数会超过5000人．
答：游客人数会超过5000人．
18．（本题9分）为庆祝长征胜利90周年，文旅公司推出多款长征主题的文创产品．已知某款文创产品的成本价是每件20元，日销售量（件）与每件售价（元）的函数关系如图所示．
(1)求与的函数表达式；
(2)文旅公司在销售这款文创产品时，若每天盈利525元，且尽可能的让利于顾客，求该款文创产品每件的售价为多少元？
（1）解：设与的函数表达式为，
将点和点的代入得：，
解得：，
与的函数表达式为；
（2）解：根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
尽可能的让利于顾客，
，
即该款文创产品每件的售价为35元．
19．（本题10分）阅读材料：材料1：若关于x的一元二次方程的两个根为，，则，．材料2：已知一元二次方程 的两个实数根分别为m，n，求的值．
解：一元二次方程 的两个实数根分别为m，n，
，，则．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则________，________．
(2)类比应用：已知一元二次方程的两根分别为m、n，求的值．
(3)思维拓展：已知实数s、t满足，，且 ，求的值．
（1）解：∵一元二次方程的两个根为，
．
（2）解：∵一元二次方程的两个根分别为，
，
．
（3）解：∵实数满足，
∴可以看作方程的两个根，，
，
或，
当时，，
当时，，
综上可知，的值为或．
20．（本题12分）问题情境：综合与实践小组的同学到某食品直营店研学，对该店销售的上海产的“梨膏糖”的生产和销售情况进行了数据收集和信息整理，结果如下：
信息1：该店每日生产的这款“梨膏糖”当日全部售完．
信息2：该店这款“梨膏糖”日产量（千克）的范围是．
信息3：该款“梨膏糖”每千克的生产成本（元）与日产量（千克）之间的关系如下表所示．
信息4：该款“梨膏糖”每千克的售价（元）与日产量（千克）之间的关系可用如图的平面直角坐标系中的线段所示．
日产量（千克） 30 60 90 120
每千克的成本（元） 55 50 45 40
问题解决：
(1)根据收集的信息，该“梨膏糖”每千克的生产成本（元）与日产量（千克）之间的变化规律可用学习过的函数模型刻画，其函数关系式为 （无需写定义域）；
(2)①该“梨膏糖”每千克的售价（元）与日产量（千克）之间的函数关系式为 ；
②该款“梨膏糖”每千克的售价最高是 元，理由是 ；
(3)已知销售部计划将某日该款“梨膏糖”的销售利润定额为1200元，如果你是生产部经理，当日该产品的产量应该定为多少比较合理？请说明理由．
（1）解：由表格可知，日产量每增加千克，每千克的成本会下降元，
∴与成一次函数关系，
设，
将，；，，代入，得，
，
解得，
∴；
（2）解：①设，
将，；，，代入，得，
，
解得，
∴；
②∵，
∴随的增大而减小，
又∵，
∴当时，取得最大值（元）．
(3)当日该产品的产量应该定为千克比较合理，理由如下：
根据题意可列方程：，
∴，
整理，得，
解得，，
当时，总成本为（元）；当时，总成本为（元），
∴当日该产品的产量应该定为千克，总成本更低，更合理．
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【北师大版九年级数学（上）单元测试卷】
第一章：特殊平行四边形
一.选择题：（每小题3分共24分)
1．（本题3分）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（本题3分）用配方法解方程，变形后结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（本题3分）一元二次方程的一个根为3，那么它的另一个根为（ ）
A． B．0 C．2 D．
4．（本题3分）若关于x的一元二次方程两根为、，且，则m的值为（ ）
A．12 B． C． D．9
5．（本题3分）某超市2019年的销售利润是100万元，计划到2021年利润要达到144万元，若设每年平均增长率是，则可得方程（ ）
A． B．
C． D．
6．（本题3分）某食品厂生产一种饮料，平均每天销售箱，每箱盈利元．为了减少库存，食品厂决定降价销售．如果每箱降价1元，则每天可多销售5箱；若每箱降价x元，则可盈利元，依题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．（本题3分）2024年8月20日，巴黎奥运表彰大会在北京隆重举行，在庆功聚会上，每2位参与者都热情地握了一次手以表达友谊，据统计，所有人共握手79800次，设有x人参加这次聚会，则根据题意，可列方程为（ ）
A． B． C． D．
8．（本题3分）足球运动能锻炼学生的心肺功能、身体协调性、爆发力和耐力，促进骨骼与肌肉的发育，改善体态和运动能力．在某中学举办的“青春杯”校园足球赛中，采用单循环赛制（参赛的每两支球队之间都要进行一场比赛），共比赛28场，则参加比赛的球队数量是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
二、填空题（共15分）
9．（本题3分）判断下列一元二次方程中根的情况：
①____________________
②_____________________
③____________________
④________________________
10．（本题3分）已知一元二次方程的两根是，，则的值为_______．
11．（本题3分）如图，某小区规划在一个长、宽的长方形场地上修建三条同样宽的通道，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种花草，要使每一块草坪的面积都为，那么通道的宽x应该满足的方程为_______________________________
12．（本题3分）如图，某中学课外兴趣活动小组准备围建一个面积为平方米的矩形苗圃园，其中一边靠米的墙，另外三边是周长为米的篱笆围成，则这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米．
依题意可列方程为：___________________；其中x的取值范围为：______________________
13．（本题3分）已知不相等的实数，满足，，则代数式的值等于______．
三、解答题（共61分）
14．（本题6分）解下列方程：
(1)；
(2)．
15．（本题8分）关于的一元二次方程．
(1)若，求方程的解；
(2)求证：无论取何值，方程总有实数根．
16．（本题8分）关于x的一元二次方程．
(1)求证：方程有两个不相等的实数根．
(2)已知方程的两个实数根分别为，，且，求k的值．
17．（本题8分）2021年7月1日，是中国共产党建党100周年纪念日．100年前，在那个风雨飘摇的年代，伟大的中国共产党诞生于浙江嘉兴南湖的红船之上，成为了中华民族和中国人民的主心骨和领路人．2021年6月30日，为庆祝建党百年华诞，长沙市橘子洲举行了大型的音乐焰火晚会．据悉，当天下午3点钟的时候，橘子洲周边游客人数为2500人，下午5点钟时，游客人数达到了3600人．
(1)若3点至5点橘子洲每小时游客人数的平均增长率相同，求这个平均增长率；
(2)若橘子洲每小时游客人数的平均增长率保持不变，预计7点时，橘子洲游客人数有没有超过5000人？请用计算进行说明．
18．（本题9分）为庆祝长征胜利90周年，文旅公司推出多款长征主题的文创产品．已知某款文创产品的成本价是每件20元，日销售量（件）与每件售价（元）的函数关系如图所示．
(1)求与的函数表达式；
(2)文旅公司在销售这款文创产品时，若每天盈利525元，且尽可能的让利于顾客，求该款文创产品每件的售价为多少元？
19．（本题10分）阅读材料：材料1：若关于x的一元二次方程的两个根为，，则，．材料2：已知一元二次方程 的两个实数根分别为m，n，求的值．
解：一元二次方程 的两个实数根分别为m，n，
，，则．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则________，________．
(2)类比应用：已知一元二次方程的两根分别为m、n，求的值．
(3)思维拓展：已知实数s、t满足，，且 ，求的值．
20．（本题12分）问题情境：综合与实践小组的同学到某食品直营店研学，对该店销售的上海产的“梨膏糖”的生产和销售情况进行了数据收集和信息整理，结果如下：
信息1：该店每日生产的这款“梨膏糖”当日全部售完．
信息2：该店这款“梨膏糖”日产量（千克）的范围是．
信息3：该款“梨膏糖”每千克的生产成本（元）与日产量（千克）之间的关系如下表所示．
信息4：该款“梨膏糖”每千克的售价（元）与日产量（千克）之间的关系可用如图的平面直角坐标系中的线段所示．
日产量（千克） 30 60 90 120
每千克的成本（元） 55 50 45 40
问题解决：
(1)根据收集的信息，该“梨膏糖”每千克的生产成本（元）与日产量（千克）之间的变化规律可用学习过的函数模型刻画，其函数关系式为 （无需写定义域）；
(2)①该“梨膏糖”每千克的售价（元）与日产量（千克）之间的函数关系式为 ；
②该款“梨膏糖”每千克的售价最高是 元，理由是 ；
(3)已知销售部计划将某日该款“梨膏糖”的销售利润定额为1200元，如果你是生产部经理，当日该产品的产量应该定为多少比较合理？请说明理由．
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