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【北师大版九年级数学（上）单元测试卷】
第三章：图形的相似
一.选择题：（每小题3分共24分)
1．（本题3分）小明用投影仪将平板电脑屏幕的画面投屏到墙上，画面形状保持不变．已知该平板电脑屏幕的画面是相邻两边长之比为∶的矩形．若墙上投影画面的短边长为，则投影画面的长边长为（ ）
A． B． C． D．
2．（本题3分）如图，在中，，若，则与的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
3．（本题3分）如图，在菱形中，对角线，，且相交于点O．点E在上，且，过点E作，交于点F，则的长度为（ ）
A．6 B．8 C． D．
4．（本题3分）如图，在平行四边形中，E，F分别为边的中点，连接交于点P，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（本题3分）如图，点D为边上任一点，交于点E，连接相交于点F，则下列等式中不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（本题3分）如图，在中，，，，则与的面积比为（ ）
A． B． C． D．
7．（本题3分）如图，在矩形中，，E，F分别为上的点，若，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
8．（本题3分）如图，在正方形中，对角线，交于点．将线段沿射线方向平移，点，的对应点分别为点，，线段分别与，交于点，．当点是的中点时，的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共15分）
9．（本题3分）如图，在 中，分别是上的点，且，交于点 ，若，则______．
10．（本题3分）如图，在中，E是边上的中点，连接，并延长交的延长线于点F，若的周长为9，则的周长为______．
11．（本题3分）在平面直角坐标系中，的顶点的坐标为，以原点为位似中心，把缩小为原来的得到，且在第一象限内，则点的对应点的坐标为______．
12．（本题3分）如图，在中，、分别为、中点，连接，若，则四边形的面积为________________．
13．（本题3分）如图，是菱形的对角线，点、在上，点是的中点，连接、，．若，则的长为________．
三、解答题（共61分）
14．（本题6分）已知关于的方程，其中
(1)当方程有两个相等的实数根时，求与的数量关系；
(2)在平行四边形中，是边上一点，连接交于点的长是该方程的一个根，且．当时，确定点在线段上的位置并说明理由．
15．（本题8分）如图，在平行四边形 中，对角线交于点O，点G在边 上，连接交 于点F，若
(1)求证：；
(2)若，，求证：四边形是菱形．
16．（本题8分）如图，在 中，D，E分别是边 的中点，连接．
(1)请用无刻度的直尺和圆规在边上找一点F，连接 ，使（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，连接，判断四边形 的形状，并证明．
17．（本题8分）如图，在四边形中，，与相交于点E，．求证：．
18．（本题9分）图1、图2、图3都是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫格点．点均是格点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按要求作图．（保留作图痕迹）
(1)在图1中的上找一点，使；
(2)在图2中的上找一点，使；
(3)在图3中的上分别找一点，使．
19．（本题10分）数学实践课上，符老师和同学们围绕人教版八下教材页第题展开探讨，并作如下思考：
【教学理解】
(1)如图，在正方形中，、分别是边、上的动点，且，不与、重合，不与、重合．在边的上方作等腰，使得，，交于点．
①求证：；
②求的度数．
【教学思考】
(2)如图13-2，若将（1）中的正方形改为菱形，，，其他条件保持不变，请直接写出与的数量关系．
【拓展研究】
(3)如图13-2，在（2）的条件下，若，当点运动到的三等分点处时，求的值．
20．（本题12分）如图，在中，，，点在的延长线上，点在上且，交于点．
(1)探究和的数量关系并证明；
(2)探究、、之间的数量关系；
(3)保留原题条件，再过点作于点，延长交于点，若，求的值用含的代数式表示．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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【北师大版九年级数学（上）单元测试卷】
第三章：图形的相似
一.选择题：（每小题3分共24分)
1．（本题3分）小明用投影仪将平板电脑屏幕的画面投屏到墙上，画面形状保持不变．已知该平板电脑屏幕的画面是相邻两边长之比为∶的矩形．若墙上投影画面的短边长为，则投影画面的长边长为（ ）
A． B． C． D．
解：∵投屏后画面形状保持不变，
∴投影矩形与原屏幕矩形相似，对应边成比例，
∵原矩形相邻两边长之比为，即长边短边，设投影长边长为，
可得，
解得，
即投影画面长边长为．
2．（本题3分）如图，在中，，若，则与的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
解：∵，
∴，
∴．
3．（本题3分）如图，在菱形中，对角线，，且相交于点O．点E在上，且，过点E作，交于点F，则的长度为（ ）
A．6 B．8 C． D．
解：四边形是菱形，
，， ，
，
，
，
，
，
，
，
解得．
4．（本题3分）如图，在平行四边形中，E，F分别为边的中点，连接交于点P，则的值为（ ）
A． B． C． D．
解：过点E作交BF于点G，
∴
∴
∵E是的中点，
∴．
∵F是的中点，
∴
在平行四边形中，
∴．
∴
∴，
∴．
5．（本题3分）如图，点D为边上任一点，交于点E，连接相交于点F，则下列等式中不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
解：∵，
∴，
故选项A正确；
∵，
∴，
∴，，
故选项B正确；
∵，，
∴，
故选项D正确；
∵，，
∴，
∴，
故选项C错误．
6．（本题3分）如图，在中，，，，则与的面积比为（ ）
A． B． C． D．
解，
，
，
，，
，
．
7．（本题3分）如图，在矩形中，，E，F分别为上的点，若，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
解：∵，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
在矩形中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
解得．
8．（本题3分）如图，在正方形中，对角线，交于点．将线段沿射线方向平移，点，的对应点分别为点，，线段分别与，交于点，．当点是的中点时，的值为（ ）
A． B． C． D．
解：∵四边形是正方形，
∴，
∵点是的中点，
∴，
由平移得，
∴，
∴,
又∵，∴．
二、填空题（共15分）
9．（本题3分）如图，在 中，分别是上的点，且，交于点 ，若，则______．
解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
则．
10．（本题3分）如图，在中，E是边上的中点，连接，并延长交的延长线于点F，若的周长为9，则的周长为______．
解：在中，，，
，
根据相似三角形周长比等于对应边之比可得，
E是边上的中点，
，
．
11．（本题3分）在平面直角坐标系中，的顶点的坐标为，以原点为位似中心，把缩小为原来的得到，且在第一象限内，则点的对应点的坐标为______．
解：∵的顶点的坐标为，以原点为位似中心，把缩小为原来的得到，且在第一象限内，
∴点的对应点的坐标为，即．
12．（本题3分）如图，在中，、分别为、中点，连接，若，则四边形的面积为________________．
解：∵、分别是、的中点，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴．
∴．
13．（本题3分）如图，是菱形的对角线，点、在上，点是的中点，连接、，．若，则的长为________．
解：∵四边形是菱形，是对角线，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴．
三、解答题（共61分）
14．（本题6分）已知关于的方程，其中
(1)当方程有两个相等的实数根时，求与的数量关系；
(2)在平行四边形中，是边上一点，连接交于点的长是该方程的一个根，且．当时，确定点在线段上的位置并说明理由．
（1）解：∵有两个相等的实数根，
∴，
整理得：，
∴；
(2)点在线段上，且
理由：解方程，
因式分解得：，
解得：或，
∵是上的线段，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
验证条件，此时成立，
在平行四边形中，，如图所示：
∴，
∴
∴，即点分为
15．（本题8分）如图，在平行四边形 中，对角线交于点O，点G在边 上，连接交 于点F，若
(1)求证：；
(2)若，，求证：四边形是菱形．
(1)证明：在平行四边形中，对角线交于点O，
，，
，
，即，
∴
又，
；
(2)证明：，
，
∵，
∴，
∴,
∵，
∴
∴,
即，
又∵四边形 为平行四边形，
∴四边形 是菱形．
16．（本题8分）如图，在 中，D，E分别是边 的中点，连接．
(1)请用无刻度的直尺和圆规在边上找一点F，连接 ，使（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，连接，判断四边形 的形状，并证明．
(1)解：如图所示，点F即为所求；
(2)四边形 是平行四边形．
证明：如图，连接，
∵D，E分别是边 的中点，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∵，
∴四边形 是平行四边形．
17．（本题8分）如图，在四边形中，，与相交于点E，．求证：．
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴．
18．（本题9分）图1、图2、图3都是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫格点．点均是格点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按要求作图．（保留作图痕迹）
(1)在图1中的上找一点，使；
(2)在图2中的上找一点，使；
(3)在图3中的上分别找一点，使．
（1）解：如图1，点即为所求；
将看作正方形的对角线，作另一条对角线与相交于点，
∵正方形对角线互相平分，
∴，
根据中线的性质可得：；
（2）解：如图2，点即为所求；
根据网格图可知，，
且，
∴；
（3）解：如图3，点，即为所求．
根据网格图可知,，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
．
19．（本题10分）数学实践课上，符老师和同学们围绕人教版八下教材页第题展开探讨，并作如下思考：
【教学理解】
(1)如图，在正方形中，、分别是边、上的动点，且，不与、重合，不与、重合．在边的上方作等腰，使得，，交于点．
①求证：；
②求的度数．
【教学思考】
(2)如图13-2，若将（1）中的正方形改为菱形，，，其他条件保持不变，请直接写出与的数量关系．
【拓展研究】
(3)如图13-2，在（2）的条件下，若，当点运动到的三等分点处时，求的值．
（1）解：①四边形是正方形，
，，
，
，即，
，，
．
②，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
．
（2）解：，理由如下：
∵，，，
∴；
，，
，
∴；
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
，
∴是等腰三角形，
∴，
由题知，，，
，
，
（3）解：可设，
由（2）可得，，
，
，
，，
i．如图13-2，当时，
由顶角为的等腰三角形的三边关系可得：，
，
过点作于点，则，
，
，
，
在中，，
，，
，
，
，
，
，
ii．如备用图，当时，
由顶角为的等腰三角形的三边关系可得：
，
，
过点作于点，则，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
综上，的值为或．
20．（本题12分）如图，在中，，，点在的延长线上，点在上且，交于点．
(1)探究和的数量关系并证明；
(2)探究、、之间的数量关系；
(3)保留原题条件，再过点作于点，延长交于点，若，求的值用含的代数式表示．
(1)结论：．
证明：如图中，过点作于点．
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
；
(2)结论： ．
理由：由（1）知，
∴，
∵在中，，，
∴，
；
（3）解：由，可以假设，．
，
，
，，
，
，
，
，
， ，
，
，，
，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
．
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