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2.1 认识实数
2.1 认识实数
第1课时 不可比的数
1.通过拼图活动,感受不可比的数产生的实际背景和引入的必要性。
2.估计“不可比的数”的大小。
什么叫有理数？
整数
正整数：如 1，3，…
零：0
负整数：如 －1，－3，…
分数
正分数：如 ,5.2,…
负分数：如，－3.5,…
有理数
除了有理数外还有没有其他的数呢？
活动：把两个边长为 1 的小正方形通过剪、拼，设法得到一个大正方形，你会吗？
1
1
（2）a 是一个什么样的数？a 可能是整数吗？说说你的理由。
（1）大正方形的面积是多少呢？如果设大正方形的边长
为 a，则 a 满足什么条件？
因为S大正方形＝2，所以 a2＝2。
∵ a2＝2, 而 12＝1, 22＝4 ，
∴ 12＜a2＜22 。
∴ 1＜a＜ 2，a 不是整数。
（3）a 可能是分数吗？说说你的理由。并小组内交流。
因为一个整数的平方一定是整数，一个分数的平方一定是分数，所以 a 不可能是分数。
归纳 事实上，满足 a2＝2 的 a 既不是整数，也不是分数，所以 a 不是有理数。
思考 (1)如图，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？
(2)设该正方形的边长为 b，b 满足什么条件？
(3) b 是有理数吗？
b2＝5
∵ b2＝5，4＜b2＜9 ，∴ 2＜b＜3，
∴ b不是整数.
∵ b2＝5，∴ b 不是分数.
b 既不是整数，也不是分数，那么一定不是有理数.
S＝22＋12＝5
a2＝2
b2＝5
通过上面两个问题我们发现：
数 a，b 确实存在，但是它们不是有理数。
1.在直角三角形中两个直角边长分别为 2 和 3,则斜边的长( )
A.是有理数 B.不是有理数
C.不确定 D.为 4
B
（1）如图，三个正方形的边长之间有怎样的大小关系？
（2）边长 a 的整数部分是几？十分位是几？百分位呢？千分位呢？……借助计算器进行探索。
2
探究 那么，面积为 2 的正方形的边长 a 究竟是多少呢？
1
a
面积为2
1＜a＜2
（3）将探索过程整理在下列表格中：
边长a 面积S＝a2
1＜S＜4
1.96＜S＜2.25
1.988 1＜S＜2.016 4
1.999 396＜S＜2.002 225
1.999 961 64＜S＜2.000 244 49
1.4＜a＜1.5
1.41＜a＜1.42
1.414＜a＜1.415
1.414 2＜a＜1.414 3
1＜a＜2
1.52＝2.25
1.42＝1.96
1.412＝1.9881
1.422＝2.0164
1.432＝2.0449
1.442＝2.0736
1.452＝2.1025
1.4152＝2.002225
1.4142＝1.999396
想一想：还可以继续算下去吗？a 可能是有限小数吗？
借助计算器，我们可以无限的计算下去，a＝1.414 213 56…，
所以 a 不是一个有限小数,它是一个无限不循环小数。
我们可以根据 a 的精确度的要求，取不同的近似值：
(结果精确到0.1)
(结果精确到0.01)
(结果精确到0.001)
(4)面积为 5 的正方形的边长 b 的值是多少 b 可能是有限小数吗
利用计算器计算：
b＝2.236067978…，它也是一个无限不循环小数
归纳 事实上， a＝1.414 213 56…, b＝2.236067978…，它们都不是有理数，都是无限不循环小数。
例 在 △ABC 中，AB ＝AC , AD 是底边上的高，如图，若 AC ＝10 cm , BC ＝ 8 cm。
(1)求以 AD 的长为边长的正方形的面积；
(2)判断 AD 是否为有理数，并说明理由。
解:(1)∵ AB＝AC＝10 cm，AD⊥BC，
∴ BD＝CD＝4 cm,
AD ＝AB －BD ＝10 －4 ＝84,
∴以 AD 的长为边长的正方形的面积为 84 cm 。
(2)∵AD ＝84,
∴AD 既不是整数也不是分数，即 AD 不是有理数。
1.一个长方形的长与宽分别是 6 cm , 3 cm,则它的对角线的长是( )
A.整数 B.分数
C.有理数 D.无限不循环小数
2. 若 x2＝27,则 |x| 介于正整数　 　和　 　之间。
D
5
6
3.如图,在 3×3 的方格中,有一个阴影正方形,设每一个小方格的边长为 1 个单位,请解决下面的问题。
(1)阴影正方形的面积是多少
(2)阴影正方形的边长介于哪两个整数之间
解:(1) 5 。
(2) 2 和 3 之间。
有理数
不可比的数
有限小数
无限循环小数
无限不循环小数
2.1 认识实数
第2课时 实数
1.了解无理数的基本概念。（重点）
2.了解实数的意义，能对实数按要求分类。(重点）
3.了解实数范围内相关概念的意义。(重点）
4.了解实数与数轴上点的一一对应关系.能用数轴上的点表示
无理数。(难点）
问题1 一般地，不是有理数的数都是无限不循环小数吗
问题2 把下列有理数写成小数的形式，你有什么发现？
3, , ， ， 。
3＝3.0, ＝0.8, ＝0.，
＝－0.1，＝0..
归纳 事实上，有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示。反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。
无理数有很多，常见的有以下形式：
①一般的无限不循环小数；
② π 及含有 π 的式子表示的数；
③有规律的无限不循环小数；
④开方开不尽的数(后边会学习)。
如 π＝3.14159265…,
0.585885888588885… (相邻两个 5 之间 8 的个数逐次加 1 )
无限不循环小数称为无理数。
想一想 你能找到其他的无理数吗
例1 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
3.14，－ ，0. ， 0.1010001000001…（相邻两个 1 之间 0 的个数逐次加2）。
解：有理数有：3.14，－，0. ；
无理数有：0.1010001000001…（相邻两个 1 之间0 的个数逐次加 2）。
归纳 有理数和无理数统称为实数。
思考 （1）请你把下列各数填入下面相应的集合内。
3.14，－ ，0. ， 0.1010001000001…（相邻两个 1 之间 0 的个数逐次加2）。
…
正数集合
…
负数集合
3.14，0. ，
0.1010001000001…
－
思考 （2）还记得有理数的分类方法吗？你能用类似的方法对实数进行分类吗？
① 按定义分：
实数
有理数
无理数
正有理数
0
负有理数
正无理数
负无理数
有限小数或无限循环小数
无限不循环小数
② 按性质分：
实数
正实数
负实数
正有理数
正无理数
负有理数
负无理数
0
在实数范围内 ，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样．
例如：
与 互为相反数
5与 互为倒数
2
－2
|3|＝3，| 0|＝，|－|＝。
实数性质：
1.实数 a 的相反数是 。
2.实数 a 的绝对值是 ，且有|a|＝。
3.实数 a 的倒数是 。
－a
|a|
(3)绝对值等于 5 的数是 ，－7 的平方是 。
(1)正实数的绝对值是 ，0 的绝对值是 ，负实数的绝对值是　 。
它本身
0
它的相反数
49
(2)3的相反数是 ，绝对值是 。
3
±5
(1)无理数是无限不循环小数；
有理数是有限小数或无限循环小数。
(2)任何一个有理数都可以化为分数的形式，而无理数则不能。
有理数与无理数的主要区别:
探究 上节课讨论的两个正方形，边长分别是 a , b ,且满足 a =2,
b =5。
(1)如图, OA=OB , 数轴上点 A 对应 a , b 中的哪个数
（1）通过计算器计算，得 a＝1.414 213 56…,b＝2.236067978…，
所以，点 A 对应数 a 。
例2 在数轴上表示下列各数，并把这些数按从小到大的顺序进行排列，用“＜”连接：
－π,4,－1.5。
解：将点在数轴上表示，如图所示，
-π
·
-1.5
·
4
·
∴－π＜－1.5＜4。
例3 在下列正方形网格中，先找出长度为有理数的线段，再找出长度是无理数的线段。
解：长度为有理数的线段：AB、EF；
长度为无理数的线段：CD、GH、MN。
C
D
G
H
A
B
F
E
M
N
1. 在 ，，0.7070070007…(每两个 7 之间 0 的个数逐渐加1)，0.6 中不是有理数有( )个。
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
B
2. 下列说法中，正确的有（ ）
①无限小数都是有理数；②不循环小数不是有理数；
③不是有理数的数都是无限小数；④ 0 是有理数。
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
B
3.将下列各数按要求分类：
－，－1.，π，3.1416，，0，3.14，－0.2020020002……（相邻两个 2 之间 0 的个数逐次加 1 ）
有理数有 ，
无理数有__________________________，
分数有 ，
整数有 。
－，－1.，3.1416，，0，3.14
0
π，－0.2020020002……
－，－1.，3.1416，，3.14
无理数
认识无理数
实数与数轴上点的关系及大小比较
实数的概念及分类

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