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3.1　导数的概念及其意义、导数的运算
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.已知函数f(x)=ex+x，则f(x)在x=0处的切线方程为(　　)
A.y=1 B.y=x+1
C.y=-x+1 D.y=2x+1
2.已知函数f(x)=2 025cos，则f'等于(　　)
A.0 B.-2 025
C.2 025 D.4 050
3.拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内的导数为f'(x)，那么在区间(a，b)内至少存在一点c，使得f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)成立，其中c叫做f(x)在[a，b]上的“拉格朗日中值点”.根据这个定理，可得函数f(x)=x3-3x在[-2，2]上的“拉格朗日中值点”的个数为(　　)
A.3 B.2 C.1 D.0
4.过点(0，-e)作函数f(x)=xln x的切线，则切线方程为(　　)
A.x-y-e=0 B.x+y+e=0
C.2x-y-e=0 D.x+2y+2e=0
5.若曲线f(x)=和g(x)=ln x在公共点处的切线互相垂直，则k等于(　　)
A.2 B.1 C.-1 D.-2
6.若过点(a，b)可以作曲线y=ln x的两条切线，则(　　)
A.b>ln a B.bC.a<0 D.b>ea
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.给出定义：若函数f(x)在定义域D上可导，即f'(x)存在，且导函数f'(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)=[f'(x)]'.若f″(x)≥0在D上恒成立，则称f(x)在D上是“下凸函数”.下列函数中在定义域上是“下凸函数”的是(　　)
A.f(x)=x2-4x+3 B.g(x)=lox
C.h(x)=x2+2cos x D.φ(x)=x2ln x
8.已知函数f(x)=x2+2ln x的图象在A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))两个不同点处的切线相互平行，则下列等式不可能成立的是(　　)
A.x1+x2=2 B.x1+x2=
C.x1x2=1 D.x1x2=
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.已知函数f(x)=，且f'(1)=1，则a=　　　　，曲线y=f(x)在点(e，f(e))处的切线方程为　　　　　　.
10.在动画和游戏开发中，相切的曲线可生成平滑的角色路径和物体表面.若两条曲线在公共点处有相同的切线，且曲线不重合，则称两条曲线相切.设两抛物线y=x2+a与y2=x相切，则a=　　　　.
四、解答题(共26分)
11.(12分)已知函数f(x)=axln x+3(a为常数)在x=1处的切线与直线x+2y=0垂直.
(1)求实数a的值；(5分)
(2)已知点P是函数f(x)图象上的一点，求点P到直线2x-y-4=0的距离的最小值.(7分)
12.(14分)已知曲线C1：y=ln x+2和曲线C2：y=ln(x+2).
(1)若P为曲线C1上的一动点，当点P到直线y=ex+2的距离最小时，求点P的坐标；(5分)
(2)若直线l既是曲线C1的切线，也是曲线C2的切线，求直线l的方程.(9分)
[每小题6分，共12分]
13.(多选)已知函数f(x)=ex，g(x)=ex+1+a，则下列说法正确的是(　　)
A.曲线y=f(x)在点(0，1)处的切线斜率为1
B.曲线y=f(x)上的点到直线x-y=0的距离的最小值为
C.当a<0时，曲线y=f(x)与y=g(x)有且只有一条公切线
D.曲线y=f(x)与y=g(x)可能存在两条公切线
14.(多选)(2025·德州模拟)已知函数f(x)，g(x)及其导函数f'(x)，g'(x)的定义域都为R，若f(x+2)-g(1-x)=2，f'(x)=g'(x+1)，且g(x+1)为奇函数，则(　　)
A.g(1)=0 B.f(4)=0
C.g(k)=0 D.f(k)g(k)=0
3.1　导数的概念及其意义、导数的运算
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.已知函数f(x)=ex+x，则f(x)在x=0处的切线方程为(　　)
A.y=1 B.y=x+1
C.y=-x+1 D.y=2x+1
答案　D
解析　∵f'(x)=ex+1，f(0)=e0+0=1，f'(0)=e0+1=2，
∴f(x)在x=0处的切线方程为y-1=2(x-0)，
即y=2x+1.
2.已知函数f(x)=2 025cos，则f'等于(　　)
A.0 B.-2 025
C.2 025 D.4 050
答案　B
解析　因为f(x)=2 025cos，
则f'(x)=-4 050sin，
故f'=-4 050sin
=-4 050cos=-2 025.
3.拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内的导数为f'(x)，那么在区间(a，b)内至少存在一点c，使得f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)成立，其中c叫做f(x)在[a，b]上的“拉格朗日中值点”.根据这个定理，可得函数f(x)=x3-3x在[-2，2]上的“拉格朗日中值点”的个数为(　　)
A.3 B.2 C.1 D.0
答案　B
解析　函数f(x)=x3-3x，f'(x)=3x2-3，令x0为f(x)在[-2，2]上的“拉格朗日中值点”，
则有(3-3)(2+2)=(23-3×2)-(-23+3×2)，即4(3-3)=4，
整理得=，解得x0=±，
所以函数f(x)在[-2，2]上的“拉格朗日中值点”的个数为2.
4.过点(0，-e)作函数f(x)=xln x的切线，则切线方程为(　　)
A.x-y-e=0 B.x+y+e=0
C.2x-y-e=0 D.x+2y+2e=0
答案　C
解析　函数f(x)的定义域为(0，+∞)，f'(x)=ln x+1，
设切点为(m，mln m)(m>0)，则f'(m)=ln m+1，
所以切线方程为y-mln m=(1+ln m)(x-m)，又切线过点(0，-e)，
所以-e-mln m=(1+ln m)(0-m)，
整理得m=e，
所以所求切线方程为y-e=2(x-e)，
即2x-y-e=0.
5.若曲线f(x)=和g(x)=ln x在公共点处的切线互相垂直，则k等于(　　)
A.2 B.1 C.-1 D.-2
答案　C
解析　由函数f(x)=和g(x)=ln x，
可得f'(x)=-，g'(x)=，
设两曲线公共点的横坐标为t，
可得f'(t)=-，g'(t)=，
因为公共点处的切线互相垂直，
可得f'(t)g'(t)=-1，即=1，解得t=1，
又由f(1)=g(1)，可得k+1=0，解得k=-1.
6.若过点(a，b)可以作曲线y=ln x的两条切线，则(　　)
A.b>ln a B.bC.a<0 D.b>ea
答案　A
解析　方法一　函数y=ln x的定义域为(0，+∞)，设切点坐标为(x0，y0)，由于y'=，因此切线方程为y-ln x0=(x-x0)，
又切线过点(a，b)，则b-ln x0=，
即b+1=ln x0+，
设f(x)=ln x+，x∈(0，+∞)，
则直线y=b+1与曲线f(x)=ln x+有两个不同的交点，f'(x)=-=，
当a≤0时，f'(x)>0恒成立，f(x)在定义域内单调递增，与y=b+1只有一个交点，不合题意；
当a>0，0当x>a时，f'(x)>0，f(x)单调递增，
所以f(x)min=f(a)=ln a+1，
结合图象可知b+1>ln a+1，即b>ln a.
方法二　过点(a，b)可以作曲线y=ln x的两条切线，由图可知点(a，b)在曲线y=ln x的上方且在y轴右侧，所以a>0，且b>ln a.
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.给出定义：若函数f(x)在定义域D上可导，即f'(x)存在，且导函数f'(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)=[f'(x)]'.若f″(x)≥0在D上恒成立，则称f(x)在D上是“下凸函数”.下列函数中在定义域上是“下凸函数”的是(　　)
A.f(x)=x2-4x+3 B.g(x)=lox
C.h(x)=x2+2cos x D.φ(x)=x2ln x
答案　ABC
解析　f(x)的定义域为R，f'(x)=2x-4，f″(x)=2>0，故A符合题意；
g(x)的定义域为(0，+∞)，g'(x)==-，g″(x)=>0，故B符合题意；
h(x)的定义域为R，h'(x)=2x-2sin x，h″(x)=2-2cos x≥0，故C符合题意；
φ(x)的定义域为(0，+∞)，φ'(x)=2xln x+x2·=2xln x+x，φ″(x)=2ln x+2x·+1=2ln x+3，
当08.已知函数f(x)=x2+2ln x的图象在A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))两个不同点处的切线相互平行，则下列等式不可能成立的是(　　)
A.x1+x2=2 B.x1+x2=
C.x1x2=1 D.x1x2=
答案　AD
解析　因为f(x)=x2+2ln x，所以f'(x)=2x+，x>0，
又f(x)在A，B两个不同点处的切线相互平行，所以f'(x1)=f'(x2)，即2x1+=2x2+，
整理得(x1-x2)=0，因为x1≠x2，所以x1x2=1，D不可能成立；
又x1+x2≥2=2，且x1≠x2，所以x1+x2>2，A不可能成立.
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.已知函数f(x)=，且f'(1)=1，则a=　　　　，曲线y=f(x)在点(e，f(e))处的切线方程为　　　　　　.
答案　1　y=
解析　函数f(x)==(x>0)，f'(x)==，
由f'(1)=1，得a=1；
函数f(x)=(x>0)，f'(x)=，f(e)=，f'(e)=0，
所以曲线y=f(x)在点(e，f(e))处的切线方程为y=.
10.在动画和游戏开发中，相切的曲线可生成平滑的角色路径和物体表面.若两条曲线在公共点处有相同的切线，且曲线不重合，则称两条曲线相切.设两抛物线y=x2+a与y2=x相切，则a=　　　　.
答案　
解析　由题意可知，两抛物线y=x2+a与y2=x只可能在第一象限相切.
设两个抛物线相切于点(x0，y0)，y=x2+a在该点处的切线的斜率为2x0，
抛物线y2=x在第一象限的图象为函数y=在第一象限的图象，
函数y=在该点处的切线的斜率为，
所以2x0=，
解方程得x0=，y0==，
所以切点为，代入y=x2+a中，
解得a=.
四、解答题(共26分)
11.(12分)已知函数f(x)=axln x+3(a为常数)在x=1处的切线与直线x+2y=0垂直.
(1)求实数a的值；(5分)
(2)已知点P是函数f(x)图象上的一点，求点P到直线2x-y-4=0的距离的最小值.(7分)
解　(1)函数f(x)=axln x+3的定义域为(0，+∞)，f'(x)=a(1+ln x)，则f'(1)=a，
由曲线在x=1处的切线与直线x+2y=0垂直，得a=2，
所以实数a的值是2.
(2)由(1)知，f(x)=2xln x+3，x>0，f'(x)=2(1+ln x)，平移直线2x-y-4=0与函数f(x)的图象相切，
设切点为(t，2tln t+3)(t>0)，
则切线的斜率k=2(1+ln t)=2，解得t=1，
所以切点为(1，3)，
所以点P到直线2x-y-4=0的距离的最小值为=.
12.(14分)已知曲线C1：y=ln x+2和曲线C2：y=ln(x+2).
(1)若P为曲线C1上的一动点，当点P到直线y=ex+2的距离最小时，求点P的坐标；(5分)
(2)若直线l既是曲线C1的切线，也是曲线C2的切线，求直线l的方程.(9分)
解　(1)由题意知，当曲线C1在点P处的切线与直线y=ex+2平行时，点P到直线y=ex+2的距离最小，对y=ln x+2(x>0)求导，得y'=，
令=e，得x=，此时y=1，
所以点P的坐标为.
(2)设直线l与曲线C1的切点为A(x1，ln x1+2)(x1>0)，
则在点A处的切线斜率为，
可得切线方程为y-(ln x1+2)=(x-x1)，
整理得y=x+ln x1+1， ①
对y=ln(x+2)(x>-2)求导，得y'=，
设直线l与曲线C2的切点为B(x2，ln(x2+2))(x2>-2)，
则在点B处的切线斜率为，切线方程为y-ln(x2+2)=(x-x2)，
整理得y=x+ln(x2+2)-， ②
因为①②表示同一条直线，
则
由③可得x1=x2+2，
将其代入④得ln(x2+2)+1=ln(x2+2)-，
即1=-，解得x2=-1，
所以x1=x2+2=1.
把x1=1代入①式得切线方程为y=x+1，
即直线l的方程为x-y+1=0.
[每小题6分，共12分]
13.(多选)已知函数f(x)=ex，g(x)=ex+1+a，则下列说法正确的是(　　)
A.曲线y=f(x)在点(0，1)处的切线斜率为1
B.曲线y=f(x)上的点到直线x-y=0的距离的最小值为
C.当a<0时，曲线y=f(x)与y=g(x)有且只有一条公切线
D.曲线y=f(x)与y=g(x)可能存在两条公切线
答案　AC
解析　由题意得f'(x)=ex，则f'(0)=1，
所以曲线y=f(x)在点(0，1)处的切线斜率为1，A正确；
由A项分析可知曲线y=f(x)在点(0，1)处的切线方程为x-y+1=0，与直线x-y=0平行，
所以曲线y=f(x)上的点到直线x-y=0的距离的最小值为=，B错误；
又g'(x)=ex+1，设曲线y=f(x)，y=g(x)的切点分别为(x1，)，(x2，+a)，
则==，得a=-.当a<0时，x1有唯一解，
所以曲线y=f(x)与y=g(x)有且只有一条公切线，当a≥0时，x1无解，
所以曲线y=f(x)与y=g(x)没有公切线，C正确，D错误.
14.(多选)(2025·德州模拟)已知函数f(x)，g(x)及其导函数f'(x)，g'(x)的定义域都为R，若f(x+2)-g(1-x)=2，f'(x)=g'(x+1)，且g(x+1)为奇函数，则(　　)
A.g(1)=0 B.f(4)=0
C.g(k)=0 D.f(k)g(k)=0
答案　ACD
解析　因为g(x+1)为奇函数，
所以g(-x+1)+g(x+1)=0，
取x=0，可得g(1)+g(1)=0，
所以g(1)=0，A正确；
由f'(x)=g'(x+1)，
可得[f(x)-g(x+1)]'=0，
所以f(x)-g(x+1)=m(m为常数)，
又f(x+2)-g(1-x)=2，
所以f(x)-g(3-x)=2，
所以g(x+1)-g(3-x)=2-m，
取x=1，可得2-m=0，故m=2，
所以g(x+1)=g(3-x)，
又g(-x+1)+g(x+1)=0，
所以-g(-x+1)=g(3-x)，
即g(3+x)=-g(x+1)，
所以g(x+2)=-g(x)，
所以g(x+4)=-g(x+2)=g(x)，
所以函数g(x)的一个周期为4，
因为g(x+2)=-g(x)，
所以g(3)=-g(1)，g(4)=-g(2)，
所以g(1)+g(3)=0，g(2)+g(4)=0，
所以g(1)+g(2)+g(3)+g(4)=0，
所以g(4n+1)+g(4n+2)+g(4n+3)+g(4n+4)=0，n∈Z，
所以g(k)=[g(1)+g(2)+g(3)+g(4)]+…+[g(2 021)+g(2 022)+g(2 023)+g(2 024)]+g(2 025)=g(2 025)=g(4×506+1)=g(1)=0，C正确；
因为f(x+2)-g(1-x)=2，g(-x+1)+g(x+1)=0，
所以f(x+2)=2-g(x+1)，f(x+6)=2-g(x+5)=2-g(x+1)，
所以f(x+6)=f(x+2)，所以函数f(x)的一个周期为4，
所以f(x+4)g(x+4)=f(x)g(x)，
所以函数f(x)g(x)的一个周期为4，
又f(1)=2-g(0)，f(2)=2-g(1)=2，
f(3)=2-g(2)=2+g(0)，f(4)=2-g(3)=2，B错误；
所以f(1)g(1)+f(2)g(2)+f(3)g(3)+f(4)g(4)=0+2g(2)+0+2g(4)=0，
所以f(k)g(k)=506[f(1)g(1)+f(2)g(2)+f(3)g(3)+f(4)g(4)]+f(2 025)g(2 025)=0，D正确.

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