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3.2　导数与函数的单调性
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.(2025·长沙模拟)已知函数f(x)的图象如图所示，则其导函数f'(x)的图象可能是(　　)
2.函数f(x)=(x+1)e-x+x2-1的单调递减区间为(　　)
A.(-ln 2，0) B.(-∞，-ln 2)
C.(-ln 2，+∞) D.(0，+∞)
3.若函数f(x)=x2-aln x(a>0)的单调递减区间为(0，1)，则实数a的值为(　　)
A.2 B. C.1 D.4
4.若函数f(x)=e2x-4ex-ax在R上单调递增，则实数a的取值范围为(　　)
A.(-∞，-2] B.(-∞，-4]
C.[-2，+∞) D.[-4，+∞)
5.若函数f(x)=sinx-2ax在R上不单调，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
6.(2026·周口模拟)已知函数f(x)=若a=f(lo2)，b=f(log2)，c=f(e0.1)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A.cC.a二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.如图为y=f(x)的导函数f'(x)的图象，给出下列四个说法，其中正确的是(　　)
A.f(x)有三个单调区间
B.f(-2)C.f(-1)D.f(x)在[-1，2]上单调递增，在(2，4]上单调递减
8.若函数f(x)=x2-9ln x在区间[m-1，m+1]上单调，则实数m的值可能是(　　)
A.4 B.3 C.2 D.1
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.函数f(x)=ln x+的单调递增区间为　　　　　　.
10.(2026·海口模拟)已知函数f(x)=x3+2x-sin x，则不等式f(2x2-1)+f(x)≤0的解集为　　　　　　　　.
四、解答题(共27分)
11.(13分)已知函数f(x)=x+asin x在x=0处的切线方程为x+y=0.
(1)求实数a的值；(5分)
(2)当x∈[0，2π]时，求函数f(x)的单调区间.(8分)
12.(14分)(2025·哈尔滨期末)已知函数f(x)=x2-x+a(ln x-2x)，a∈R.
(1)若函数y=f(x)的图象在x=e处的切线平行于x轴，求a的值；(4分)
(2)讨论f(x)的单调性.(10分)
[13题5分，14题6分，共11分]
13.对于函数f(x)=ax2+cos x-1，f(x)在(0，+∞)上单调递增的一个必要不充分条件是(　　)
A.a∈[0，+∞) B.a∈(-∞，0]
C.a∈ D.a∈(-∞，1)
14.(多选)已知函数f(x)=，则下列结论中正确的是(　　)
A.当x<0时，f(x)<0
B.f(x)的图象关于点(0，1)中心对称
C.若m+n=0，则|f(m)-f(n)|>1
D.f(x)在(0，+∞)上单调递减
3.2　导数与函数的单调性
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.(2025·长沙模拟)已知函数f(x)的图象如图所示，则其导函数f'(x)的图象可能是(　　)
答案　B
解析　由题图可得函数f(x)单调递增，则其导函数f'(x)≥0恒成立，排除A，D两个选项；
因为f(x)的图象在点(0，f(0))处切线的斜率为0，则f'(0)=0，B选项符合题意，C选项不符合题意.
2.函数f(x)=(x+1)e-x+x2-1的单调递减区间为(　　)
A.(-ln 2，0) B.(-∞，-ln 2)
C.(-ln 2，+∞) D.(0，+∞)
答案　A
解析　f'(x)=x(2-e-x)，
令f'(x)<0，则-ln 2所以f(x)的单调递减区间为(-ln 2，0).
3.若函数f(x)=x2-aln x(a>0)的单调递减区间为(0，1)，则实数a的值为(　　)
A.2 B. C.1 D.4
答案　A
解析　显然f(x)的定义域为(0，+∞)，
f'(x)=2x-=，因为a>0，
所以由f'(x)<0可得0因为函数f(x)=x2-aln x(a>0)的单调递减区间为(0，1)，
所以=1 a=2.
4.若函数f(x)=e2x-4ex-ax在R上单调递增，则实数a的取值范围为(　　)
A.(-∞，-2] B.(-∞，-4]
C.[-2，+∞) D.[-4，+∞)
答案　B
解析　由题意可得f'(x)=e2x-4ex-a，
由于f(x)=e2x-4ex-ax在R上单调递增，故f'(x)=e2x-4ex-a≥0恒成立，
因此a≤e2x-4ex恒成立，故a≤(e2x-4ex)min，
由于e2x-4ex=(ex-2)2-4≥-4，故a≤-4.
5.若函数f(x)=sinx-2ax在R上不单调，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　f'(x)=cosx-2a，
因为函数f(x)在R上不单调，
所以函数f'(x)有变号零点，
所以方程cosx-2a=0有根，
所以函数y=2a与g(x)=cosx的图象有交点(且交点非g(x)取最值的点)，
因为函数g(x)的值域为，
所以a的取值范围是.
6.(2026·周口模拟)已知函数f(x)=若a=f(lo2)，b=f(log2)，c=f(e0.1)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A.cC.a答案　C
解析　当x>0时，-x<0，所以f(x)=x-sin x，
f(-x)=-(-x)+sin(-x)=x-sin x，
则有f(x)=f(-x)；
当x<0时，-x>0，所以f(x)=-x+sin x，
f(-x)=-x-sin(-x)=-x+sin x，
则有f(x)=f(-x)；
当x=0时，f(0)=0，
综上，f(x)=f(-x)恒成立，
所以函数f(x)为偶函数.
当x≥0时，f'(x)=1-cos x≥0恒成立，
所以函数f(x)在[0，+∞)上单调递增.
因为函数f(x)为偶函数，所以a=f(lo2)
=f(-log32)=f(log32)，b=f(log2)=f(log43)，
因为=log32·log34<=<=1，所以log32又因为0e0=1，
即0又因为函数f(x)在[0，+∞)上单调递增，
所以f(log32)二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.如图为y=f(x)的导函数f'(x)的图象，给出下列四个说法，其中正确的是(　　)
A.f(x)有三个单调区间
B.f(-2)C.f(-1)D.f(x)在[-1，2]上单调递增，在(2，4]上单调递减
答案　CD
解析　对于A，由图象可以看出，f'(x)的符号是先负后正，再负再正，所以函数f(x)有四个单调区间，故A错误；
对于B，当x∈[-2，-1]时，f'(x)≤0，函数f(x)单调递减，所以f(-2)>f(-1)，故B错误；
对于C，当x∈[-1，2]时，f'(x)≥0，函数f(x)单调递增，所以f(-1)对于D，当x∈(2，4]时，f'(x)≤0，函数f(x)单调递减，显然D正确.
8.若函数f(x)=x2-9ln x在区间[m-1，m+1]上单调，则实数m的值可能是(　　)
A.4 B.3 C.2 D.1
答案　AC
解析　由题意得函数f(x)的定义域为(0，+∞)，
f'(x)=x-=，
由f'(x)≥0，可得x≥3，则函数f(x)的单调递增区间为[3，+∞)，
由f'(x)≤0，可得0因为f(x)在区间[m-1，m+1]上单调，
所以或m-1≥3，解得1结合选项可得A，C符合题意.
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.函数f(x)=ln x+的单调递增区间为　　　　　　.
答案　(1，+∞)
解析　由函数f(x)=ln x+，可得其定义域为(0，+∞)，
且f'(x)=+=，
令f'(x)>0，解得x>1，所以函数f(x)的单调递增区间为(1，+∞).
10.(2026·海口模拟)已知函数f(x)=x3+2x-sin x，则不等式f(2x2-1)+f(x)≤0的解集为　　　　　　　　.
答案　
解析　函数f(x)=x3+2x-sin x的定义域为R，
x∈R，f(-x)=(-x)3-2x-sin(-x)
=-x3-2x+sin x=-f(x)，
因为f'(x)=x2+2-cos x≥x2+2-1=x2+1>0，
故函数f(x)在R上单调递增，
由f(2x2-1)+f(x)≤0得f(2x2-1)≤-f(x)=f(-x)，故2x2-1≤-x，
即2x2+x-1≤0，解得-1≤x≤，
故不等式f(2x2-1)+f(x)≤0的解集为.
四、解答题(共27分)
11.(13分)已知函数f(x)=x+asin x在x=0处的切线方程为x+y=0.
(1)求实数a的值；(5分)
(2)当x∈[0，2π]时，求函数f(x)的单调区间.(8分)
解　(1)f'(x)=1+acos x，
因为函数f(x)在x=0处的切线方程为x+y=0，
则f'(0)=1+a=-1，即a=-2.
(2)由(1)得，f(x)=x-2sin x，f'(x)=1-2cos x，
因为x∈[0，2π]，
令f'(x)>0，即cos x<，得x∈，
令f'(x)<0，即cos x>，
得x∈∪，
则f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为和.
12.(14分)(2025·哈尔滨期末)已知函数f(x)=x2-x+a(ln x-2x)，a∈R.
(1)若函数y=f(x)的图象在x=e处的切线平行于x轴，求a的值；(4分)
(2)讨论f(x)的单调性.(10分)
解　(1)f'(x)=2x-1+a，
由题意可得f'(e)=2e-1+a=0，解得a=e.
(2)f'(x)=2x-1+a
=，x>0，
当a≤0时，若x∈，则f'(x)<0，
若x∈，则f'(x)>0，
故f(x)在上单调递增，在上单调递减；
当0则f'(x)>0，
若x∈，则f'(x)<0，
故f(x)在(0，a)，上单调递增，在上单调递减；
当a=时，f'(x)==≥0，
故f(x)在(0，+∞)上单调递增；
当a>时，若x∈∪(a，+∞)，
则f'(x)>0，
若x∈，则f'(x)<0，
故f(x)在，(a，+∞)上单调递增，在上单调递减.
综上所述，若a≤0，则f(x)在上单调递增，在上单调递减；
若0若a=，则f(x)在(0，+∞)上单调递增；
若a>，则f(x)在，(a，+∞)上单调递增，在上单调递减.
[13题5分，14题6分，共11分]
13.对于函数f(x)=ax2+cos x-1，f(x)在(0，+∞)上单调递增的一个必要不充分条件是(　　)
A.a∈[0，+∞) B.a∈(-∞，0]
C.a∈ D.a∈(-∞，1)
答案　A
解析　∵f(x)=ax2+cos x-1，∴f'(x)=2ax-sin x.
当a≤0时，若x∈(0，π)，则sin x>0，此时f'(x)=2ax-sin x<0，
∴f(x)在(0，π)上单调递减，不符合题意；
当a>0时，令g(x)=f'(x)=2ax-sin x，
则g'(x)=2a-cos x，
当a≥时，g'(x)=2a-cos x≥0在(0，+∞)上恒成立，
∴f'(x)=2ax-sin x在(0，+∞)上单调递增，且f'(0)=0，
∴f'(x)=2ax-sin x>0在(0，+∞)上恒成立，
∴f(x)=ax2+cos x-1在(0，+∞)上单调递增，符合题意；
当0当x∈(0，x0)时，g'(x)=2a-cos x<0，
∴f'(x)=2ax-sin x在(0，x0)上单调递减，且f'(0)=0，
∴f'(x)=2ax-sin x<0在(0，x0)上恒成立，
∴f(x)在(0，x0)上单调递减，不符合题意.
综上，f(x)在(0，+∞)上单调递增的充要条件为a≥.
∴f(x)在(0，+∞)上单调递增的一个必要不充分条件是a∈[0，+∞).
14.(多选)已知函数f(x)=，则下列结论中正确的是(　　)
A.当x<0时，f(x)<0
B.f(x)的图象关于点(0，1)中心对称
C.若m+n=0，则|f(m)-f(n)|>1
D.f(x)在(0，+∞)上单调递减
答案　ACD
解析　对于A，当x<0时，ex+1>1，所以ln(ex+1)>0，所以<0，故A正确；
对于B，因为f(x)+f(-x)=+=ln=ln ex=1≠2，所以f(x)的图象不关于点(0，1)对称，所以B错误；
对于C，若m+n=0，不妨设m>0，
则|f(m)-f(n)|=|f(m)-f(-m)|=|2f(m)-1|.
又当m>0时，f(m)=>=1，所以|f(m)-f(n)|>1，故C正确；
对于D，f'(x)=，
设g(x)=xex，x>0，则g'(x)=(x+1)ex>0，
所以g(x)在(0，+∞)上单调递增，
又ln(ex+1)>ln ex=x，
所以g(x)所以当x>0时，f'(x)<0，所以f(x)在(0，+∞)上单调递减，故D正确.

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