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3.3　导数与函数的极值、最值
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.函数f(x)=x3+x2-3x-1的极小值点是(　　)
A.1 B.
C.-3 D.(-3，8)
2.(2025·楚雄模拟)已知定义域为[-3，5]的函数f(x)的导函数为f'(x)，且f'(x)的图象如图所示，则(　　)
A.f(x)在(-2，2)上先增后减
B.f(x)有极小值f(2)
C.f(x)有2个极值点
D.f(x)在x=-3处取得最大值
3.已知函数f(x)=xe-x，则当x∈[0，2]时，f(x)的最大值为(　　)
A. B. C. D.
4.(2025·保定模拟)已知f(x)=x2(x-k)的一个极值点为2，则实数k等于(　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
5.已知函数f(x)=x2+aln(x+1)有两个不同的极值点x1，x2，则实数a的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
6.已知函数f(x)=2x-2-x+2，若关于x的不等式f(xln x)+f(-x2-ax)>4有解，则实数a的取值范围为(　　)
A.(-∞，-1) B.(-∞，0)
C.(-∞，1] D.(-∞，2]
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.已知函数f(x)=x2+x-2ln x，则下列结论正确的是(　　)
A.f(x)有两个极值点
B.f(x)的极小值为
C.f(x)在(1，2)上单调递减
D.函数f(x)无零点
8.(2025·全国Ⅱ卷)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=(x2-3)ex+2，则(　　)
A.f(0)=0
B.当x<0时，f(x)=-(x2-3)e-x-2
C.f(x)≥2当且仅当x≥
D.x=-1是f(x)的极大值点
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.若是函数f(x)=sin πx+acos πx的一个极大值点，则f(a)=　　　　　　.
10.(2026·云南师大附中模拟)已知函数f(x)=(x2+x-1)ex-a有三个零点，则实数a的取值范围是　　　　　　　.
四、解答题(共27分)
11.(13分)已知函数f(x)=x3+ax2-2x在x=1处取得极值.
(1)求函数f(x)的解析式及单调区间；(7分)
(2)求函数f(x)在区间[-1，2]上的最大值与最小值.(6分)
12.(14分)(2024·新课标全国Ⅱ)已知函数f(x)=ex-ax-a3.
(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(5分)
(2)若f(x)有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围.(9分)
[13题5分，14题6分，共11分]
13.(2025·上饶模拟)利用所学数学知识解决新问题是我们学习数学的一个重要目的，同学们利用我们所学的知识，探究函数f(x)=xx，x∈(0，+∞)，下列说法正确的是(　　)
A.f(x)有且只有一个极大值点
B.f(x)在上单调递增
C.存在实数a∈(0，+∞)，使得f(a)=
D.f(x)有最小值，最小值为
14.(多选)已知可导函数y=f(x)(x≠0)的导函数为f'(x)=x(ln|x|+x2-1)，则(　　)
A.y=f(x)有2个极值点
B.y=f'(x)有3个零点
C.y=f(x)只可能在x=1或x=-1处取得最小值
D.对 x∈(-1，0)∪(1，+∞)，f'(x)>0恒成立
3.3　导数与函数的极值、最值
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.函数f(x)=x3+x2-3x-1的极小值点是(　　)
A.1 B.
C.-3 D.(-3，8)
答案　A
解析　f'(x)=x2+2x-3，
由x2+2x-3=0，得x=-3或x=1，
易得函数f(x)=x3+x2-3x-1在(-∞，-3)上单调递增，在(-3，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，
故f(x)在x=1处有极小值，极小值点为1.
2.(2025·楚雄模拟)已知定义域为[-3，5]的函数f(x)的导函数为f'(x)，且f'(x)的图象如图所示，则(　　)
A.f(x)在(-2，2)上先增后减
B.f(x)有极小值f(2)
C.f(x)有2个极值点
D.f(x)在x=-3处取得最大值
答案　B
解析　由f'(x)的图象可知，当x∈(-2，2)或x∈(4，5)时，f'(x)<0，则f(x)单调递减，故A错误；
当x∈(-3，-2)或x∈(2，4)时，f'(x)>0，则f(x)单调递增，所以当x=2时，f(x)有极小值f(2)，故B正确；
由f'(x)的图象结合单调性可知，当x=-2，2，4时，f(x)有极值，所以f(x)有3个极值点，故C错误；
当x∈(-3，-2)时，f'(x)>0，则f(x)单调递增，所以f(-3)3.已知函数f(x)=xe-x，则当x∈[0，2]时，f(x)的最大值为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　由f(x)=xe-x，
可得f'(x)=e-x-xe-x=e-x(1-x)，
当0≤x<1时，f'(x)>0；
当1故f(x)在[0，1)上单调递增，在(1，2]上单调递减，
故当x∈[0，2]时，f(x)在x=1处取得极大值，也是最大值，为f(1)=.
4.(2025·保定模拟)已知f(x)=x2(x-k)的一个极值点为2，则实数k等于(　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
答案　B
解析　f'(x)=3x2-2kx，令f'(x)=0，得x=k或x=0，
又f(x)的一个极值点为2，则k=2，解得k=3，经检验，满足题意.
5.已知函数f(x)=x2+aln(x+1)有两个不同的极值点x1，x2，则实数a的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　因为函数f(x)=x2+aln(x+1)，x>-1，
所以f'(x)=，
由题意得f'(x)在(-1，+∞)上有两个变号零点，令g(x)=2x2+2x+a，则g(x)在(-1，+∞)上有两个变号零点，
故解得06.已知函数f(x)=2x-2-x+2，若关于x的不等式f(xln x)+f(-x2-ax)>4有解，则实数a的取值范围为(　　)
A.(-∞，-1) B.(-∞，0)
C.(-∞，1] D.(-∞，2]
答案　A
解析　设g(x)=f(x)-2=2x-2-x，
由y=2x，y=-2-x在R上单调递增，可知g(x)在R上单调递增，
又g(-x)=2-x-2x=-g(x)，∴g(x)为奇函数，
由f(xln x)+f(-x2-ax)>4，
可得g(xln x)+g(-x2-ax)>0，
∴g(xln x)>g(x2+ax)，xln x>x2+ax，
∴a设h(x)=ln x-x，则h'(x)=，
易知当x∈(0，1)时，h'(x)>0，
当x∈(1，+∞)时，h'(x)<0，
∴h(x)=ln x-x在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，故h(x)max=h(1)=-1，
∴a<-1.
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.已知函数f(x)=x2+x-2ln x，则下列结论正确的是(　　)
A.f(x)有两个极值点
B.f(x)的极小值为
C.f(x)在(1，2)上单调递减
D.函数f(x)无零点
答案　BD
解析　f(x)的定义域为(0，+∞)，
f'(x)=x+1-==，令f'(x)=0，得x=1或x=-2(舍去)，
当x∈(0，1)时，f'(x)<0，所以f(x)在(0，1)上单调递减；
当x∈(1，+∞)时，f'(x)>0，所以f(x)在(1，+∞)上单调递增，
所以1是f(x)的极小值点，极小值为f(1)=，故B正确，A，C错误；
则f(x)的最小值为f(1)=，所以f(x)≥，即函数f(x)无零点，故D正确.
8.(2025·全国Ⅱ卷)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=(x2-3)ex+2，则(　　)
A.f(0)=0
B.当x<0时，f(x)=-(x2-3)e-x-2
C.f(x)≥2当且仅当x≥
D.x=-1是f(x)的极大值点
答案　ABD
解析　对于A，因为f(x)是定义在R上的奇函数，则f(0)=0，故A正确；
对于B，当x<0时，-x>0，则f(x)=-f(-x)=-{[(-x)2-3]e-x+2}=-(x2-3)e-x-2，故B正确；
对于C，f(-1)=-(1-3)e-2=2(e-1)>2， 故C错误；
对于D，当x<0时，f(x)=(3-x2)e-x-2，则f'(x)=-(3-x2)e-x-2xe-x=(x2-2x-3)e-x，
令f'(x)=0，解得x=-1或x=3(舍去)，
当x∈(-∞，-1)时，f'(x)>0，此时f(x)单调递增，
当x∈(-1，0)时，f'(x)<0，此时f(x)单调递减，
则x=-1是f(x)的极大值点，故D正确.
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.若是函数f(x)=sin πx+acos πx的一个极大值点，则f(a)=　　　　　　.
答案　-
解析　因为函数f(x)=sin πx+acos πx，所以f'(x)=πcos πx-πasin πx，
因为是函数f(x)=sin πx+acos πx的一个极大值点，
所以f'=πcos-πasin=0，
所以-πa×=0，得a=，经检验，满足题意，
则f(x)=sin πx+cos πx，
则f(a)=f(1)=sin π+cos π=-.
10.(2026·云南师大附中模拟)已知函数f(x)=(x2+x-1)ex-a有三个零点，则实数a的取值范围是　　　　　　　.
答案　
解析　因为函数f(x)=(x2+x-1)ex-a有三个零点，所以关于x的方程(x2+x-1)ex=a有三个实数根.
令g(x)=(x2+x-1)ex，则g'(x)=(x2+3x)ex=x(x+3)ex，
当x<-3或x>0时，g'(x)>0；
当-3所以g(x)在(-∞，-3)，(0，+∞)上单调递增，在(-3，0)上单调递减，
当x<-3时，x2+x-1>0，所以g(x)>0.
又g(-3)=，g(0)=-1，
当x→+∞时，g(x)→+∞，
所以函数g(x)=(x2+x-1)ex的大致图象如图.
因此，实数a的取值范围是.
四、解答题(共27分)
11.(13分)已知函数f(x)=x3+ax2-2x在x=1处取得极值.
(1)求函数f(x)的解析式及单调区间；(7分)
(2)求函数f(x)在区间[-1，2]上的最大值与最小值.(6分)
解　(1)f'(x)=3x2+2ax-2，
由题意得f'(1)=0，即3+2a-2=0，
解得a=-，
故f(x)=x3-x2-2x，定义域为R，
则f'(x)=3x2-x-2，
令f'(x)>0，得x>1或x<-；
令f'(x)<0，得-故f(x)在，(1，+∞)上单调递增，在上单调递减，
显然f(x)在x=1处取得极值，故a=-，符合题意，
f(x)=x3-x2-2x，
f(x)的单调递增区间为，(1，+∞)，单调递减区间为.
(2)由(1)知，f(x)在，(1，2)上单调递增，在上单调递减，
x - 1 (1，2)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值- 单调递增
又f(-1)=，f(2)=2，
故f(x)在[-1，2]上的最大值为2，最小值为-.
12.(14分)(2024·新课标全国Ⅱ)已知函数f(x)=ex-ax-a3.
(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(5分)
(2)若f(x)有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围.(9分)
解　(1)当a=1时，则f(x)=ex-x-1，
f'(x)=ex-1，
可得f(1)=e-2，f'(1)=e-1，
即切点坐标为(1，e-2)，
切线斜率k=e-1，
所以切线方程为y-(e-2)=(e-1)(x-1)，
即(e-1)x-y-1=0.
(2)方法一　因为f(x)的定义域为R，
且f'(x)=ex-a，
若a≤0，则f'(x)>0对任意x∈R恒成立，
可知f(x)在R上单调递增，
无极值，不符合题意；
若a>0，令f'(x)>0，解得x>ln a，
令f'(x)<0，解得x可知f(x)在(-∞，ln a)上单调递减，
在(ln a，+∞)上单调递增，则f(x)有极小值f(ln a)=a-aln a-a3，无极大值，
由题意可得，f(ln a)=a-aln a-a3<0，
即a2+ln a-1>0，
令g(a)=a2+ln a-1，a>0，
则g'(a)=2a+>0，
可知g(a)在(0，+∞)上单调递增，
且g(1)=0，
不等式a2+ln a-1>0等价于g(a)>g(1)，
解得a>1，
所以a的取值范围为(1，+∞).
方法二　因为f(x)的定义域为R，
且f'(x)=ex-a，
若f(x)有极小值，
则f'(x)=ex-a有零点，
令f'(x)=ex-a=0，可得ex=a，
可知y=ex与y=a有交点，则a>0，
令f'(x)>0，解得x>ln a；
令f'(x)<0，解得x可知f(x)在(-∞，ln a)上单调递减，
在(ln a，+∞)上单调递增，
则f(x)有极小值f(ln a)=a-aln a-a3，
无极大值，符合题意，
由题意可得，f(ln a)=a-aln a-a3<0，
即a2+ln a-1>0，
令g(a)=a2+ln a-1，a>0，
因为y=a2，y=ln a-1在(0，+∞)上均单调递增，
所以g(a)在(0，+∞)上单调递增，
且g(1)=0，
不等式a2+ln a-1>0等价于g(a)>g(1)，
解得a>1，
所以a的取值范围为(1，+∞).
[13题5分，14题6分，共11分]
13.(2025·上饶模拟)利用所学数学知识解决新问题是我们学习数学的一个重要目的，同学们利用我们所学的知识，探究函数f(x)=xx，x∈(0，+∞)，下列说法正确的是(　　)
A.f(x)有且只有一个极大值点
B.f(x)在上单调递增
C.存在实数a∈(0，+∞)，使得f(a)=
D.f(x)有最小值，最小值为
答案　D
解析　由x>0，则f(x)=xx==exln x，x∈(0，+∞)，
令g(x)=xln x，x>0，则g'(x)=1+ln x，
令g'(x)=0，解得x=，
当0当x>时，g'(x)>0，g(x)在上单调递增，
f(x)由函数y=eu与u=g(x)复合而成，而y=eu在(-∞，+∞)上单调递增，
故f(x)在上单调递减，在上单调递增，
所以f(x)在x=处取得极小值f==，且无极大值，
又f(x)min=f=>e-1=，故不存在实数a∈(0，+∞)，使得f(a)=.
故A，B，C错误，D正确.
14.(多选)已知可导函数y=f(x)(x≠0)的导函数为f'(x)=x(ln|x|+x2-1)，则(　　)
A.y=f(x)有2个极值点
B.y=f'(x)有3个零点
C.y=f(x)只可能在x=1或x=-1处取得最小值
D.对 x∈(-1，0)∪(1，+∞)，f'(x)>0恒成立
答案　ACD
解析　由f'(x)=x(ln|x|+x2-1)，易知f'(x)为奇函数，令h(x)=ln|x|+x2-1，
当x>0时，h(x)=ln x+x2-1，h'(x)=+2x>0，故h(x)在(0，+∞)上单调递增，
h(1)=0，显然函数h(x)在(0，+∞)上存在唯一零点，所以函数f'(x)在(0，+∞)上存在唯一零点，
则当x∈(0，1)时，f'(x)<0，
当x∈(1，+∞)时，f'(x)>0，
故f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，则x=1为f(x)的极小值点，
同理可得f(x)在(-∞，-1)上单调递减，在(-1，0)上单调递增，
x=-1为f(x)的极小值点，所以函数f(x)有2个极值点，
由函数f'(x)为奇函数，h(1)=0，可得f'(x)存在2个零点：-1，1，
故A，C，D正确，B错误.

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