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3.4　三次函数的图象与性质
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.函数f(x)=2x3-6x+3的极小值为(　　)
A.-33 B.-7 C.-1 D.7
2.函数f(x)=x3+x2+x+c的零点个数为(　　)
A.1 B.1或2
C.2或3 D.1或2或3
3.如果函数f(x)=x3-ax2+(a-1)x+1在(1，4)上单调递减，在(6，+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是(　　)
A.(-∞，5] B.[5，7]
C.[7，+∞) D.(-∞，5]∪[7，+∞)
4.已知函数f(x)=2x3-mx2+2(m>0)的单调递减区间为(a，b)，若b-a≤2，则m的最大值为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.6
5.过坐标原点作曲线f(x)=x(x-c)2(c≠0)的两条切线，记其斜率分别为k1，k2，则|k1-k2|等于(　　)
A.c B.c2 C.c3 D.c4
6.(2025·昆明模拟)已知函数f(x)=(x-a)(x-b)(x-a-2b)，a，b∈R，且ab≠0，若当x≥0时，f(x)≥0，则a的取值范围是(　　)
A.(-∞，0) B.(-∞，2]
C.[2，+∞) D.(0，+∞)
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.已知函数f(x)=-x3+3x-1，下列说法正确的是(　　)
A.f(x)在x=-1处取得极小值
B.f(x)有3个零点
C.f(x)在区间(-2，2)上的值域为(-3，1)
D.曲线y=f(x)的对称中心为(0，-1)
8.(2026·南通模拟)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c有3个零点和2个极值点，则(　　)
A.f(x)的3个零点之和等于-a
B.f(x)的3个零点之积等于c
C.f(x)在3个零点处的切线的斜率之和大于零
D.f(x)的3个零点的平均数和2个极值点的平均数相等
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.函数f(x)=x3-(m+1)x2+2(m-1)x(m∈R)在(0，4)上无极值，则m=　　　　.
10.已知b，c，d均为实数，若x3+bx2+cx+d>0的解集是{x|x>a且x≠a+1}，则函数f(x)=x3+bx2+cx+d的极大值为　　　　　.
四、解答题(共28分)
11.(13分)已知函数f(x)=ax3+bx2-3x(a，b∈R)，且f(x)在x=1和x=3处取得极值.
(1)求函数f(x)的解析式；(5分)
(2)设函数g(x)=f(x)+t，若g(x)=f(x)+t有且仅有一个零点，求实数t的取值范围.(8分)
12.(15分)函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y=f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)-b为奇函数.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+1.
(1)若函数y=f(x)图象的对称中心为(-1，2)，求函数y=f(x)的解析式；(4分)
(2)由代数基本定理可以得到：任何一元n(n∈N*)次复系数多项式在复数集中可以分解为n个一次因式的乘积.进而，一元n次多项式方程有n个复数根(重根按重数计).如设实系数一元二次方程a2x2+a1x+a0=0(a2≠0)在复数集内的根为x1，x2，则方程a2x2+a1x+a0=0可变形为a2(x-x1)(x-x2)=0，展开得a2x2-a2(x1+x2)x+a2x1x2=0，则有即
类比上述推理方法可得实系数一元三次方程根与系数的关系.
①若a=0，方程f(x)=k在复数集内的根为x1，x2，x3，当k∈[0，1]时，求++的最大值；(4分)
②若a=-3，b=-2，函数y=f(x)的零点分别为x1，x2，x3，求++的值.(7分)
[每小题5分，共10分]
13.已知函数f(x)=2x3-3x2+9x-，则f+f+f+…+f等于(　　)
A.2 024 B.
C.2 025 D.2 026
14.已知三次函数f(x)有三个零点x1，x2，x3，且在点(xi，f(xi))处切线的斜率为ki(i=1，2，3)，则++=　　　　.
3.4　三次函数的图象与性质
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.函数f(x)=2x3-6x+3的极小值为(　　)
A.-33 B.-7 C.-1 D.7
答案　C
解析　由题意得，f'(x)=6x2-6=6(x-1)(x+1)，x∈R，
令f'(x)=0，解得x=-1或x=1，
当x∈(-∞，-1)时，f'(x)>0，f(x)单调递增，
当x∈(-1，1)时，f'(x)<0，f(x)单调递减，
当x∈(1，+∞)时，f'(x)>0，f(x)单调递增，
所以当x=1时，f(x)取得极小值，极小值为f(1)=-1.
2.函数f(x)=x3+x2+x+c的零点个数为(　　)
A.1 B.1或2
C.2或3 D.1或2或3
答案　A
解析　因为函数f(x)=x3+x2+x+c，
所以f'(x)=3x2+2x+1，
因为f'(x)=0对应的判别式Δ=4-12=-8<0，
所以f'(x)>0，
从而f(x)在R上单调递增，
又当x→-∞时，f(x)→-∞，
当x→+∞时，f(x)→+∞，
由函数零点存在定理得，函数f(x)=x3+x2+x+c有且只有1个零点.
3.如果函数f(x)=x3-ax2+(a-1)x+1在(1，4)上单调递减，在(6，+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是(　　)
A.(-∞，5] B.[5，7]
C.[7，+∞) D.(-∞，5]∪[7，+∞)
答案　B
解析　f'(x)=x2-ax+(a-1)=[x-(a-1)](x-1).
依题意知，当x∈(1，4)时，f'(x)<0；
当x∈(6，+∞)时，f'(x)>0，
因此，4≤a-1，6≥a-1，解得5≤a≤7.
4.已知函数f(x)=2x3-mx2+2(m>0)的单调递减区间为(a，b)，若b-a≤2，则m的最大值为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.6
答案　D
解析　由f(x)=2x3-mx2+2(m>0)，
可得f'(x)=6x2-2mx(m>0)，
令f'(x)=6x2-2mx<0，解得00)的单调递减区间为，∴b-a=≤2，
∴05.过坐标原点作曲线f(x)=x(x-c)2(c≠0)的两条切线，记其斜率分别为k1，k2，则|k1-k2|等于(　　)
A.c B.c2 C.c3 D.c4
答案　B
解析　由题意知f(x)=x(x-c)2=x3-2cx2+c2x，则f'(x)=3x2-4cx+c2，设切点坐标为(x1，x1)，则切线方程为y-x1=(3-4cx1+c2)(x-x1)，又切线过原点，则-x1=-x1(3-4cx1+c2)，解得x1=0或x1=c，当x1=0时，f'(0)=c2，当x1=c时，f'(c)=0，故|k1-k2|=c2.
6.(2025·昆明模拟)已知函数f(x)=(x-a)(x-b)(x-a-2b)，a，b∈R，且ab≠0，若当x≥0时，f(x)≥0，则a的取值范围是(　　)
A.(-∞，0) B.(-∞，2]
C.[2，+∞) D.(0，+∞)
答案　A
解析　因为ab≠0，所以a≠0，b≠0，
则f(x)的零点是x1=a，x2=b，x3=a+2b，
要使f(x)≥0在[0，+∞)上恒成立，如图1，
当三个零点都小于零时，符合题意；
当方程f(x)=0存在正根时，则必定是重根(即方程f(x)=0有两个正根，一个负根)，如图2，
当a=b>0时，a+2b>0，不符合题意；
当a+2b=a>0时，b=0，不符合题意；
当a+2b=b>0时，a=-b<0，符合题意.
综上，a<0.
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.已知函数f(x)=-x3+3x-1，下列说法正确的是(　　)
A.f(x)在x=-1处取得极小值
B.f(x)有3个零点
C.f(x)在区间(-2，2)上的值域为(-3，1)
D.曲线y=f(x)的对称中心为(0，-1)
答案　ABD
解析　由f(x)=-x3+3x-1，可得f'(x)=-3x2+3=-3(x+1)(x-1)，
当x<-1或x>1时，f'(x)<0；当-10，
则函数f(x)在(-∞，-1)，(1，+∞)上单调递减，在(-1，1)上单调递增.
对于A，由以上分析知f(x)在x=-1处取得极小值，故A正确；
对于B，结合以上分析，因为f(-2)=1>0，f(-1)=-3<0，f(1)=1>0，f(2)=-3<0，
由函数零点存在定理及三次函数的图象知，f(x)有3个零点，故B正确；
对于C，因为f(x)在(-2，-1)上单调递减，在(-1，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，
而f(-2)=f(1)=1，f(-1)=f(2)=-3，故f(x)在区间(-2，2)上的值域为[-3，1]，故C错误；
对于D，因为f(-x)+f(x)
=-(-x)3+3(-x)-1+(-x3+3x-1)
=x3-3x-1-x3+3x-1=-2，
故曲线y=f(x)的对称中心为(0，-1)，故D正确.
8.(2026·南通模拟)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c有3个零点和2个极值点，则(　　)
A.f(x)的3个零点之和等于-a
B.f(x)的3个零点之积等于c
C.f(x)在3个零点处的切线的斜率之和大于零
D.f(x)的3个零点的平均数和2个极值点的平均数相等
答案　ACD
解析　由题设，令3个零点分别为x1，x2，x3，
则f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)=x3-(x1+x2+x3)x2+(x1x2+x1x3+x2x3)x-x1x2x3，
又f(x)=x3+ax2+bx+c，则x1+x2+x3=-a，x1x2x3=-c，A正确，B错误；
对函数求导得f'(x)=3x2+2ax+b，显然f'(x)=0对应的判别式Δ=4a2-12b>0，即a2-3b>0，
若2个极值点分别为m，n，则m+n=-，故=-=，D正确；
3个零点处的切线斜率之和为f'(x1)+f'(x2)+f'(x3)=3(++)+2a(x1+x2+x3)+3b，
又x1x2+x1x3+x2x3=b，且=+++2x1x2+2x1x3+2x2x3，
所以++=-2(x1x2+x1x3+x2x3)=a2-2b，
所以f'(x1)+f'(x2)+f'(x3)=3a2-6b-2a2+3b=a2-3b>0，C正确.
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.函数f(x)=x3-(m+1)x2+2(m-1)x(m∈R)在(0，4)上无极值，则m=　　　　.
答案　3
解析　函数f(x)在(0，4)上无极值即导函数f'(x)在(0，4)上无变号零点.
而f'(x)=x2-(m+1)x+2(m-1)=(x-2)[x-(m-1)]，
令f'(x)=0，得x=2或x=m-1，
则当x∈(0，4)时，恒有f'(x)≥0， ①
当m-1>2时，①式的解为x≤2或x≥m-1，
显然当x∈(0，4)时，①式不恒成立；
当m-1<2时，①式的解为x≤m-1或x≥2，
显然当x∈(0，4)时，①式不恒成立；
当m-1=2时，①式的解为x∈R，
当x∈(0，4)时，①式恒成立，此时m=3.
10.已知b，c，d均为实数，若x3+bx2+cx+d>0的解集是{x|x>a且x≠a+1}，则函数f(x)=x3+bx2+cx+d的极大值为　　　　　.
答案　
解析　因为原不等式的解集是{x|x>a且x≠a+1}，
故x=a，x=a+1为f(x)=x3+bx2+cx+d的零点，
且f(x)=(x-a)[x-(a+1)]2，
则f'(x)=[x-(a+1)]2+2(x-a)[x-(a+1)]=[x-(a+1)](3x-3a-1)，
令f'(x)>0，得xa+1；
令f'(x)<0，得a+则f(x)在和(a+1，+∞)上单调递增，在上单调递减，
则f(x)的极大值为f=×=.
四、解答题(共28分)
11.(13分)已知函数f(x)=ax3+bx2-3x(a，b∈R)，且f(x)在x=1和x=3处取得极值.
(1)求函数f(x)的解析式；(5分)
(2)设函数g(x)=f(x)+t，若g(x)=f(x)+t有且仅有一个零点，求实数t的取值范围.(8分)
解　(1)f'(x)=3ax2+2bx-3，
因为f(x)在x=1和x=3处取得极值，
所以x=1和x=3是方程f'(x)=0的两个根，
则
解得经检验符合条件，
所以f(x)=-x3+2x2-3x.
(2)由题意知g(x)=-x3+2x2-3x+t，g'(x)=-x2+4x-3，
当x<1或x>3时，g'(x)<0，
当10，
所以函数g(x)在(-∞，1)，(3，+∞)上单调递减，在(1，3)上单调递增，
所以g(x)极大值=g(3)=t，
g(x)极小值=g(1)=t-，
因为g(x)有且仅有一个零点，结合g(x)的单调性，
得g(x)极大值=t<0或g(x)极小值=t->0，
所以t<0或t>，
故实数t的取值范围是(-∞，0)∪.
12.(15分)函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y=f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)-b为奇函数.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+1.
(1)若函数y=f(x)图象的对称中心为(-1，2)，求函数y=f(x)的解析式；(4分)
(2)由代数基本定理可以得到：任何一元n(n∈N*)次复系数多项式在复数集中可以分解为n个一次因式的乘积.进而，一元n次多项式方程有n个复数根(重根按重数计).如设实系数一元二次方程a2x2+a1x+a0=0(a2≠0)在复数集内的根为x1，x2，则方程a2x2+a1x+a0=0可变形为a2(x-x1)(x-x2)=0，展开得a2x2-a2(x1+x2)x+a2x1x2=0，则有即
类比上述推理方法可得实系数一元三次方程根与系数的关系.
①若a=0，方程f(x)=k在复数集内的根为x1，x2，x3，当k∈[0，1]时，求++的最大值；(4分)
②若a=-3，b=-2，函数y=f(x)的零点分别为x1，x2，x3，求++的值.(7分)
解　(1)由题意知g(x)=f(x-1)-2为奇函数，则f(-x-1)-2+f(x-1)-2=0恒成立.
即(-x-1)3+a(-x-1)2+b(-x-1)+1-2+(x-1)3+a(x-1)2+b(x-1)+1-2=0，
整理得(2a-6)x2+(2a-2b-4)=0恒成立，
故解得
故f(x)=x3+3x2+x+1.
(2)①若a=0，则f(x)=x3+bx+1，
由题意有f(x)-k=0的三个根为x1，x2，x3，
则x3+bx+(1-k)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)，
展开得x3+bx+(1-k)=x3-(x1+x2+x3)x2+(x1x2+x1x3+x2x3)x-x1x2x3，
故x1+x2+x3=0，
则++=(k-1)-bx1+(k-1)-bx2+(k-1)-bx3=3k-3，
又k∈[0，1]，故3k-3∈[-3，0]，
综上，当k∈[0，1]时，++的最大值为0.
②当a=-3，b=-2时，f(x)=x3-3x2-2x+1，由f(x)=0，有x3-3x2-2x+1=0，
因为f(0)≠0，所以x1，x2，x3均不为0，方程两边同时除以x3得，1--+=0，
令=t1，=t2，=t3，
由题意知t1，t2，t3是方程t3-2t2-3t+1=0的三个根，
则t3-2t2-3t+1=(t-t1)(t-t2)(t-t3)，
展开得
则++=++=(t1+t2+t3)2-2(t1t2+t1t3+t2t3)=4+6=10.
[每小题5分，共10分]
13.已知函数f(x)=2x3-3x2+9x-，则f+f+f+…+f等于(　　)
A.2 024 B.
C.2 025 D.2 026
答案　B
解析　由f(x)=2x3-3x2+9x-，
可得-=-=，
又f=2×-3×+9×-=，所以f(x)图象的对称中心为，
f+f=1，f+f=1，…，f+f=1，f=，
f+f+f+…+f=1 012×1+=.
14.已知三次函数f(x)有三个零点x1，x2，x3，且在点(xi，f(xi))处切线的斜率为ki(i=1，2，3)，则++=　　　　.
答案　0
解析　令f(x)=a(x-x1)(x-x2)(x-x3)，其中a≠0，x1，x2，x3互不相等.
则f'(x)=a[(x-x2)(x-x3)+(x-x1)(x-x3)+(x-x1)(x-x2)]，
++=
==0.

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