资源简介

3.5　函数中的构造问题
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.设a=，b=，c=，则a，b，c的大小关系为(　　)
A.aC.b2.已知函数f(x)的定义域为(0，π)，其导函数是f'(x).若对任意的x∈(0，π)，有f'(x)sin x-f(x)cos x<0，则关于x的不等式f(x)>2fsin x的解集为(　　)
A. B. C. D.
3.已知a=0.1，b=ln 1.1，c=ln 1.2-0.1，则(　　)
A.b>c>a B.c>a>b
C.a>c>b D.a>b>c
4.设f'(x)是定义在R上的连续函数f(x)的导函数，f(x)-f'(x)-2ex<0(e为自然对数的底数)，且f(2)=-4e2，则不等式f(x)>-2xex的解集为(　　)
A.(2，+∞)
B.(-∞，-2)
C.(-∞，-2)∪(2，+∞)
D.(-2，0)∪(2，+∞)
5.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，其导函数为f'(x)，且当x<0时，2f(x)+xf'(x)<0，则不等式(x-2 026)2f(x-2 026)-f(-1)<0的解集为(　　)
A.(-∞，2 025)
B.(2 025，2 027)
C.(-∞，2 025)∪(2 027，+∞)
D.(2 027，+∞)
6.计算器计算ex，ln x，sin x，cos x等函数的函数值，是通过写入“泰勒展开式”程序的芯片完成的.“泰勒展开式”的内容为：如果函数f(x)在含有x0的某个开区间(a，b)内可以进行多次求导数运算，则当x≠x0时，有f(x)=f(x0)+(x-x0)+++…，其中f'(x)是f(x)的导数，f″(x)是f'(x)的导数，f(3)(x)是f″(x)的导数，….取x0=0，则sin 1精确到0.01的近似值为(　　)
A.0.82 B.0.84
C.0.86 D.0.88
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.已知函数f(x)的定义域为R，其导函数为f'(x)，且对任意的x∈R，都有f(x)+f'(x)>0，则下列说法正确的是(　　)
A.ef(1)f(0)
C.2f(ln 2)ef(1)
8.若f(x)满足xf'(x)-f(x)>x2sin x，△ABC的内角A为钝角，则下列选项正确的是(　　)
A.cos C·f(sin B)B.cos C·f(sin B)>sin B·f(cos C)
C.cos B·f(sin C)D.cos B·f(sin C)>sin C·f(cos B)
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.已知a=sin 0.9，b=0.9，c=cos 0.9，则a，b，c的大小关系是　　　　　　　.(用“>”连接)
10.已知a=eπ-3，b=ln(eπ-2e)，c=π-2，则a，b，c的大小关系为　　　　　　　.(用“<”连接)
3.5　函数中的构造问题
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.设a=，b=，c=，则a，b，c的大小关系为(　　)
A.aC.b答案　B
解析　设f(x)=，x>0，
则f'(x)=.
令f'(x)>0得0因为<2即<<，即<<，所以b2.已知函数f(x)的定义域为(0，π)，其导函数是f'(x).若对任意的x∈(0，π)，有f'(x)sin x-f(x)cos x<0，则关于x的不等式f(x)>2fsin x的解集为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　令函数g(x)=，x∈(0，π)，
则g'(x)=<0，
因此函数g(x)在(0，π)上单调递减，
不等式f(x)>2fsin x >，
即g(x)>g，解得0所以原不等式的解集为.
3.已知a=0.1，b=ln 1.1，c=ln 1.2-0.1，则(　　)
A.b>c>a B.c>a>b
C.a>c>b D.a>b>c
答案　D
解析　令函数f(x)=ln(1+x)-x(x>-1)，求导得f'(x)=-1，当x>0时，f'(x)<0，则函数f(x)在(0，+∞)上单调递减，
所以f(x)0时，ln(1+x)则ln 1.1<0.1，即b又f(0.2)则ln 1.2-0.1即cb>c.
4.设f'(x)是定义在R上的连续函数f(x)的导函数，f(x)-f'(x)-2ex<0(e为自然对数的底数)，且f(2)=-4e2，则不等式f(x)>-2xex的解集为(　　)
A.(2，+∞)
B.(-∞，-2)
C.(-∞，-2)∪(2，+∞)
D.(-2，0)∪(2，+∞)
答案　A
解析　设g(x)=+2x，则g'(x)=+2=，
∵f(x)-f'(x)-2ex<0，∴f'(x)-f(x)+2ex>0，即g'(x)>0，
∴函数g(x)是R上的增函数，又f(2)=-4e2，
∴g(2)=+4=+4=0，
由f(x)>-2xex，可得+2x>0，即g(x)>0=g(2)，
又函数g(x)是R上的增函数，∴x>2，
即不等式的解集为(2，+∞).
5.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，其导函数为f'(x)，且当x<0时，2f(x)+xf'(x)<0，则不等式(x-2 026)2f(x-2 026)-f(-1)<0的解集为(　　)
A.(-∞，2 025)
B.(2 025，2 027)
C.(-∞，2 025)∪(2 027，+∞)
D.(2 027，+∞)
答案　C
解析　令F(x)=x2f(x)，
则F'(x)=2xf(x)+x2f'(x)=x[2f(x)+xf'(x)]，
因为当x<0时，2f(x)+xf'(x)<0，
所以当x<0时，F'(x)=x[2f(x)+xf'(x)]>0，
即F(x)在(-∞，0)上单调递增，
因为f(x)是定义在R上的偶函数，
所以f(-x)=f(x)，
所以F(-x)=(-x)2f(-x)=x2f(x)=F(x)，
所以F(x)是偶函数，且在(0，+∞)单调递减，
所以F(x-2 026)=(x-2 026)2f(x-2 026)，F(-1)=(-1)2f(-1)=f(-1)，
即不等式(x-2 026)2f(x-2 026)-f(-1)<0等价为F(x-2 026)所以|x-2 026|>1，解得x<2 025或x>2 027，
所以不等式(x-2 026)2f(x-2 026)-f(-1)<0的解集为(-∞，2 025)∪(2 027，+∞).
6.计算器计算ex，ln x，sin x，cos x等函数的函数值，是通过写入“泰勒展开式”程序的芯片完成的.“泰勒展开式”的内容为：如果函数f(x)在含有x0的某个开区间(a，b)内可以进行多次求导数运算，则当x≠x0时，有f(x)=f(x0)+(x-x0)+++…，其中f'(x)是f(x)的导数，f″(x)是f'(x)的导数，f(3)(x)是f″(x)的导数，….取x0=0，则sin 1精确到0.01的近似值为(　　)
A.0.82 B.0.84
C.0.86 D.0.88
答案　B
解析　根据题意，f(x)=sin x，f'(x)=cos x，f″(x)=-sin x，f(3)(x)=-cos x，…，
取x0=0，可得f(x)=f(0)+x+x2+x3+…，
则f(x)=sin x=0+1×x+0×x2+(-1)×x3+0×x4+1×x5+…
=x-x3+x5+…，
令x=1，代入上式可得f(1)=sin 1=1-++…=+…≈0.84，
所以sin 1≈0.84.
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.已知函数f(x)的定义域为R，其导函数为f'(x)，且对任意的x∈R，都有f(x)+f'(x)>0，则下列说法正确的是(　　)
A.ef(1)f(0)
C.2f(ln 2)ef(1)
答案　BC
解析　令g(x)=exf(x)，
所以g'(x)=exf(x)+exf'(x)=ex[f(x)+f'(x)]>0，
所以g(x)在R上是增函数，所以g(0)即f(0)又g(ln 2)所以eln 2f(ln 2)即2f(ln 2)8.若f(x)满足xf'(x)-f(x)>x2sin x，△ABC的内角A为钝角，则下列选项正确的是(　　)
A.cos C·f(sin B)B.cos C·f(sin B)>sin B·f(cos C)
C.cos B·f(sin C)D.cos B·f(sin C)>sin C·f(cos B)
答案　AC
解析　xf'(x)-f(x)>x2sin x，
当x∈时，
sin x>0，所以>sin x>0，
令F(x)=，x∈，
则F'(x)=>0，
所以F(x)在上单调递增.
因为在△ABC中，角A为钝角，
所以0所以0所以F(sin B)即<，即cos C·f(sin B)同理，由0所以0所以F(sin C)即<，
即cos B·f(sin C)三、填空题(每小题5分，共10分)
9.已知a=sin 0.9，b=0.9，c=cos 0.9，则a，b，c的大小关系是　　　　　　　.(用“>”连接)
答案　b>a>c
解析　令函数f(x)=x-sin x，x>0，
则f'(x)=1-cos x，则f'(x)≥0恒成立，
故函数f(x)在定义域(0，+∞)上单调递增，
所以当x>0时，f(x)>f(0)=0，
则f(0.9)=0.9-sin 0.9>0，
于是0.9>sin 0.9，即b>a，
当x∈时，x-∈，
则sin x-cos x=sin>0，
所以sin x>cos x，而<0.9<，
于是sin 0.9>cos 0.9，即a>c.综上可得b>a>c.
10.已知a=eπ-3，b=ln(eπ-2e)，c=π-2，则a，b，c的大小关系为　　　　　　　.(用“<”连接)
答案　b解析　由a=eπ-3，b=ln(eπ-2e)，
即a=e(π-2)-1，b=ln(eπ-2e)=ln(π-2)+1，
令f(x)=ex-1-x，
当x>1时，f'(x)=ex-1-1>0恒成立，
故f(x)在(1，+∞)上单调递增，
则f(π-2)=e(π-2)-1-(π-2)>f(1)=0，即a>c；
令g(x)=ln x-x+1，
当x>1时，g'(x)=-1=<0恒成立，
故g(x)在(1，+∞)上单调递减，
则g(π-2)=ln(π-2)+1-(π-2)故b

展开更多......

收起↑