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4.1　三角函数基本公式
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.(2025·邢台模拟)2 025°角是(　　)
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
2.在同一平面直角坐标系中，角α与4α的终边重合，则α的值可能是(　　)
A. B. C. D.
3.设集合M=，N=，则(　　)
A.M=N B.M N
C.N M D.M∩N=
4.(2025·日照模拟)已知α是第一象限角，且sin α+cos α=3cos αtan α，则sin的值为(　　)
A.- B.- C. D.
5.(2026·哈尔滨检测)已知sin α-cos α=，则+tan α的值为(　　)
A. B. C. D.
6.(2025·徐州模拟)已知cos(75°+α)=，α是第三象限角，则sin(195°-α)+cos(105°-α)等于(　　)
A.- B. C.- D.-
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.已知A(4，3)是角α终边上的一点，则(　　)
A.sin(π-α)= B.sin=
C.tan(π-α)= D.cos=-
8.(2025·临沂模拟)下列说法正确的是(　　)
A.若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为
B.若角α是第一象限角，则是第一象限或第二象限角
C.若角α与β的终边关于y轴对称，则α+β=+2kπ，k∈Z
D.cos 3·sin 4>0
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.已知角α的终边上有一点P(1，-2)，则sin α-cos α的值为　　　　　　.
10.在一块顶角为120°，腰长为2的等腰三角形钢板废料OAB中裁剪扇形，现有如图所示两种方案，既要充分利用废料，又要切割时间最短，则你选择的方案是　　　　　　.
四、解答题(共27分)
11.(13分)(2026·宜春模拟)如图所示，角α为锐角，设角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P，cos α=，将射线OP绕坐标原点O按逆时针方向旋转后与单位圆交于点Q(x1，y1).设终边OQ对应的角度为β.
(1)求tan β的值；(6分)
(2)求的值.(7分)
12.(14分)(2025·苏州统考)已知sin θ，cos θ是关于x的方程x2-ax+a=0(a∈R)的两个根.
(1)求实数a的值；(6分)
(2)求+的值.(8分)
[13题6分，14题5分，共11分]
13.(多选)《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为α，β，其中小正方形的面积为4，大正方形的面积为9，则下列说法正确的是(　　)
A.每一个直角三角形的面积为
B.3cos β-3cos α=2
C.3sin β-3sin α=2
D.sin2α+sin2β=1
14.(2025·乌鲁木齐模拟)已知角α(0°<α<360°)终边上A点坐标为(sin 310°，cos 310°)，则α=　　　　　.
4.1　三角函数基本公式
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.(2025·邢台模拟)2 025°角是(　　)
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
答案　C
解析　因为2 025°=5×360°+225°，225°角的终边在第三象限，
所以2 025°角是第三象限角.
2.在同一平面直角坐标系中，角α与4α的终边重合，则α的值可能是(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　由题意得4α-α=3α=2kπ，k∈Z，
可得α=kπ，k∈Z，
所以各选项中只有符合.
3.设集合M=，N=，则(　　)
A.M=N B.M N
C.N M D.M∩N=
答案　B
解析　由于集合M中，x=·180°+45°=k·90°+45°=(2k+1)·45°，2k+1是奇数；
而集合N中，x=·180°+45°=k·45°+45°=(k+1)·45°，k+1是整数，因此必有M N.
4.(2025·日照模拟)已知α是第一象限角，且sin α+cos α=3cos αtan α，则sin的值为(　　)
A.- B.- C. D.
答案　D
解析　因为sin α+cos α=3cos αtan α，
所以sin α+cos α=3sin α，所以cos α=2sin α，左右两侧平方得cos2α=4sin2α=4(1-cos2α)，
所以5cos 2α=4，又因为α是第一象限角，所以cos α=，
则sin=cos α=.
5.(2026·哈尔滨检测)已知sin α-cos α=，则+tan α的值为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　已知sin α-cos α=，两边平方可得(sin α-cos α)2=，
即sin2α-2sin αcos α+cos2α=，
因为sin2α+cos2α=1，
所以1-2sin αcos α=，解得sin αcos α=.
则+tan α=+===.
6.(2025·徐州模拟)已知cos(75°+α)=，α是第三象限角，则sin(195°-α)+cos(105°-α)等于(　　)
A.- B. C.- D.-
答案　C
解析　因为cos(75°+α)=，
所以sin(195°-α)+cos(105°-α)=sin+cos
=-cos(75°+α)-cos(75°+α)=-2×=-.
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.已知A(4，3)是角α终边上的一点，则(　　)
A.sin(π-α)= B.sin=
C.tan(π-α)= D.cos=-
答案　ABD
解析　角α终边上一点A(4，3)，则OA==5(O为坐标原点)，
于是sin α==，cos α==，tan α==，
对于A，sin(π-α)=sin α=，A正确；
对于B，sin=cos α=，B正确；
对于C，tan(π-α)=-tan α=-，C错误；
对于D，cos=-sin α=-，D正确.
8.(2025·临沂模拟)下列说法正确的是(　　)
A.若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为
B.若角α是第一象限角，则是第一象限或第二象限角
C.若角α与β的终边关于y轴对称，则α+β=+2kπ，k∈Z
D.cos 3·sin 4>0
答案　AD
解析　对于A，设扇形所在圆的半径为r，由扇形弧长公式得r=，解得r=，
所以扇形的面积S=××=，故A正确；
对于B，若角α是第一象限角，
则α∈，k'∈Z，
于是∈，k'∈Z，可得的终边在第一象限或第三象限，故B错误；
对于C，若角α与β的终边关于y轴对称，则α+β=π+2kπ，k∈Z，故C错误；
对于D，因为<3<π，π<4<，所以cos 3<0，sin 4<0，所以cos 3·sin 4>0，故D正确.
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.已知角α的终边上有一点P(1，-2)，则sin α-cos α的值为　　　　　　.
答案　-
解析　因为sin α==-，
cos α==，
所以sin α-cos α
=--=-.
10.在一块顶角为120°，腰长为2的等腰三角形钢板废料OAB中裁剪扇形，现有如图所示两种方案，既要充分利用废料，又要切割时间最短，则你选择的方案是　　　　　　.
答案　方案一
解析　∵△AOB是顶角为120°，腰长为2的等腰三角形，
∴A=B=30°=，AD=OA=2，
易得OM=ON=2sin=1，
∴方案一中扇形的弧长为2×=，
方案二中扇形的弧长为1×=，
∴<，故方案一中扇形的弧长更短，切割时间短；
方案一中扇形的面积为××2=，
方案二中扇形的面积为××1=，
故两个方案中扇形的面积相等.
两种方案利用废料面积相等，方案一所需切割时间更短，故选择方案一.
四、解答题(共27分)
11.(13分)(2026·宜春模拟)如图所示，角α为锐角，设角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P，cos α=，将射线OP绕坐标原点O按逆时针方向旋转后与单位圆交于点Q(x1，y1).设终边OQ对应的角度为β.
(1)求tan β的值；(6分)
(2)求的值.(7分)
解　(1)由角α为锐角，cos α=，
则sin α==，
所以sin β=sin=cos α=，
cos β=cos=-sin α=-，
所以tan β==-2.
(2)=
===-.
12.(14分)(2025·苏州统考)已知sin θ，cos θ是关于x的方程x2-ax+a=0(a∈R)的两个根.
(1)求实数a的值；(6分)
(2)求+的值.(8分)
解　(1)∵sin θ，cos θ是关于x的方程x2-ax+a=0(a∈R)的两个根，
∴Δ=a2-4a≥0，解得a≥4或a≤0，
由根与系数的关系得sin θ+cos θ=a，sin θcos θ=a，
∵sin2θ+cos2θ=(sin θ+cos θ)2-2sin θcos θ=a2-2a=1，
解得a=1-或a=1+(舍去)，
故a=1-.
(2)+
=-
=-
=
=sin θ+cos θ=a=1-.
[13题6分，14题5分，共11分]
13.(多选)《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为α，β，其中小正方形的面积为4，大正方形的面积为9，则下列说法正确的是(　　)
A.每一个直角三角形的面积为
B.3cos β-3cos α=2
C.3sin β-3sin α=2
D.sin2α+sin2β=1
答案　ACD
解析　如图，设AB=c，AC=b，
由题意得AD=2，BC=3，
则
所以
所以在Rt△ABC中，sin α=cos β=-+，
cos α=sin β=+.
对于A，每个直角三角形的面积为bc=××=，故A正确；
对于B，3cos β-3cos α=-=-2，故B错误；
对于C，3sin β-3sin α=-=2，故C正确；
对于D，sin2α+sin2β=cos2β+sin2β=1，故D正确.
14.(2025·乌鲁木齐模拟)已知角α(0°<α<360°)终边上A点坐标为(sin 310°，cos 310°)，则α=　　　　　.
答案　140°
解析　因为sin 310°<0，cos 310°>0，
所以角α的终边在第二象限，
又因为tan α===
===tan 140°，
且0°<α<360°，所以α=140°.

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