资源简介

4.2　三角恒等变换
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.(2026·重庆南岸区模拟)sin 33°cos 27°+sin 57°sin 27°等于(　　)
A. B. C.- D.-
2.若tan=-2，则tan α等于(　　)
A. B.- C.3 D.-3
3.(2023·新高考全国Ⅱ)已知α为锐角，cos α=，则sin等于(　　)
A. B.
C. D.
4.(2025·六安模拟)等于(　　)
A.2 B. C.2 D.1
5.(2024·新课标全国Ⅰ)已知cos(α+β)=m，tan αtan β=2，则cos(α-β)等于(　　)
A.-3m B.- C. D.3m
6.(2025·江苏省部分学校模拟)已知2cos(2α+β)-3cos β=0，则tan αtan(α+β)等于(　　)
A.5 B. C.-5 D.-
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.(2025·景德镇期末)下列式子正确的是(　　)
A.=
B.=tan
C.cos2=
D.(1+tan 18°)(1+tan 27°)=2
8.(2026·连云港模拟)已知α，β∈，cos(α+β)=，sin(α-β)=，则(　　)
A.sin(α+β)= B.cos(α-β)=-
C.sin 2α= D.=
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.函数f(x)=2sin x+cos x的最大值是　　　　.
10.(2026·成都模拟)已知sin=，则sin=　　　　.
四、解答题(共28分)
11.(13分)(1)化简：(θ为第二象限角)；(6分)
(2)求值：sin 50°(1+tan 10°).(7分)
12.(15分)(2025·无锡期末)已知α，β均为锐角，且sin α=，cos(α+β)=-.
(1)求cos β的值；(7分)
(2)求tan(2α-β)的值.(8分)
[每小题5分，共10分]
13.(2025·莆田模拟)中华人民共和国国旗是五星红旗，为中华人民共和国的象征和标志.每个五角星的一个内角都是36°，利用三倍角公式等恒等变换可以求得cos 36°的值.先利用sin 3α=sin(2α+α)可求得sin 3α=　　　　　　　　　(用单角α的正弦值表示)；再求得cos 36°=　　　　　　.
14.我国人脸识别技术处于世界领先地位.所谓人脸识别，就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法.假设二维空间中有两个点A(x1，y1)，B(x2，y2)，O为坐标原点，余弦相似度为向量，夹角的余弦值，记作cos(A，B)，余弦距离为1-cos(A，B).已知P(cos α，sin α)，Q(cos β，sin β)，R(cos α，-sin α)，若P，Q的余弦距离为，Q，R的余弦距离为，且0<α<β<，则cos 2α=　　　　.
4.2　三角恒等变换
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.(2026·重庆南岸区模拟)sin 33°cos 27°+sin 57°sin 27°等于(　　)
A. B. C.- D.-
答案　A
解析　因为sin 57°=sin(90°-33°)=cos 33°，
所以原式=sin 33°cos 27°+cos 33°sin 27°=sin(33°+27°)=sin 60°=.
2.若tan=-2，则tan α等于(　　)
A. B.- C.3 D.-3
答案　C
解析　由tan=-2，即=-2，解得tan α=3.
3.(2023·新高考全国Ⅱ)已知α为锐角，cos α=，则sin等于(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　因为α为锐角，
所以sin==
==.
4.(2025·六安模拟)等于(　　)
A.2 B. C.2 D.1
答案　B
解析　方法一　由和差化积公式得
==
==.
方法二　
==
=2sin 60°=.
5.(2024·新课标全国Ⅰ)已知cos(α+β)=m，tan αtan β=2，则cos(α-β)等于(　　)
A.-3m B.- C. D.3m
答案　A
解析　由cos(α+β)=m得cos αcos β-sin αsin β=m. ①
由tan αtan β=2得=2， ②
由①②得
所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-3m.
6.(2025·江苏省部分学校模拟)已知2cos(2α+β)-3cos β=0，则tan αtan(α+β)等于(　　)
A.5 B. C.-5 D.-
答案　D
解析　已知2cos(2α+β)-3cos β=0，可变形为2cos(2α+β)=3cos β，
所以2cos(α+β+α)=3cos(α+β-α)，
即2cos(α+β)cos α-2sin(α+β)sin α
=3cos(α+β)cos α+3sin(α+β)sin α，
即5sin(α+β)sin α=-cos(α+β)cos α.
所以=-，
即tan(α+β)tan α=-.
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.(2025·景德镇期末)下列式子正确的是(　　)
A.=
B.=tan
C.cos2=
D.(1+tan 18°)(1+tan 27°)=2
答案　BD
解析　=2×==2，选项A错误；
====tan，选项B正确；
cos2===，选项C错误；
(1+tan 18°)(1+tan 27°)=1+tan 18°+tan 27°+tan 18°tan 27°
=1+tan(18°+27°)(1-tan 18°tan 27°)+tan 18°tan 27°=2，选项D正确.
8.(2026·连云港模拟)已知α，β∈，cos(α+β)=，sin(α-β)=，则(　　)
A.sin(α+β)= B.cos(α-β)=-
C.sin 2α= D.=
答案　AC
解析　对于A，因为α，β∈，则α+β∈(0，π)，所以sin(α+β)==，故A正确；
对于B，因为α，β∈，且sin(α-β)=>0，则α-β∈，所以cos(α-β)==，故B错误；
对于C，因为2α=(α+β)+(α-β)，
所以sin 2α=sin[(α+β)+(α-β)]
=sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β)
=×+×=，故C正确；
对于D，因为====，则=，故D错误.
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.函数f(x)=2sin x+cos x的最大值是　　　　.
答案　
解析　f(x)=2sin x+cos x=sin(x+φ)，其中tan φ=，由正弦函数的值域可得其最大值为.
10.(2026·成都模拟)已知sin=，则sin=　　　　.
答案　
解析　由sin=，
得sin=sin
=cos 2=1-2sin2
=1-2×=.
四、解答题(共28分)
11.(13分)(1)化简：(θ为第二象限角)；(6分)
(2)求值：sin 50°(1+tan 10°).(7分)
解　(1)因为θ为第二象限角，
所以sin θ>0，cos θ<0，
=
=
==-2.
(2)sin 50°(1+tan 10°)
=sin 50°
=sin 50°·
=sin 50°·=
====1.
12.(15分)(2025·无锡期末)已知α，β均为锐角，且sin α=，cos(α+β)=-.
(1)求cos β的值；(7分)
(2)求tan(2α-β)的值.(8分)
解　(1)因为α为锐角，且sin α=，
所以cos α==，
因为cos(α+β)=-，且0<α+β<π，
所以sin(α+β)==，
所以cos β=cos[(α+β)-α]
=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α
=-×+×=.
(2)由(1)知，cos β=，又β是锐角，
则sin β==，
所以tan α==，tan β==2，
所以tan 2α==-2，
所以tan(2α-β)==.
[每小题5分，共10分]
13.(2025·莆田模拟)中华人民共和国国旗是五星红旗，为中华人民共和国的象征和标志.每个五角星的一个内角都是36°，利用三倍角公式等恒等变换可以求得cos 36°的值.先利用sin 3α=sin(2α+α)可求得sin 3α=　　　　　　　　　(用单角α的正弦值表示)；再求得cos 36°=　　　　　　.
答案　3sin α-4sin3α　
解析　sin 3α=sin(2α+α)
=sin 2αcos α+cos 2αsin α
=2sin αcos2α+(1-2sin2α)sin α
=2sin α(1-sin2α)+(1-2sin2α)sin α
=3sin α-4sin3α，
因为sin 72°=sin 108°，
从而2sin 36°cos 36°=3sin 36°-4sin336°，
即2cos 36°=3-4sin236°=3-4(1-cos236°)，
令cos 36°=x，0解得x=或x=(舍去).
14.我国人脸识别技术处于世界领先地位.所谓人脸识别，就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法.假设二维空间中有两个点A(x1，y1)，B(x2，y2)，O为坐标原点，余弦相似度为向量，夹角的余弦值，记作cos(A，B)，余弦距离为1-cos(A，B).已知P(cos α，sin α)，Q(cos β，sin β)，R(cos α，-sin α)，若P，Q的余弦距离为，Q，R的余弦距离为，且0<α<β<，则cos 2α=　　　　.
答案　
解析　=(cos α，sin α)，=(cos β，sin β)，
所以cos(P，Q)=
=
=cos αcos β+sin αsin β=cos(α-β)，
所以由题意得1-cos(α-β)=，
同理可得，cos(Q，R)=cos(α+β)，
所以1-cos(α+β)=，
解得cos(α+β)=，cos(α-β)=，
因为0<α<β<，
所以0<α+β<π，-<α-β<0，
所以sin(α+β)==，
sin(α-β)=-=-，
所以cos 2α=cos(α+β+α-β)
=cos(α+β)cos(α-β)-sin(α+β)sin(α-β)
=×-×=.

展开更多......

收起↑