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4.3　三角函数的图象与性质
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.(2025·天津)设x∈R，则“x=0”是“sin 2x=0”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.函数y=+的定义域为(　　)
A.(0，4] B.[-4，-π)∪(0，4]
C.(-π，0) D.[-4，-π)∪(0，π)
3.(人教A版必修第一册P214习题5.4T12)下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间上单调递减的是 (　　)
A.y=|sin x| B.y=cos x
C.y=tan x D.y=cos
4.(2025·全国Ⅰ卷)已知点(a，0)(a>0)是函数y=2tan的图象的一个对称中心，则a的最小值为(　　)
A. B. C. D.
5.已知函数f(x)=sin(ω>0)，若f(x)≤且函数f(x)的最小正周期T满足T∈，则T等于(　　)
A. B. C. D.
6.(2025·天津)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0，-π<φ<π)，在上单调递增，且x=为它的一条对称轴，是它的一个对称中心，当x∈时，f(x)的最小值为(　　)
A.- B.- C.1 D.0
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.(2024·新课标全国Ⅱ)对于函数f(x)=sin 2x和g(x)=sin，下列说法中正确的有(　　)
A.f(x)与g(x)有相同的零点
B.f(x)与g(x)有相同的最大值
C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期
D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴
8.(2022·新高考全国Ⅱ)已知函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象关于点中心对称，则(　　)
A.f(x)在区间单调递减
B.f(x)在区间有两个极值点
C.直线x=是曲线y=f(x)的对称轴
D.直线y=-x是曲线y=f(x)的切线
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.已知函数f(x)=2cos(0<θ<π)为奇函数，则θ=　　　.
10.(2025·长沙期末)若f(x)=sin x+cos x在区间[-θ，θ]上单调递增，则tan θ的最大值为　　　　.
四、解答题(共28分)
11.(13分)(2025·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)=cos(2x+φ)(0≤φ<π)，f(0)=.
(1)求φ；(5分)
(2)设函数g(x)=f(x)+f，求g(x)的值域和单调区间.(8分)
12.(15分)(2025·苏州模拟)已知f(x)=2cos2ωx+2sin ωxcos ωx(ω>0)，且f(x)的两个零点之差的绝对值的最小值为.
(1)求f(x)的解析式；(4分)
(2)求函数f(x)图象的对称轴和对称中心；(4分)
(3)设方程f(x)=在区间内的两解分别为x1，x2，求cos(x1-x2)的值.(7分)
[每小题5分，共10分]
13.函数f(x)=|sin x|+cos x是(　　)
A.奇函数，且最小值为-
B.奇函数，且最大值为
C.偶函数，且最小值为-
D.偶函数，且最大值为
14.(2023·新高考全国Ⅱ)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)，如图，A，B是直线y=与曲线y=f(x)的两个交点，若|AB|=，则f(π)=　　　　　.
4.3　三角函数的图象与性质
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.(2025·天津)设x∈R，则“x=0”是“sin 2x=0”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案　A
解析　由x=0 sin 2x=sin 0=0，则“x=0”是“sin 2x=0”的充分条件；
令sin 2x=0，则2x=kπ，k∈Z，故x=，k∈Z，所以sin 2x=0 x=0，则“x=0”不是“sin 2x=0”的必要条件，
综上可知，“x=0”是“sin 2x=0”的充分不必要条件.
2.函数y=+的定义域为(　　)
A.(0，4] B.[-4，-π)∪(0，4]
C.(-π，0) D.[-4，-π)∪(0，π)
答案　D
解析　根据题意得
解得
即所求定义域为[-4，-π)∪(0，π).
3.(人教A版必修第一册P214习题5.4T12)下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间上单调递减的是 (　　)
A.y=|sin x| B.y=cos x
C.y=tan x D.y=cos
答案　A
解析　y=|sin x|的最小正周期为π，且在上单调递减，故A正确；
y=cos x的最小正周期为2π，故B错误；
y=tan x在上单调递增，故C错误；
y=cos的最小正周期为4π，故D错误.
4.(2025·全国Ⅰ卷)已知点(a，0)(a>0)是函数y=2tan的图象的一个对称中心，则a的最小值为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　y=2tan的对称中心的横坐标满足x-=，k∈Z，即x=+，k∈Z，
所以y=2tan的图象的对称中心是，k∈Z，
即a=+，k∈Z，
又a>0，则当k=0时，a最小，最小值是.
5.已知函数f(x)=sin(ω>0)，若f(x)≤且函数f(x)的最小正周期T满足T∈，则T等于(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　∵f(x)≤，∴f为函数f(x)的最大值或最小值.
∵f(x)=sin，∴ω+=kπ+，k∈Z，解得ω=4k+1，k∈Z.
又函数f(x)的最小正周期T满足T∈，且ω>0，
∴<<，解得6<ω<10，∴当k=2时，ω=9满足题意，∴T=.
6.(2025·天津)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0，-π<φ<π)，在上单调递增，且x=为它的一条对称轴，是它的一个对称中心，当x∈时，f(x)的最小值为(　　)
A.- B.- C.1 D.0
答案　A
解析　设f(x)的最小正周期为T，
根据题意有m，k∈Z，
由正弦函数的对称性可知-=(n∈N)，又ω>0，
即=，∴ω=4n+2(n∈N)，
又f(x)在上单调递增，则≥-=，∴≥，0<ω≤2，
∴ω=2，则m，k∈Z，
∵φ∈(-π，π)，∴当k=0，m=1时，φ=，
∴f(x)=sin，
又当x∈时，2x+∈，
由正弦函数的单调性可知当2x+=，即x=时，f(x)min=sin =-.
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.(2024·新课标全国Ⅱ)对于函数f(x)=sin 2x和g(x)=sin，下列说法中正确的有(　　)
A.f(x)与g(x)有相同的零点
B.f(x)与g(x)有相同的最大值
C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期
D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴
答案　BC
解析　A选项，令f(x)=sin 2x=0，
解得x=，k∈Z，即为f(x)的零点，
令g(x)=sin=0，
解得x=+，k∈Z，即为g(x)的零点，
显然f(x)，g(x)零点不同，A选项错误；
B选项，显然f(x)max=g(x)max=1，B选项正确；
C选项，根据周期公式，f(x)，g(x)的最小正周期均为=π，C选项正确；
D选项，根据正弦函数的性质，f(x)的对称轴满足2x=kπ+，k∈Z，解得x=+，k∈Z，
g(x)的对称轴满足2x-=kπ+，k∈Z，
解得x=+，k∈Z，
显然f(x)，g(x)图象的对称轴不同，D选项错误.
8.(2022·新高考全国Ⅱ)已知函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象关于点中心对称，则(　　)
A.f(x)在区间单调递减
B.f(x)在区间有两个极值点
C.直线x=是曲线y=f(x)的对称轴
D.直线y=-x是曲线y=f(x)的切线
答案　AD
解析　因为函数f(x)的图象关于点中心对称，所以sin=0，可得+φ=kπ(k∈Z)，结合0<φ<π，得φ=，所以f(x)=sin.
对于A，当x∈时，2x+∈，所以函数f(x)在区间上单调递减，故A正确；
对于B，当x∈时，2x+∈，所以函数f(x)在区间只有一个极值点，故B不正确；
对于C，因为f=sin=sin 3π=0，所以直线x=不是曲线y=f(x)的对称轴，故C不正确；
对于D，因为f'(x)=2cos，若直线y=-x为曲线y=f(x)的切线，
则由2cos=-1，得2x+=2kπ+或2x+=2kπ+(k∈Z)，
所以x=kπ或x=kπ+(k∈Z).
当x=kπ(k∈Z)时，f(x)=，
则由=-kπ(k∈Z)，解得k=0；
当x=kπ+(k∈Z)时，f(x)=-，
方程-=-kπ-(k∈Z)无解.
综上所述，直线y=-x为曲线y=f(x)的切线，故D正确.
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.已知函数f(x)=2cos(0<θ<π)为奇函数，则θ=　　　.
答案　
解析　因为函数f(x)=2cos(0<θ<π)为奇函数，
所以f(0)=2cos=0，所以-+θ=+kπ，k∈Z，所以θ=+kπ，k∈Z，
又0<θ<π，所以当k=0时，θ=.
10.(2025·长沙期末)若f(x)=sin x+cos x在区间[-θ，θ]上单调递增，则tan θ的最大值为　　　　.
答案　
解析　f(x)=sin x+cos x=2sin，
当x∈[-θ，θ]时，x+∈，
因为f(x)在区间[-θ，θ]上单调递增，
所以则0<θ≤，
所以0则tan θ的最大值是.
四、解答题(共28分)
11.(13分)(2025·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)=cos(2x+φ)(0≤φ<π)，f(0)=.
(1)求φ；(5分)
(2)设函数g(x)=f(x)+f，求g(x)的值域和单调区间.(8分)
解　(1)由题意得f(0)=cos φ=(0≤φ<π)，所以φ=.
(2)由(1)可知f(x)=cos，
所以g(x)=f(x)+f=cos+cos 2x
=cos 2x-sin 2x+cos 2x=cos 2x-sin 2x=cos，
所以函数g(x)的值域为[-，].
令2kπ≤2x+≤π+2kπ，k∈Z，解得-+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，
令π+2kπ≤2x+≤2π+2kπ，k∈Z，解得+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，
所以函数g(x)的单调递减区间为，k∈Z，
单调递增区间为，k∈Z.
12.(15分)(2025·苏州模拟)已知f(x)=2cos2ωx+2sin ωxcos ωx(ω>0)，且f(x)的两个零点之差的绝对值的最小值为.
(1)求f(x)的解析式；(4分)
(2)求函数f(x)图象的对称轴和对称中心；(4分)
(3)设方程f(x)=在区间内的两解分别为x1，x2，求cos(x1-x2)的值.(7分)
解　(1)由题意，f(x)=cos 2ωx+1+sin 2ωx=2+1
=2sin+1，
令f(x)=0，得sin=-，
此时2ωx+=+2kπ或2ωx+=+2kπ，k∈Z，=，
依题意，ω>0，f(x)的最小正周期为×=π，
所以=π，解得ω=1，
所以f(x)=2sin+1.
(2)由2x+=+kπ，k∈Z，
可得x=+，k∈Z，
所以f(x)的图象的对称轴为直线x=+，k∈Z，
由2x+=kπ，k∈Z，可得x=-，k∈Z，
所以f(x)的图象的对称中心为点，k∈Z.
(3)因为f(x)=2sin+1，
所以方程f(x)=可化为sin=，
由x1，x2为方程sin=的两个根可得，sin=且sin=，
因为x∈，所以2x+∈，
则在区间内，2x1++2x2+=×2，
解得x1+x2=，即x1=-x2，
所以cos(x1-x2)=cos
=cos=sin=.
[每小题5分，共10分]
13.函数f(x)=|sin x|+cos x是(　　)
A.奇函数，且最小值为-
B.奇函数，且最大值为
C.偶函数，且最小值为-
D.偶函数，且最大值为
答案　D
解析　由函数f(x)=|sin x|+cos x，可得其定义域为R，关于原点对称，
且f(-x)=|sin(-x)|+cos(-x)=|sin x|+cos x=f(x)，所以函数f(x)为偶函数，故A，B错误；
因为f(2π+x)=|sin(2π+x)|+cos(2π+x)=|sin x|+cos x=f(x)，
所以2π为f(x)的一个周期，
不妨设x∈[0，2π]，若x∈[0，π]，
可得f(x)=sin x+cos x=sin，
因为x∈[0，π]，可得x+∈，
当x+=，即x=时，可得f(x)max=；
当x+=，即x=π时，可得f(x)min=-1.
若x∈[π，2π]，
可得f(x)=-sin x+cos x=cos，
因为x∈[π，2π]，可得x+∈，
当x+=2π，即x=时，可得f(x)max=；
当x+=，即x=π时，可得f(x)min=-1，
综上可得，函数f(x)的最大值为，最小值为-1，故C错误，D正确.
14.(2023·新高考全国Ⅱ)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)，如图，A，B是直线y=与曲线y=f(x)的两个交点，若|AB|=，则f(π)=　　　　　.
答案　-
解析　设A，B，
由|AB|=可得x2-x1=，
由sin x=可知，
x=+2kπ，k∈Z或x=+2kπ，k∈Z，
由图可知，
ωx2+φ-(ωx1+φ)=-=，
即ω(x2-x1)=，所以ω=4.
因为f=sin=0，
所以+φ=kπ，k∈Z，即φ=-+kπ，k∈Z.
所以f(x)=sin，k∈Z，
所以f(x)=sin
或f(x)=-sin，
又因为f(0)<0，
所以f(x)=sin，
所以f(π)=sin=-.

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