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4.4　函数y=Asin(ωx+φ)
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.(2025·济宁模拟)将函数y=2cos的图象向右平移个最小正周期后，所得图象对应的函数为(　　)
A.y=2cos B.y=2cos
C.y=2cos D.y=-2cos
2.(2025·临夏模拟)函数y=sin在一个周期内的图象可以是(　　)
3.(2026·苏州模拟)把函数f(x)的图象向右平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=2sin的图象.则函数f(x)的一个解析式为(　　)
A.f(x)=2cos
B.f(x)=2sin
C.f(x)=2cos
D.f(x)=2sin
4.(2025·聊城模拟)已知函数f(x)=tan(ωx-φ)(ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，则ωφ等于(　　)
A. B.
C. D.
5.(2025·长沙模拟)某地区2024年全年月平均温度y(单位：℃)与月份t之间近似满足y=Asin+k (A>0，-π<φ<0).已知该地区2月份的月平均温度为-1 ℃，全年月平均温度最高的月份为6月份，且平均温度为32 ℃，则该地区12月份的平均温度为(　　)
A.-12 ℃ B.-10 ℃
C.-9 ℃ D.-6 ℃
6.将函数f(x)=sin 2x的图象向右平移φ个单位长度后得到函数g(x)的图象，若以f(x)，g(x)图象相邻的三个交点为顶点的三角形的面积为，则φ等于(　　)
A. B. C. D.
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.为得到函数y=cos的图象，只需将y=cos 2x的图象(　　)
A.先将横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移个单位长度
B.先将横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移个单位长度
C.先向右平移个单位长度，再将横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)
D.先向右平移个单位长度，再将横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)
8.(2026·新乡模拟)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)的部分图象如图所示，点A(0，-1)，B(x0，1)在曲线f(x)上，若|AB|=，则(　　)
A.φ=-
B.f(x)的图象关于点对称
C.f(x)在[7，11]上单调递减
D.若方程f(x)=m在区间上有两个根，则m的取值范围是[，2)
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.(2025·九江模拟)将函数f(x)=sin的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象关于y轴对称，则正实数ω的最小值为　　　　.
10.(2026·池州模拟)如图1，筒车亦称为“水转筒车”，是一种以流水为动力，取水灌田的工具，如图2，假设在水流量稳定的情况下，一个半径为3米的筒车按逆时针方向做每6分钟转一圈的匀速圆周运动，筒车的轴心O距离水面BC的高度为1.5米，设筒车上的某个盛水筒P的初始位置为点D(水面与筒车右侧的交点)，从此处开始计时，t分钟时，该盛水筒距水面的距离为H=f(t)=Asin(ωt+φ)+b(A>0，ω>0，|φ|<，t≥0)，则f(2 026)=　　　　.
四、解答题(共28分)
11.(13分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的最小正周期是π，且当x=时，f(x)取得最大值2.
(1)求f(x)的解析式；(4分)
(2)作出f(x)在[0，π]上的图象(要列表)；(4分)
(3)函数f(x)的图象可由函数y=sin x的图象经过怎样的变换得到？(5分)
12.(15分)在校园美化、改造活动中，要在半径为15 m，圆心角为的扇形空地EOF的内部修建一矩形观赛场地ABCD，如图所示.取CD的中点M，OM与AB交于点N，记∠MOC=θ.
(1)写出矩形ABCD的面积S与角θ的函数关系式；(8分)
(2)求当角θ为何值时，矩形ABCD的面积最大，并求出最大面积.(7分)
[每小题5分，共10分]
13.(2025·温州模拟)已知函数f(x)=sin x，g(x)=cos x，则两个函数的图象仅通过平移就可以重合的是(　　)
A.y=f(x)-g(x)与y=f(x)
B.y=[f(x)]2-[g(x)]2与y=f(x)g(x)
C.y=f(f(x))与y=f(g(x))
D.y=f(f(x))与y=g(f(x))
14.(2025·雅安模拟)将函数f(x)=sin x图象上的所有点经过平移和伸缩变换得到函数g(x)=sin的图象，若点A被变换成了g(x)图象上的点A'(x0，y0)，且sin x0=，则φ的所有可能值之和为　　　　.
4.4　函数y=Asin(ωx+φ)
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.(2025·济宁模拟)将函数y=2cos的图象向右平移个最小正周期后，所得图象对应的函数为(　　)
A.y=2cos B.y=2cos
C.y=2cos D.y=-2cos
答案　D
解析　函数最小正周期T==π，所以函数y=2cos的图象向右平移个最小正周期可得y=2cos=2cos=-2cos=-2cos=-2cos.
2.(2025·临夏模拟)函数y=sin在一个周期内的图象可以是(　　)
答案　C
解析　方法一　因为y=sin=sin 2，
所以函数y=sin的图象可由y=sin 2x的图象向左平移个单位长度得到，
又最小正周期为T==π，所以只有C符合.
方法二　函数f(x)=sin，
因为f(0)=sin=>0，
所以A，D项不符合；
因为f=sin=-<0，
f=sin π=0，
所以B项不符合，C项符合.
3.(2026·苏州模拟)把函数f(x)的图象向右平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=2sin的图象.则函数f(x)的一个解析式为(　　)
A.f(x)=2cos
B.f(x)=2sin
C.f(x)=2cos
D.f(x)=2sin
答案　B
解析　将函数y=2sin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，
得到y=2sin的图象，再把函数y=2sin的图象向左平移个单位长度，
得到f(x)=2sin=2sin的图象.
4.(2025·聊城模拟)已知函数f(x)=tan(ωx-φ)(ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，则ωφ等于(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　由图可知，f(x)的最小正周期T=-==，ω=2，
f(x)=tan(2x-φ)(0<φ<π)，
根据对称性可知-φ=kπ+，k∈Z，
则φ=-kπ，k∈Z，由于0<φ<π，
所以φ=，所以ωφ=.
5.(2025·长沙模拟)某地区2024年全年月平均温度y(单位：℃)与月份t之间近似满足y=Asin+k (A>0，-π<φ<0).已知该地区2月份的月平均温度为-1 ℃，全年月平均温度最高的月份为6月份，且平均温度为32 ℃，则该地区12月份的平均温度为(　　)
A.-12 ℃ B.-10 ℃
C.-9 ℃ D.-6 ℃
答案　A
解析　由题意可知，当t=6时，y=Asin+k取得最大值，A>0，
所以6×+φ=2kπ+，k∈Z，
即φ=2kπ-，k∈Z.
又-π<φ<0，即φ=-，
所以y=Asin+k=-Acost+k.
因为全年月平均温度的最大值为32 ℃，
所以A+k=32. ①
又当t=2时，y=-1，所以-Acos+k=-1，所以A-2k=2. ②
由①②解得A=22，k=10，
所以y=-22cost+10，
则当t=12时，y=-22cos+10=-12(℃).
6.将函数f(x)=sin 2x的图象向右平移φ个单位长度后得到函数g(x)的图象，若以f(x)，g(x)图象相邻的三个交点为顶点的三角形的面积为，则φ等于(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　如图，
不妨取纵轴右侧的连续三个交点，设交点分别为A，C，B，易知g(x)=sin 2(x-φ)的最小正周期也为π，可得AB=π，
由△ABC的面积为及对称性知，yA=，进而得A，
将点A代入g(x)=sin 2(x-φ)，结合0<φ<，得φ=.
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.为得到函数y=cos的图象，只需将y=cos 2x的图象(　　)
A.先将横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移个单位长度
B.先将横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移个单位长度
C.先向右平移个单位长度，再将横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)
D.先向右平移个单位长度，再将横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)
答案　BC
解析　如果是先伸缩再平移，
需先将y=cos 2x的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，
得到y=cos x的图象，再向右平移个单位长度，即得y=cos的图象，故A错误，B正确；
如果是先平移再伸缩，需先将y=cos 2x的图象向右平移个单位长度，
得到y=cos 2=cos的图象，再将图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，
即得y=cos的图象，故C正确，D错误.
8.(2026·新乡模拟)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)的部分图象如图所示，点A(0，-1)，B(x0，1)在曲线f(x)上，若|AB|=，则(　　)
A.φ=-
B.f(x)的图象关于点对称
C.f(x)在[7，11]上单调递减
D.若方程f(x)=m在区间上有两个根，则m的取值范围是[，2)
答案　ABD
解析　对于A，由f(0)=-1，得sin φ=-，而|φ|<，则φ=-，A正确；
依题意，x0>0，|AB|==，解得x0=3，
易知函数f(x)的最小正周期T=2(x0-0)=6=，解得ω=，即f(x)=2sin，
对于B，f=2sin=0，
则f(x)的图象关于点对称，B正确；
对于C，当x∈[7，11]时，x-∈，当x-=，即x=8时，f(x)取得最大值2，
因此f(x)在[7，11]上不单调，C错误；
对于D，由f(x)的图象可知，f(x)在[0，2]上单调递增，在上单调递减，
且f(0)=-1，f(2)=2，f=，
因为方程f(x)=m在区间上有两个根，则m的取值范围是[，2)，D正确.
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.(2025·九江模拟)将函数f(x)=sin的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象关于y轴对称，则正实数ω的最小值为　　　　.
答案　1
解析　依题意，得g(x)=sin=sin为偶函数，
则+=kπ+，k∈Z，
即ω=6k+1，k∈Z，
正实数ω的最小值为1.
10.(2026·池州模拟)如图1，筒车亦称为“水转筒车”，是一种以流水为动力，取水灌田的工具，如图2，假设在水流量稳定的情况下，一个半径为3米的筒车按逆时针方向做每6分钟转一圈的匀速圆周运动，筒车的轴心O距离水面BC的高度为1.5米，设筒车上的某个盛水筒P的初始位置为点D(水面与筒车右侧的交点)，从此处开始计时，t分钟时，该盛水筒距水面的距离为H=f(t)=Asin(ωt+φ)+b(A>0，ω>0，|φ|<，t≥0)，则f(2 026)=　　　　.
答案　0
解析　由题意得T=6，又ω>0，故ω==，
且A+b=4.5，-A+b=-1.5，
解得A=3，b=1.5，
故H=f(t)=3sin+1.5，
当t=0时，H=0，
即3sin φ+1.5=0，sin φ=-，
又|φ|<，解得φ=-，
故H=f(t)=3sin+1.5，
所以f(2 026)=3sin+1.5
=3sin+1.5=-3sin+1.5=0.
四、解答题(共28分)
11.(13分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的最小正周期是π，且当x=时，f(x)取得最大值2.
(1)求f(x)的解析式；(4分)
(2)作出f(x)在[0，π]上的图象(要列表)；(4分)
(3)函数f(x)的图象可由函数y=sin x的图象经过怎样的变换得到？(5分)
解　(1)因为函数f(x)的最小正周期是π，
所以ω=2.
又因为当x=时，f(x)取得最大值2，
所以A=2，
同时2×+φ=2kπ+，k∈Z，
即φ=2kπ+，k∈Z，
因为-<φ<，所以φ=，
所以f(x)=2sin.
(2)因为x∈[0，π]，所以2x+∈.
列表如下：
2x+ π 2π
x 0 π
f(x) 1 2 0 -2 0 1
描点、连线得图象如图所示.
(3)将y=sin x的图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数y=sin的图象，再将y=sin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数y=sin的图象，再将y=sin上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，
得到f(x)=2sin的图象.
12.(15分)在校园美化、改造活动中，要在半径为15 m，圆心角为的扇形空地EOF的内部修建一矩形观赛场地ABCD，如图所示.取CD的中点M，OM与AB交于点N，记∠MOC=θ.
(1)写出矩形ABCD的面积S与角θ的函数关系式；(8分)
(2)求当角θ为何值时，矩形ABCD的面积最大，并求出最大面积.(7分)
解　(1)由题可知，θ∈，
在Rt△MOC中，OM=15cos θ，MC=15sin θ，
∴BN=MC=15sin θ，
在Rt△BON中，ON==
=5sin θ，
∴MN=OM-ON=15cos θ-5sin θ，
∴S=2·BN·MN=2×15sin θ×
=150-75
=150sin-75，θ∈.
(2)∵θ∈，
∴2θ+∈.
∴当2θ+=，即θ=时，Smax=75，
故当θ=时，矩形ABCD的面积最大，
最大值为75 m2.
[每小题5分，共10分]
13.(2025·温州模拟)已知函数f(x)=sin x，g(x)=cos x，则两个函数的图象仅通过平移就可以重合的是(　　)
A.y=f(x)-g(x)与y=f(x)
B.y=[f(x)]2-[g(x)]2与y=f(x)g(x)
C.y=f(f(x))与y=f(g(x))
D.y=f(f(x))与y=g(f(x))
答案　C
解析　若两个正、余弦型函数的图象仅通过平移就可以重合，则这两个函数的振幅相等，最小正周期也相等，
对于A选项，f(x)-g(x)=sin x-cos x=sin，
因为函数y=f(x)-g(x)的振幅为，函数y=f(x)的振幅为1，
所以这两个函数的振幅不相等，
故y=f(x)-g(x)与y=f(x)的图象不能通过平移重合，A错误；
对于B选项，[f(x)]2-[g(x)]2=sin2x-cos2x=-cos 2x，
f(x)g(x)=sin xcos x=sin 2x，
函数y=[f(x)]2-[g(x)]2的振幅为1，函数y=f(x)g(x)的振幅为，
所以y=[f(x)]2-[g(x)]2与y=f(x)g(x)的图象不能通过平移重合，B错误；
对于C选项，因为f(f(x))=sin(sin x)，
f(g(x))=sin(cos x)=sin，
将函数y=f(f(x))的图象向左平移个单位长度可与函数y=f(g(x))的图象重合，C正确；
对于D选项，g(f(x))=cos(sin x)=sin，
函数y=f(f(x))与y=g(f(x))的图象振幅不相等，不能通过平移重合，D错误.
14.(2025·雅安模拟)将函数f(x)=sin x图象上的所有点经过平移和伸缩变换得到函数g(x)=sin的图象，若点A被变换成了g(x)图象上的点A'(x0，y0)，且sin x0=，则φ的所有可能值之和为　　　　.
答案　
解析　由题意得A，
点A被变换成了点A'(x0，y0)，
即先变换为，再变换为-2φ，
即x0=-2φ，
所以sin=，即-2φ=+2kπ或-2φ=+2kπ，k∈Z，
又因为|φ|<，所以φ=或φ=-，
则φ的所有可能值之和为-=.

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