资源简介

4.5　三角函数中有关ω的范围问题
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.(2025·呼和浩特模拟)已知函数f(x)=sin(ω>0)在区间[0，π]上有且仅有两条对称轴，则ω的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
2.若函数f(x)=sin(ω>0)在区间上单调递增，则ω的取值范围是(　　)
A.(0，2] B.(0，4]
C.(0，6] D.(0，8]
3.(2026·安康模拟)已知函数f(x)=2cos在区间[0，a]上的值域为[-2，]，则a的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
4.(2022·全国甲卷)设函数f(x)=sin在区间(0，π)上恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
5.(2025·江门模拟)若函数f(x)=sin(ω>0)在区间内没有零点，则正数ω的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
6.(2026·苏州模拟)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)，f=0，直线x=为f(x)图象的一条对称轴，且f(x)在上单调，则ω的最大值为(　　)
A.11 B.9 C.7 D.5
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.(2025·天津模拟)已知函数f(x)=2cos(ω>0)在(0，π)上有且仅有2个极小值点，且在上不单调，则ω的取值不可能是(　　)
A. B. C.4 D.
8.设函数f(x)=sin(ω>0)，已知f(x)在[0，2π]上有且仅有5个零点，下列结论正确的是(　　)
A.f(x)在(0，2π)上有且仅有3个极大值点
B.f(x)在(0，2π)上有且仅有2个极小值点
C.f(x)在上单调递增
D.ω的取值范围是
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.(2023·新高考全国Ⅰ)已知函数f(x)=cos ωx-1(ω>0)在区间[0，2π]上有且仅有3个零点，则ω的取值范围是　　　　.
10.(2025·安康模拟)已知函数f(x)=cos(ω>0)在区间上无极值，则ω的最大值为　　　　.
4.5　三角函数中有关ω的范围问题
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.(2025·呼和浩特模拟)已知函数f(x)=sin(ω>0)在区间[0，π]上有且仅有两条对称轴，则ω的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　x∈[0，π]，ω>0，则ωx-∈，
函数f(x)=sin(ω>0)在区间[0，π]上有且仅有两条对称轴，
则≤ωπ-<，故ω的取值范围是.
2.若函数f(x)=sin(ω>0)在区间上单调递增，则ω的取值范围是(　　)
A.(0，2] B.(0，4]
C.(0，6] D.(0，8]
答案　A
解析　当x∈时，ωx+∈，
若函数f(x)=sin(ω>0)在区间上单调递增，
则k∈Z，
解得ω≤2+12k，ω≤8-24k，k∈Z，
又ω>0，当k=0时，可得0<ω≤2.
3.(2026·安康模拟)已知函数f(x)=2cos在区间[0，a]上的值域为[-2，]，则a的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　当x∈[0，a]时，2x+∈，
由函数f(x)=2cos在区间[0，a]上的值域为[-2，]，
故函数y=cos x在区间上的值域为，
则有2a+∈，
即a的取值范围为.
4.(2022·全国甲卷)设函数f(x)=sin在区间(0，π)上恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　由题意可得ω>0，因为x∈(0，π)，
所以ωx+∈.
又y=sin x，x∈的图象如图所示，
要使函数f(x)在区间(0，π)上恰有三个极值点，两个零点，
则<πω+≤3π，得<ω≤.
5.(2025·江门模拟)若函数f(x)=sin(ω>0)在区间内没有零点，则正数ω的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　∵x∈，ω>0，
∴ωx+∈，
又f(x)在内没有零点，
∴其中k∈Z，
解得
又ω>0，解得0<ω≤.
6.(2026·苏州模拟)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)，f=0，直线x=为f(x)图象的一条对称轴，且f(x)在上单调，则ω的最大值为(　　)
A.11 B.9 C.7 D.5
答案　B
解析　由f=0，直线x=为f(x)图象的一条对称轴，得×=，n∈N，则ω=2n+1(n∈N)，
由f(x)在上单调，得-=≤，解得ω≤12，
当ω=11时，-+φ=kπ，k∈Z，由|φ|<，得φ=-，此时f(x)=sin，
当x∈时，11x-∈，
即f(x)在上不单调，不满足题意；
当ω=9时，-+φ=kπ，k∈Z，由|φ|<，
得φ=，此时f(x)=sin，
当x∈时，9x+∈，
此时f(x)在上单调递减，符合题意，
所以ω的最大值为9.
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.(2025·天津模拟)已知函数f(x)=2cos(ω>0)在(0，π)上有且仅有2个极小值点，且在上不单调，则ω的取值不可能是(　　)
A. B. C.4 D.
答案　AB
解析　当x∈(0，π)时，ωx+∈，
所以3π<ωπ+≤5π，
解得<ω≤，
又当x∈时，ωx+∈，
所以+>π，解得ω>，
综上，<ω≤，故选AB.
8.设函数f(x)=sin(ω>0)，已知f(x)在[0，2π]上有且仅有5个零点，下列结论正确的是(　　)
A.f(x)在(0，2π)上有且仅有3个极大值点
B.f(x)在(0，2π)上有且仅有2个极小值点
C.f(x)在上单调递增
D.ω的取值范围是
答案　ACD
解析　当x∈[0，2π]时，ωx+∈，
∵f(x)在[0，2π]上有且仅有5个零点，
∴5π≤2πω+<6π，
∴≤ω<，故D正确；
当ωx+=，，时取得极大值，A正确；
极小值点不确定，可能是2个也可能是3个，B不正确；
当x∈时，ωx+∈，
若f(x)在上单调递增，
则≤，即ω≤3，
∵≤ω<，故C正确.
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.(2023·新高考全国Ⅰ)已知函数f(x)=cos ωx-1(ω>0)在区间[0，2π]上有且仅有3个零点，则ω的取值范围是　　　　.
答案　[2，3)
解析　因为0≤x≤2π，
所以0≤ωx≤2ωπ，
令f(x)=cos ωx-1=0，
则cos ωx=1有3个根，
令t=ωx，则cos t=1有3个根，其中t∈[0，2ωπ]，
结合余弦函数y=cos t的图象性质可得4π≤2ωπ<6π，
故2≤ω<3.
10.(2025·安康模拟)已知函数f(x)=cos(ω>0)在区间上无极值，则ω的最大值为　　　　.
答案　
解析　方法一　当x∈，ω>0时，
2ωx-∈，
因为f(x)在区间上无极值，
所以f(x)在区间上单调，
则k∈Z，
解得≤ω≤，k∈Z，
又ω>0，则0<ω≤或≤ω≤，
故ω的最大值为.
方法二　f(x)的最小正周期T==.
因为f(x)在区间上无极值，
所以T≥，解得0<ω≤1.
由2ωx-=kπ(k∈Z)，得f(x)图象的对称轴方程为x=(k∈Z).
由题意知f(x)的图象在区间上没有对称轴，得k∈Z，
解得≤ω≤(k∈Z).结合0<ω≤1，得ω的最大值为.

展开更多......

收起↑