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第二十五章 一元二次方程
25.3 实际问题与一元二次方程
第3课时 单双循环问题和其他问题
新知讲解
知识点1　列一元二次方程解决单双循环问题
1.单循环问题
例如握手问题：甲和乙握手与乙和甲握手在同一次进行，所以总数要除以2.
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知识点1　列一元二次方程解决单双循环问题
2.双循环问题
例如互赠照片问题：甲送乙照片与乙送甲照片是要两张照片，故总数不要除以2.
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知识点1　列一元二次方程解决单双循环问题
比赛问题关键是抓住主客场赛制，若每两个班之间都进行一场比赛，就可以根据班级数乘每个班级要进行的场数等于总场数乘2列等量关系.若每两个班之间都进行两场比赛，就可以根据班级数乘每个班级要进行的场数等于总场数列等量关系.
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知识点1　列一元二次方程解决单双循环问题
【例 1】某中学组织了一次联欢会，参会的每两个人都握了一次手，所有人共握了10次手，有多少人参加聚会？
解：设共有x 人参加聚会，则每个人要握手(x－1)次，
共握手x(x－1)次，但每人都重复了一次，
故根据题意得
解得x1=5, x2=-4（舍去）. ∴x=5.
答：共有5个人参加聚会．
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知识点1　列一元二次方程解决单双循环问题
【例 2】元旦将至，九年级一班全体学生互赠贺卡，共赠贺卡1980张，问九年级一班共有多少名学生？设九年级一班共有x名学生，那么所列方程为（ ）
A. x2=1980 B. x(x+1)=1980
C.x(x-1)=1980 D. x(x-1)=1980
D
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知识点1　列一元二次方程解决单双循环问题
【例 3】某中学组织初三学生足球比赛，以班为单位，采用主客场赛制(即每两个班之间都进行两场比赛)，计划安排72场比赛，则共有多少个班级参赛？
解：设共有x个班级参赛，则每个班级要进行(x－1)场比赛，根据题意得x (x－1)=72，
解得x1=9, x2=-8（舍去）. ∴x=9.
答：共有9个班级参赛．
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知识点2　列一元二次方程解决数字问题
1. 任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.
因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数.
如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：100c+10b+a.
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知识点2　列一元二次方程解决数字问题
2. 几个连续整数中，相邻两个整数相差1.
如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1.
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知识点2　列一元二次方程解决数字问题
3. 几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2.
如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2.
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知识点2　列一元二次方程解决数字问题
【例 4】已知两个数的和等于12，积等于32，求这两个数是多少．
解：设其中一个数为x，那么另一个数可表示为(12-x)，依题意得x(12-x)＝32，
整理得x2-12x+32＝0，解得x1＝4，x2＝8，
当x＝4时12-x＝8；当x＝8时12-x＝4．
所以这两个数是4和8．
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知识点2　列一元二次方程解决数字问题
【例 5】两个连续负奇数的积是143，求这两个数．
解：设这两个连续负奇数为x，x+2，
根据题意x（x+2）=143，
解得x1=11（不合题意舍去），x2=﹣13，
则当x=﹣13时，x+2=﹣11．
答：这两个数是﹣13，﹣11．
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知识点3　列一元二次方程解决销售利润问题
销售利润问题中常用的等量关系：
（1）利润=售价-进价(成本)
（2）总利润=每件的利润×总件数
【例 6】假设某种糖的成本为每千克8元，售价为12元时，可卖100千克.若售价涨了1元，则少卖了5千克，要想售卖这种糖果获取利润640元，且售价不高于成本价的2.5倍，则每千克糖应涨价多少元？
解：设售价涨了x元，依题意得(4+x)(100-5x)=640，解得x1=4,x2=12.
∵售价不高于成本价的2.5倍，即x+12≤2.5×8.
∴x≤8.∴x=4.即每千克糖应涨价4元.
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知识点3　列一元二次方程解决销售利润问题
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知识点3　列一元二次方程解决销售利润问题
【例 7】菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的价格对外批发销售．
由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销，李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的价格对外批发销售．
(1)求平均每次下调的百分率；
(2)小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一，打九折销售；方案二，不打折，每吨优惠现金200元．试问小华选择哪种方案更优惠？请说明理由．
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知识点3　列一元二次方程解决销售利润问题
【例 8】菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的价格对外批发销售．
由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销，李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的价格对外批发销售．
(1)求平均每次下调的百分率；
解：(1)设平均每次下调的百分率为x，由题意，得5(1－x)2＝3.2，解得x1＝0.2＝20%，x2＝1.8(舍去)．
∴平均每次下调的百分率为20%；
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知识点3　列一元二次方程解决销售利润问题
(2)小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一，打九折销售；方案二，不打折，每吨优惠现金200元．试问小华选择哪种方案更优惠？请说明理由．
(2)小华选择方案一购买更优惠，理由如下：
方案一所需费用为：3.2×0.9×5000＝14400(元)；
方案二所需费用为：3.2×5000－200×5＝15000(元)，
∵14400＜15000，∴小华选择方案一购买更优惠．
随堂练习
1. 某工厂使用旧设备生产，每月生产收入是90万元，每月另需支付设备维护费5万元；从今年1月份起使用新设备，生产收入提高且无设备维护费，使用当月生产收入达100万元，1至3月份生产收入以相同的百分率逐月增长，累计达364万元，3月份后，每月生产收入稳定在3月份的水平．
(1)求使用新设备后，2月、3月生产收入的月增长率；
(2)购进新设备需一次性支付640万元，使用新设备几个月后，该厂所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润？(累计利润是指累计生产收入减去旧设备维护费或新设备购进费)
随堂练习
(1)求使用新设备后，2月、3月生产收入的月增长率；
解：(1)设2月，3月生产收入的月增长率为x，
根据题意有100＋100(1＋x)＋100(1＋x)2＝364，即25x2＋75x－16＝0，解得，x1＝－3.2(舍)，x2＝0.2，
所以2月，3月生产收入的月增长率为20%.
随堂练习
2. 某公司去年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率．
解：设这个增长率为x.
根据题意，得200+200(1+x) +200(1+x)2=950.
整理方程，得4x2+12x-7=0，
解得x1=-3.5（舍去），x2=0.5=50%．
答：这个增长率为50%.
3. 一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买了一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价为120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元，但每棵树苗最低售价不得少于100元．该校最终向园林公司支付树苗款8800元．请问该校共购买了多少棵树苗？
解：∵60棵树苗售价为120元×60＝7200元<8800元，
∴该校购买树苗超过60棵．设该校共购买了x棵树苗，
随堂练习
3. 一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买了一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价为120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元，但每棵树苗最低售价不得少于100元．该校最终向园林公司支付树苗款8800元．请问该校共购买了多少棵树苗？
由题意得x[120－0.5(x－60)]＝8800，解得x1＝220，x2＝80.
当x1＝220时，120－0.5(220－60)＝40＜100，∴x1＝220不合题意，舍去；
随堂练习
3. 一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买了一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价为120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元，但每棵树苗最低售价不得少于100元．该校最终向园林公司支付树苗款8800元．请问该校共购买了多少棵树苗？
当x2＝80时，120－0.5(80－60)＝110＞100，∴x＝80.
答：该校共购买了80棵树苗．
随堂练习
随堂练习
4. 某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件.
（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
（2）在（1）的条件下，商场为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，每件衬衫应降价多少元？
随堂练习
4. 某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件.
（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
解：（1）设每件衬衫降价x元，
根据题意得（40-x)(20+2x)=1200，
整理得x2-30x+200=0.
解方程得x1=10，x2=20.
答：每件衬衫应降价10元或20元.
随堂练习
4. 某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件.
（2）在（1）的条件下，商场为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，每件衬衫应降价多少元？
解：由（1）得降价10元或20元都可满足每天盈利1200元.
因为要尽快减少库存，所以选择降价20元.
答：每件衬衫应降价20元.
随堂练习
5. 有一个两位数，它的十位数字与个位数字之和是8，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘原来的两位数就得1855，则原来的两位数是多少．
解：设原两位数的十位数字为x，则个位数字是(8-x)，
由题意得[10x+(8-x)]·[10(8-x)+x]＝1855．
化简得x2-8x+15＝0，解得x1＝3，x2＝5．
经检验，x1＝3，x2＝5都符合题意．
答：原两位数是35或53．
随堂练习
6. 一个两位数，十位数字与个位数字之和是5，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新两位数与原来的两位数的乘积为736，求原来的两位数.
解：设原来的两位数十位上的数字为x，则个位数的数字为(5－x)，依题意得(10x+5－x)[10(5－x)+x]=736，
解得x1=2, x2=3.
当x＝2时，5－x=3；当x＝3时，5－x=2.
答：原来的两位数是23或32.
课后小结
列一元二次方程解决实际问题
销售利润问题
解决实际问题的一般步骤
数字问题
单双循环问题
单循环问题
双循环问题

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