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浙教版新版八上第一单元 新知超前
1.1认识三角形（原卷版）
1. 三角形的定义
由不在同一直线上的三条线段________相接所组成的图形叫作三角形，用符号"____"表示。如图，三角形ABC记作"______"，读作"三角形ABC"。三角形的边：____、____、____；三角形的内角：∠A、∠B、∠C。
2. 三角形的三边关系
三角形任何两边的和______第三边，任何两边的差______第三边。
若三角形三边长为a，b，c，则：a＋b____c，b＋c____a，a＋c____b；|a b|____c，|b c|____a，|a c|____b。
3. 三角形内角和定理
三角形三个内角的和等于______。即：在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝______。
4. 三角形的分类（按角）
锐角三角形：三个角都是______。
直角三角形：有一个角是______。
钝角三角形：有一个角是______。
5. 三角形的主要线段
角平分线：三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的______。
中线：连接三角形一个顶点与它对边______的线段。三角形的三条中线交于一点。
高线：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作______，顶点和垂足之间的线段。
考点1、三角形三边关系的应用
【解题思路】利用三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
例1．已知三角形两边的长分别为2、4，第三边的长为整数，则第三边的长为（ ）
A．1 B．2 C．5 D．6
变式1．下列长度的三条线段能构成三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
变式2．若三角形的两边长分别为和，则第三边的长不可能是（ ）
A． B． C． D．
考点2、三角形内角和定理的应用
【解题思路】三角形三个内角和等于180°，结合已知条件建立方程求解。
例2．在中，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
变式1．一个三角形的三个内角度数之比是，那么这个三角形是______三角形．
变式2．如图，三角板的直角顶点放在三角板的斜边上，若两个三角板的斜边互相平行，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
考点3、三角形三种重要线段
【解题思路】三角形的角平分线、中线、高线都是线段。中线平分面积，高线与底边垂直。
例3．如图，在中，边上的高为（ ）
A．线段 B．线段 C．线段 D．线段
变式1．如图，是的中线，点E为的中点，若，则为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
变式2．如图，是的中线，是的中点．若，则________．
一、选择题
1．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列长度的3条线段，能首尾依次相接组成三角形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24八年级上·福建厦门·期中）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．1，3，4 B．3，4，5 C．2，4，8 D．2，2，6
3．（23-24八年级上·重庆永川·期中）下列长度的三根小木棒，不能构成三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
4．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）已知三角形两边的长分别为，第三边的长为整数，则第三边的长为_____．
5．（24-25八年级上·江西宜春·期末）已知一个三角形的两边长分别是2和7，若第三边的长a为奇数，则________．
6．（22-23七年级下·山东青岛·期末）如图，在中，是边上的中线，．若，则________．

三、解答题
7．（23-24八年级上·山东德州·阶段检测） 如图中是高，是角平分线，它们相交于点O，，求．
8．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，，是的两条高，已知，，．
(1)求的面积；
(2)求的长．浙教版新版八上第一单元 新知超前
1.1认识三角形（解析版）
1. 三角形的定义
由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形，用符号"△"表示。如图，三角形ABC记作"△ABC"，读作"三角形ABC"。三角形的边：AB、BC、CA；三角形的内角：∠A、∠B、∠C。
2. 三角形的三边关系
三角形任何两边的和大于第三边，任何两边的差小于第三边。
若三角形三边长为a，b，c，则：a＋b＞c，b＋c＞a，a＋c＞b；|a b|＜c，|b c|＜a，|a c|＜b。
3. 三角形内角和定理
三角形三个内角的和等于180°。即：在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°。
4. 三角形的分类（按角）
锐角三角形：三个角都是锐角。
直角三角形：有一个角是直角。
钝角三角形：有一个角是钝角。
5. 三角形的主要线段
角平分线：三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段。
中线：连接三角形一个顶点与它对边中点的线段。三角形的三条中线交于一点。
高线：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段。
考点1、三角形三边关系的应用
【解题思路】利用三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
例1．已知三角形两边的长分别为2、4，第三边的长为整数，则第三边的长为（ ）
A．1 B．2 C．5 D．6
【答案】C
【分析】本题考查了三角形三条边的关系，熟练掌握三角形三条边的关系是解答本题的关键．根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围；再根据第三边是整数求解即可．
【详解】解：设第三边为x，
根据三角形的三边关系，得：，
即，
∵x为整数，
∴x的值为3或4或5．
故选：C．
变式1．下列长度的三条线段能构成三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查三角形的三边关系，根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
【详解】解：A．，不能构成三角形，故该选项不符合题意；
B．，不能构成三角形，故该选项不符合题意；
C．，不能构成三角形，故该选项不符合题意；
D．，能构成三角形，故该选项符合题意；
故选：D．
变式2．若三角形的两边长分别为和，则第三边的长不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先设第三边的长为，根据三角形的三边关系定理可得，然后再根据的取值范围确定答案．此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
【详解】解：设第三边的长为，由题意得：
，
，
B、C、D三个选项的值在这个范围内，
故选：A．
考点2、三角形内角和定理的应用
【解题思路】三角形三个内角和等于180°，结合已知条件建立方程求解。
例2．（25-26八年级上·福建南平·期中）在中，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形内角和定理．利用三角形内角和定理，结合已知条件建立方程求解．
【详解】∵在中，，
又，，
，
即，
，
故选：C．
变式1．一个三角形的三个内角度数之比是，那么这个三角形是______三角形．
【答案】直角
【分析】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是．设三角形三个内角的度数分别为，，x，则根据三角形内角和定理得到，再解方程求出x，然后计算即可．
【详解】解：∵三角形三个内角的度数之比是，
∴设三角形三个内角的度数分别为，，x，
∴，
解得，
∴，，
即这个三角形是直角三角形．
故答案为：直角．
变式2．如图，三角板的直角顶点放在三角板的斜边上，若两个三角板的斜边互相平行，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】考查平行线的性质，掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键．
【详解】解：三角板的斜边互相平行，
，
，
故选：C
考点3、三角形三种重要线段
【解题思路】三角形的角平分线、中线、高线都是线段。中线平分面积，高线与底边垂直。
例3．如图，在中，边上的高为（ ）
A．线段 B．线段 C．线段 D．线段
【答案】A
【分析】本题主要考查三角形的高，根据三角形的高的定义，可直接进行排除选项，解题的关键熟练掌握三角形的高的定义：过三角形的顶点作对边的垂线，顶点和垂足之间的部分叫做高．
【详解】由图可知：边上的高是线段；
故选：A．
变式1．如图，是的中线，点E为的中点，若，则为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【详解】解：∵点E为的中点，，
∴，
∵是的中线，
∴.
变式2．如图，是的中线，是的中点．若，则________．
【答案】
【分析】此题考查三角形中线的性质和三角形面积，先求出，再求出，，则，根据是的中线即可得到答案．
【详解】解：∵F是的中点．，
∴，
∵是的中线，
∴是的中点，
∴
∵
∴
∴，
∴，
∵是的中线，
∴
故答案为：
一、选择题
1．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列长度的3条线段，能首尾依次相接组成三角形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，分别判断出即可．
【详解】解：A、∵，
∴这3条线段不能组成三角形．
B、∵，
∴这3条线段能组成三角形．
C、∵，
∴这3条线段不能组成三角形．
D、∵，
∴这3条线段不能组成三角形．
故选：B
2．（23-24八年级上·福建厦门·期中）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．1，3，4 B．3，4，5 C．2，4，8 D．2，2，6
【答案】B
【分析】本题主要考查了三角形三边关系的运用，解题关键是掌握两条较短的线段长度之和大于第三条线段长度，三角形两边之差小于第三边．判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段长度即可．
【详解】A．， 所以1，3，4不能组成三角形，故A不符合题意；
B．，所以3，4，5能组成三角形，故B符合题意；
C．，所以2，4，8不能组成三角形，故C不符合题意；
D．，所以2，2，6不能组成三角形，故D不符合题意；
故选：B．
3．（23-24八年级上·重庆永川·期中）下列长度的三根小木棒，不能构成三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了三角形三边关系．
根据三角形三边关系定理分别判断即可．
【详解】解：A：较小两边之和：，不大于第三边，故不能构成三角形；
B：较小两边之和：，大于第三边，故能构成三角形；
C：较小两边之和：，大于第三边，故能构成三角形；
D：较小两边之和：，大于第三边，故能构成三角形；
故选：A．
二、填空题
4．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）已知三角形两边的长分别为，第三边的长为整数，则第三边的长为_____．
【答案】
【分析】本题考查三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求出第三边取值范围，结合第三边长为整数解题．
【详解】解：三角形两边的长分别为，令第三边长为，
，
，
第三边的长为整数，
，
即第三边长为．
5．（24-25八年级上·江西宜春·期末）已知一个三角形的两边长分别是2和7，若第三边的长a为奇数，则________．
【答案】7
【分析】本题主要考查了三角形的三边关系．设第三边长为x，根据三角形的三边关系，可得，即可求解．
【详解】解：设第三边长为x，根据题意得：
，
即，
∵第三边的长为奇数，
∴x的值为7，
即第三边的长是7．
故答案为：7．
6．（22-23七年级下·山东青岛·期末）如图，在中，是边上的中线，．若，则________．

【答案】3
【分析】根据是边上的中线，，得出，根据三角形面积公式求出即可．
【详解】解：∵是边上的中线，，
∴，
∵，，
∴．
故答案为：3．
三、解答题
7．（23-24八年级上·山东德州·阶段检测） 如图中是高，是角平分线，它们相交于点O，，求．
【答案】，
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形高的定义，根据三角形高的定义得到，则由三角形内角和定理可得；根据三角形内角和定理求出，再由角平分线的定义得到，则．
【详解】解：∵在中是高，
∴，
∵，
∴；
∵，
∴，
∵是角平分线，
∴，
∴．
8．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，，是的两条高，已知，，．
(1)求的面积；
(2)求的长．
【答案】(1)10
(2)
【分析】本题考查了三角形的面积，熟记三角形的面积计算公式是解题的关键．
（1）根据三角形面积公式计算即可；
（2）结合（1）中的面积利用三角形面积公式即可求出的长．
【详解】（1）解：是的高，，
的面积为：；
（2）是的高，，的面积为，
，
即，
．

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