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解答题中二次函数高频考点压轴练 2026学年初中数学中考复习备考
1．如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点（3，12）和（﹣2，﹣3），与两坐标轴的交点分别为A，B，C，它的对称轴为直线l．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）P是该抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点．要使以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等，求满足条件的点P，点E的坐标．
2．如图，在平面直角坐标系中，正方形与抛物线有交点．
(1)若其中一个交点为．
①求a的值；
②求抛物线与x轴的交点坐标；
(2)若点，抛物线的图象与正方形的边有两个交点，求a的取值范围．
3．在平面直角坐标系中，抛物线经过点．
(1)用含的式子表示；
(2)若，点，（）在该抛物线上，求的长；
(3)记抛物线与轴的交点为，点在抛物线上，分别过点作轴、直线的垂线，交直线于点，，是上一点，且，过点作交于点．已知当时，的长随的增大而增大，求的取值范围．
4．如图，在平面直角坐标系中，开口向下的抛物线与 轴交于两点，是抛物线的顶点． 为坐标原点．两点的横坐标分别是方程的两根，且．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)作交抛物线于点 ，求点 的坐标及直线的函数解析式；
(3)在（2）的条件下，在 轴上方的抛物线上是否存在一点 ，使的面积最大？如果存在，请求出点的坐标和的最大面积；如果不存在，请说明理由．
5．在平面直角坐标系中，抛物线与 轴交于 、两点（点在点左侧），与 轴交于点．直线经过、两点．
(1)求点、的坐标，并求直线的函数解析式（用含的代数式表示）；
(2)当时，若自变量 满足时，函数 的最大值与最小值之差为5，求的值；
(3)设线段的中点为，点在抛物线上，且 ，若满足条件的点 恰好有2个，直接写出的取值范围．
6．已知抛物线的对称轴是直线，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点．
(1)直接写出抛物线的解析式；
(2)如图1，D为第一象限抛物线上一点，连接交于点T，若，求点D的横坐标；
(3)平移抛物线使它的顶点在原点，如图2，过点P的两直线，（均不与y轴平行）分别与抛物线有唯一公共点E，F，交y轴于点G，连接交抛物线于另一点Q，若轴，试探究线段与的数量关系．
7．定义：若的三个顶点都在二次函数的图象上，且存在x轴上的一点满足：，则称为“平稳三角形”．
如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点，A是二次函数图象上的一点，且点A在第三象限．
(1)求：二次函数的表达式；
(2)若为“平稳三角形”，存在x轴上的一点满足：，求证：为的重心；
(3)若为“平稳三角形”，中线交x轴于点G，求：的面积；
(4)在（3）的条件下，若平面直角坐标系中有一点使得四边形为平行四边形，请直接写出点的坐标．
8．在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点和点．
(1)求c的值，并用含a的式子表示b
(2)在（1）的条件下，取．将该抛物线在直线下方的部分沿直线翻折，翻折后的图象与原抛物线在直线上方的部分共同组成图形G．若点（其中）和点都在图形G上，且存在点P、Q使得，求m的取值范围
(3)过点作x轴的垂线，交（1）中抛物线于点N．过点N作平行于x轴的直线，交一条过原点的直线L于点H．已知直线L与该抛物线（除原点外）的另一个交点的横坐标为4．若点M从点O运动到点的过程中，线段的长随的长增大而增大，求a的取值范围
9．如图，已知抛物线与x轴的两个交点分别为，，与y轴交于点C，直线过点B和点C．点P是第一象限内抛物线上的点，设点P的横坐标为m，过点P作于点Q，连接．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求的最大值；
(3)当时，y的取值范围是，且，求m的值．
10．如图，抛物线与轴交于两点，交轴于点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)拋物线上是否存在一点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
11．如图①，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为P，抛物线的对称轴与抛物线交于点P，与直线AB交于点M，且．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点K是x轴正半轴上一点，点A，P关于点K的对称点分别为，，连接，，若，求点K的坐标；
(3)如图②，矩形的边在x轴负半轴上，边在第二象限，，．将矩形沿x轴正方向平移t（）个单位，直线分别交抛物线于G，H．问：是否存在实数t，使得以点D，F，G，H为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
12．在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线的图象与轴交于点，抛物线的顶点为点，点在直线上运动，点的横坐标为，轴上有一点，连接，将绕点逆时针旋转并扩大到原来的2倍得到线段，连接．
(1)求点和点坐标；
(2)当平行轴时，求的值；
(3)设的中点为，当抛物线与线段交点为时，连接，若时，直接写出的值；
(4)当抛物线在内的图象随的增大而增大时，写出的取值范围．
13．某校数学学习小组的同学们对过山车的轨道设计很好奇，他们在网上找到一张过山车的设计图，截取其中的一部分，利用一次函数和二次函数相关知识进行探究．
首先他们在平面直角坐标系中画出这个图形，如图①，将其整体看成图象，是二次函数和一次函数的图象组合．分析得到：若时，；若时，．随后他们测量了图象上一些点的坐标，数据如下：
(1)直接写出，，的值．
(2)如图②，他们在整个图象上设计了一个动点，设点的横坐标为，过点作一条平行于轴的直线，在直线上取点，点的横坐标为．
①当时，求出点落在图象上时的值．
②如图③，若过、两点作轴的垂线，垂足分别为点、点，得到矩形，当矩形为正方形时，求的值．
③在直线上另取点，点的横坐标为（点与点不重合），当线段的长度随的增大而增大时，分别直接写出线段与图象的交点个数为个和2个时的取值范围．
参考答案
1．（1）y＝x2+2x﹣3；（2）点P的坐标为（2，5）或（﹣4，5）；点E的坐标为（﹣1，2）或（﹣1，8）．
（1）根据待定系数法，将点（3，12）和（﹣2，﹣3）代入抛物线表达式，即可求解；
（2）在△AOC中，OA＝OC＝3，由题意：以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等可知PD＝DE＝3，再分点P在抛物线对称轴右侧、点P在抛物线对称轴的左侧两种情况，求解即可．
解：（1）将点（3，12）和（﹣2，﹣3）代入抛物线表达式得
，解得，
故抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3；
（2）抛物线的对称轴为x＝﹣1，令y＝0，则x＝﹣3或1，令x＝0，则y＝﹣3，
故点A、B的坐标分别为（﹣3，0）、（1，0）；点C（0，﹣3），
故OA＝OC＝3，
∵∠PDE＝∠AOC＝90°，
∴当PD＝DE＝3时，以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等，
设点P（m，n），当点P在抛物线对称轴右侧时，m﹣（﹣1）＝3，解得：m＝2，
故n＝22+2×2﹣3＝5，故点P（2，5），
故点E（﹣1，2）或（﹣1，8）；
当点P在抛物线对称轴的左侧时，由抛物线的对称性可得，点P（﹣4，5），此时点E坐标同上，
综上，点P的坐标为（2，5）或（﹣4，5）；点E的坐标为（﹣1，2）或（﹣1，8）．
本题主要考查了二次函数与几何运用，涉及到三角形全等，掌握数形结合思想是解答关键，其中（2）需要分类求解，避免遗漏．
2．(1)①；②抛物线与轴的交点坐标为
(2)
本题主要考查了二次函数的图象与性质，正方形的性质等知识，掌握以上性质是解题的关键．
（1）①运用待定系数法求解即可；
②由①得，令，即，解方程即可；
（2）根据正方形的性质求出点A的坐标为，再把和代入，求出的值即可得出结论．
（1）解：①把点代入中，
得
解得
②由题意得抛物线的表达式为．
令，即，
解得，．
抛物线与轴的交点坐标为
（2）解：点，
，
点的坐标为，
拋物线开口向下，
将点代入得，解得．
将点代入得，解得．
抛物线的图象与正方形的边有两个交点，的取值范围是
3．(1)
(2)
(3)
（1）将点代入抛物线解析式，通过移项化简直接用含的式子表示出；
（2）代入得到具体抛物线解析式，令解一元二次方程，用较大根减去较小根即可得到的长度；
（3）先求出直线的解析式，分类讨论点与点的上下位置关系，利用角和相似三角形将转化为关于的二次函数，再根据二次函数的增减性结合给定区间列不等式求解的取值范围即可．
（1）解：∵抛物线经过点，
∴，
∴；
（2）解：由（1）可得抛物线为
将代入中，
得，
∵点，在该抛物线上，
∴将代入中，
得，
解得，，
∴；
（3）解：将代入中，得，
∴点的坐标为，
设直线的解析式为，
将代入，
得，
解得，
∴直线的解析式为，
如图①，过点作轴于点，则，，，
∴，
∴，即是等腰直角三角形，
∴，
当时，如解图①，
∵轴，
∴轴，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∴在中，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（1）可得抛物线，
∵点的横坐标为，且在抛物线上，
∴，
∵轴，
∴点的横坐标为，
∵点在直线上，
∴，
∵点在点上方，
∴，
，
∴，
∵，
∴，
∴抛物线开口向下，当时，的长随的增大而增大，
又∵当时，的长随的增大而增大，
∴，
解得，
∴，
当时，如解图②，
同理可得，
∵点在点上方，
∴
，
∴，
∵，
∴该抛物线开口向上，对称轴为，则当时，随的增大而增大，
∵，即时，随的增大而增大，
∴不能满足全部在的范围内，故此情况不存在，
综上所述，的取值范围为．
4．(1)；
(2)，直线的解析式为．
(3)存在，，的面积最大面积为
（1）解出方程的两根即可求出、两点的坐标，再利用求出点坐标，进而利用顶点式、两根式或一般式求出二次函数的解析式．
（2）由（1）推得是等腰直角三角形，据此设出点坐标，将其代入抛物线即可求出的值，进而求出、的坐标，从而求出直线解析式；
（3）过点作轴交于点，设，则，，利用面积公式构造二次函数即可得解．
（1）解：解方程得，．
，．过作轴于，
是顶点，
点是的中点，
．
在中，
，
，
，
设抛物线的函数解析式为，
把，，分别代入，得
解得：
抛物线的解析式为；
（2）解：，由（）得：
，作轴于，

∴是等腰直角三角形．
设（显然，，
则，即，
点在抛物线上，
，
，
解之得：，（舍去），
，
设直线的方程为，代入、的坐标，得
，
解之得：，
直线的解析式为．
（3）如下图，过点作轴交于点，设，则，
∴，
∵，，
∴，
∴存在点，使得的面积最大，当时，的面积最大，最大面积为，此时．
本题考查求抛物线的解析式，求直线的解析式，抛物线图象上点的坐标特征，解直角三角形，熟练掌握用待定系数法求函数解析式是解题的关键．
5．(1)，当或时，，直线的解析式为 ；当时， ，直线的解析式为
(2)
(3)或或或
令，因式分解得，再分情况得到点及直线的解析式；
分、、、四种情况，结合抛物线的性质求即可；
分、、且、，结合函数图象进行判断求解即可.
（1）解：令，，则，
令，则，即，
解得，
所以当或时，，直线的解析式为 ；
当时， ，直线的解析式为；
（2）解：，对称轴为，
当时，，则时，随 的增大而减小，
则时，取得最大值，最大值为，
时，取得最小值，最小值为，
，解得（舍去）；
当时，，则时，随 的增大而增大，
则时，取得最小值，最小值为，
时，取得最大值，最大值为，
，解得（舍去）；
当，，则离对称轴更远，
则时，取得最大值，最大值为，
时，取得最小值，最小值为，
，即，
解得（舍去），（舍去）；
当，，则离对称轴更远，
则时，取得最大值，最大值为，
时，取得最小值，最小值为，
，即，
解得或（舍去）；
综上；
（3）解：由（1）知时，，，
则为等腰直角三角形，，
又，
所以或，
即直线的解析式为，与抛物线有两个交点，此时有一个点符合题意，
直线的解析式为，与抛物线只有一个交点，此时有一个点符合题意，
即时，符合题意；
时，，则，如图点再开口的内部，
当时，这样的直线有两条，每条与抛物线有两个交点，其中一个符合题意，
则恰有2个点使得，
所以时，符合题意；
且时，同理恰有2个点使得，符合题意；
时，，，
与夹角为的直线有两条，或，
时，此时，不符合题意，
时，与抛物线有两个交点，其中一个能使，
故此时，满足题意的点只有1个，不符合题意；
综上或或或．
6．(1)
(2)点D的横坐标为
(3)
（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）在上取点H，连接，使，过点D作轴于G，可证得∽，利用相似三角形性质建立方程求解即可；
（3）设E、F的横坐标分别为m，n，分别得出直线、的解析式，可得点G的坐标，联立求得点P的横坐标，进而得出点Q的坐标，再运用待定系数法可得出直线的解析式，求得点G的坐标，建立方程求解可得，过点P、E分别作y轴的垂线，垂足分别为M、N，利用相似三角形性质即可求得答案．
（1）解：抛物线的对称轴是直线，
，
解得：，
抛物线经过点，
，
抛物线的解析式为；
（2）解：当时，，
解得：，，
，，
，，
，
在上取点H，连接，使，过点D作轴于G，如图1，
则，
设，则，
在中，，
，
解得：，
，
，
，
，
，即，
，
，
设，则，，
，
解得：舍去或，
点D的横坐标为；
（3）解：平移抛物线使它的顶点在原点，
新抛物线的解析式为，
设E、F的横坐标分别为m，n，直线的解析式为，
联立得：，
整理得：，
直线与抛物线有唯一公共点E，
，，
，，
直线的解析式为，
当时，，
，
同理可得：直线的解析式为，
联立得：，
解得：，
即点P的横坐标为，
轴，
点Q的横坐标为，
，
又，
直线的解析式为，
当时，，
，
，
整理得：，
，
，
，
，
点P的横坐标为，
如图2，过点P、E分别作y轴的垂线，垂足分别为M、N，
则，，
，
，
，
．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，一元二次方程根与系数关系的应用，平移变换的性质，相似三角形的判定和性质等，添加辅助线构造相似三角形是解题关键．
7．(1)
(2)证明：设边上的中点分别为，连接，如图，
∵点是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴三点共线，
∵点是的中点，
∴是的中线，
∴在的中线上，
同理可得，在的中线上，在的中线上，
∴是三条中线的交点，
∴为的重心；
(3)
(4)
（1）由待定系数法即可求解；
（2）设边上的中点分别为，连接，根据中点的定义得到，利用向量的加减法得出，结合可得，推出三点共线，则在的中线上，同理可得：在的中线上，在的中线上，再利用重心的定义即可证明；
（3）由（2）中的结论得，G是的重心，设交x轴于点，利用中点坐标公式求出和，进而求出直线的表达式为，得到，最后利用三角形的面积公式即可求解；
（4）设点的坐标为，根据平行四边形对角线互相平分，列出关于的方程组，即可求解．
（1）解：将点，代入，
得，
解得，
∴二次函数的表达式为；
（2）略
（3）解：∵为“平稳三角形”，中线交x轴于点G，
∴由（2）中的结论得，G是的重心，
设交x轴于点，
∴是的中线，
∴点是的中点，
设点A的坐标为，其中，
又，
∴，
解得，（舍去），
∴，
∵是的中线，
∴为的中点，
∵，，
∴，即，
设直线的表达式为，
将与代入，得，
解得，
∴直线的表达式为，
令，则，解得，
∴，
∴；
（4）解：设点的坐标为，
∵四边形为平行四边形，
∴对角线与互相平分，
由（3）得，，，，
∴，
解得，
∴点的坐标为．
8．(1)，
(2)
(3)且
（1）将A、B两点代入二次函数解析式，整理因式分解后求得和的表达式；
（2）代入得到原抛物线，求出翻折后图形的分段解析式，分情况讨论P、Q的位置，通过比较和的大小得到m的取值范围；
（3）先求出直线的解析式，再表示出线段的长度，利用二次函数的性质得到的取值范围．
（1）解：将代入中，
得
，
将代入中，
得
，
得，
解得或，
当时，此时无法求出b和c，故舍去；
将代入①得，
解得；
（2）解：由（1）得，抛物线解析式为，
当时，则抛物线解析式为，
此时顶点为，
令，
解得，
∴与的交点为，
沿翻折后，新抛物线的顶点为，
设新抛物线解析式为，
将代入得，
解得，
∴新抛物线解析式为，
∴图形的解析式为：当时，；
当或时，，
如下图，
当，即，点P，Q都在原抛物线左段，
由图可得，此时恒成立，符合题意；
当，即，在原抛物线左段，在翻折段，
∴，，
∴．，
∴该二次式开口向上，
∵，
∴恒成立，即恒条件；
当，即且，此时在原抛物线左段，在原抛物线右段，
∴，，
令，则
解得，
∴此时时满足条件；
当，此时在翻折段，在原抛物线右段，
∴，，
∴，
∴该二次式开口向下，
∵，
∴恒成立，即，不符合题意，舍去；
综上所述，存在点P，Q使时，m的取值范围为；
（3）解：令，则，
∵直线过原点，
∴设其解析式为，
由题意得与抛物线的交点为，
∴
解得，
∴，
∵过点作x轴的垂线，交抛物线于点N，且，
∴，
∵过点N作平行于x轴的直线，交直线L于点H，
∴的纵坐标与相同，
代入得，
解得，
∴，
∵点M从点O运动到点的过程中，线段的长随的长增大而增大，
当时，，即，
此时随t增大而减小，
∴，
∴该函数开口向上，对称轴为，
∴此时t在对称轴左侧，随增大而减小，
∴随增大而增大，满足条件；
当时，，即，
此时随t增大而增大，
∴，
∴该函数开口向下，对称轴为，
要使随增大而增大，需
解得，
∴；
综上所述，且．
9．(1)
(2)
(3)
（1）把代入即可求得，把代入即可求得；
（2）过点作交于，交于点，先求出的最大值，再证明，可得，即可求解；
（3）先求得抛物线的顶点坐标，可得抛物线的对称轴和最大值，根据二次函数的图象与性质对进行分类讨论，即可求解．
（1）解：把，代入得，
，解得，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：如图，过点P作于点D，交BC于点H，
将代入得，，解得，
∴直线BC的解析式为．
∵点P的横坐标为m，
，，
．
∴当时，PH有最大值为．
，，．
，，．
，，
，，
∵抛物线与y轴交于点C，
当时，，，，
，，
，
，即，
∴当PH有最大值时，PQ取到最大值，
的最大值为．
（3）解：由得，
∴抛物线的顶点为，即当时，y有最大值4，
∵抛物线的对称轴为，∴当或时，y值相等，
即，
①当时，则在时，时，取最大值；时，取最小值，
即，，
，
，
解得（舍去），；
②当时，则在时，
时，取最大值，时，取最小值，
即，，
，不符合题意；
③当时，则在时，时，取最大值，时，取最小值，
即，，
，
，解得，
，
都不符合，舍去．
综上所述，．
10．(1)
(2)存在，点的坐标为或
（1）采用待定系数法，将点和点坐标直接代入抛物线，即可求得抛物线的解析式．
（2）过线段的中点，且与平行的直线上的点与点，点连线组成的三角形的面积都等于，则此直线与抛物线的交点即为所求；求出此直线的解析式，与抛物线解析式联立，即可求得答案．
（1）解：因为抛物线经过点 和点两点，所以
，
解得
，
所以抛物线解析式为：．
（2）解：如图，设线段的中点为，可知点的坐标为，过点作与平行的直线，假设与抛物线交于点， （在的左边），（在图中未能显示）．
设直线的函数解析式为．
因为直线经过点和，所以
，
解得，
所以，直线的函数解析式为：．
又，
可设直线的函数解析式为，
因为直线经过点 ，所以
．
解得．
所以，直线的函数解析式为．
根据题意可知，
．
又，
所以，直线上任意一点与点，点连线组成的的面积都满足．
所以，直线与抛物线的交点，即为所求，可得
，
化简，得
，
解得，
所以，点的坐标为，点的坐标为．
故答案为：存在，点的坐标为或．
本题主要考查二次函数的图象和性质、一次函数的图象和性质、一元二次方程、一元一次方程等，灵活结合二次函数和一次函数图象特点是解题的关键．
11．(1)
(2)
(3)存在，t的值为或或
（1）利用因式分解得出，然后根据顶点式得出，利用线段的数量关系列出方程求解；
（2）根据题意画出图形，证明得出相等的线段，证明得出，然后求出相关线段的长度，即可确定点的坐标；
（3）分情况进行讨论，画出图形，得出点G的横坐标为，点H的横坐标为，根据函数解析式表示出相关线段的长度，根据平行四边形的性质列出方程求解．
（1）解：由，
令，则，．
∵A在B的左侧，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，．
∴，
∴．
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵，
∴，．
作轴于Q，连接，
∵点A，P关于点K的对称点分别为，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，，
∴．
∵，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：存在．
由题意，点G的横坐标为，点H的横坐标为，如图②，若为平行四边形的一条边，则．
∴，
解得；
如图③，④，
若为平行四边形的一条对角线，则，
∴或，，
解得．
综上所述，t的值为或或．
12．(1)
，
(2)
(3)
或
(4)
(1)当时，代入抛物线的表达式可得点A的坐标，将抛物线的表达式转换为顶点式可得点B的坐标；
(2)过分别作轴，轴，垂足分别为，证得，得，再由点在直线上运动，点的横坐标为，，得，最后，由平行轴，得可得m的值；
(3)首先，由的中点为，得，再由(2)知，，，得，，进而得，然后，由，证得，得，点N是的中点，得，最后，由在抛物线上，得，解方程即可；
(4)分三种情况：当点P在抛物线的对称轴的左侧且为直线与抛物线的交点时，抛物线在内的图象随的增大而增大，得；当时，不符合题意；当点P与坐标原点O重合时，此时，点C与点B重合，抛物线与交于一点B，当时，符合题意；当时，不符合题意；最后，可得满足条件的m的取值范围．
（1）解：∵抛物线，
∴当时，，
∴，
∵，
∴；
（2）解：如图1，过分别作轴，轴，垂足分别为，
∴，
∵将绕点逆时针旋转并扩大到原来的2倍得到线段，
∴，，
∴，即，
∴，
∴，
∵点在直线上运动，点的横坐标为，
∴，则，
∵，
∴，，
∴，
∵平行轴，
∴，即，解得；
（3）解：∵的中点为，
∴，
如图2，由(2)知，，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即点N是的中点，
∴，即，
又∵在抛物线上，
∴，解得；
（4）如图4，当点P在抛物线的对称轴的左侧且为直线与抛物线的交点时，抛物线在内的图象随的增大而增大，
将点代入抛物线，得，解得或(舍去)；
①当时，不符合题意；
如图5，点P由图4位置沿直线向右移动的过程中当与坐标原点O重合时，，
∴，
此时，点C与点B重合，抛物线与交于一点B；
②当时，符合题意；
③当时，不符合题意；
综上，当抛物线在内的图象随的增大而增大时，的取值范围为．
13．(1)，，
(2)①；②当的值为，，，时，矩形为正方形；③当时，线段与图象的交点个数为个；当时，线段与图象的交点个数为个
（1）将，；；，，，代入当时，；当时，，求解即可；
（2）①由题意知：当时，点，都在二次函数图象上，且轴，推出，求解即可；
②由题意知：点的横坐标为，点的横坐标为，轴，得，推出，点的纵坐标为或，分两种情况：当时，当时，分别求解即可；
③根据线段的长度随的增大而增大，推出，根据二次函数图象的对称性得点关于对称轴的对称点的横坐标为；继而推出当时，线段与图象的交点个数为个；然后再分两种情况：当时，当时，分别求解即可．
（1）解：∵当时，；当时，，
又∵当时，；当时；，当时，，
∴，
解得：，
∴当时，；当时，，
（2）解：①∵当时，，
又∵当时，点，都在二次函数图象上，且点的横坐标为，点的横坐标为，轴，
∴，
解得：；
②∵点的横坐标为，点的横坐标为，轴，
∴，
∵矩形为正方形，轴，
∴，
∴点的纵坐标为或，
当时，
，解得：（不符合题意，舍去）或；
，解得：或；
当时，，解得：
综上所述，当的值为，，或时，矩形为正方形；
③∵点的横坐标为，点的横坐标为，轴，
∴，
又∵线段的长度随的增大而增大，
∴，即，
∴，
此时二次函数图象上点关于对称轴的对称点的横坐标为；
∵，
∴当时，线段与图象的交点个数为个；
当时，，此时线段与图象的交点个数为个；
∵当时，，
当时，，
∴，
当线段与图象的交点个数为个时，则，
解得：，
∴；
当线段与图象的交点个数为个时，则，
解得：（不符合题意，舍去）或，
综上所述，当时，线段与图象的交点个数为个；当时，线段与图象的交点个数为个．
本题是二次函数与一次函数的综合题，考查了待定系数法确定函数的解析式，二次函数的图象与性质，函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，一元二次方程与不等式的应用等知识点，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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