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解答题中反比例函数与一次函数的综合高频考点押题练
2026学年初中数学中考复习备考
1．如图，一次函数的图象交反比例函数的图象于点，交x轴的正半轴于点B，交y轴的正半轴于点C．
(1)分别求k和b的值；
(2)点D为反比例函数图象上的一点，连接，，．若，求点D的坐标．
2．如图，一次函数（为常数，且）的图像与反比例函数的图像交于，两点．
（1）求一次函数的表达式；
（2）若将直线向下平移个单位长度后与反比例函数的图像有且只有一个公共点，求的值．
3．如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x与反比例函数y=在第一象限内的图像交于点A（m，2），将直线y=2x向下平移后与反比例函数y=在第一象限内的图像交于点P，且△POA的面积为2.
（1）求k的值；
（2）求平移后的直线的函数解析式.

4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象都经过、两点．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)直接写出关于x的不等式的解集．
(3)过O、A两点的直线与反比例函数图象交于另一点C，连接，求的面积．
5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴，轴于，两点，与反比例函数的图象交于，两点，轴于点，点的坐标为，．
(1)求反比例函数与一次函数的表达式；
(2)若点在反比例函数图象上，且的面积等于，求点的坐标．
(3)当一次函数的值大于反比例函数的值时，直接写出的取值范围．
6．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．
(1)求反比例函数及一次函数的表达式；
(2)求的面积；
(3)若点是轴上一动点，连接，．当的值最小时，直接写出点的坐标．
7．在平面直角坐标系中，已知一次函数与反比例函数满足以下条件：
①一次函数的图象经过点；
②一次函数与反比例函数图象的一个交点坐标为；
③在反比例函数中，当时，随的增大而减小．
请解答下列问题：
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)设一次函数与反比例函数图象的另一个交点为，求的面积．
8．如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，轴于点D，分别交反比例函数与一次函数的图象于点B、C．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)连接，若，求的面积．
9．如图，直线与反比例函数的图象相交于点A、B，与x轴交于点C，其中点A的坐标为，点B的横坐标为．
(1)分别求一次函数和反比例函数的表达式．
(2)当时，请直接写出反比例函数大于一次函数的x的取值范围．
10．如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过点作轴的垂线，垂足为点，的面积为4．
（1）分别求出和的值；
（2）结合图象直接写出中的取值范围；
（3）在轴上取点，使取得最大值时，求出点的坐标．
11．在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，交轴于点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)若点在该反比例函数的图象上，且它到轴的距离小于，则的取值范围是 ；
(3)点在第二象限的反比例函数图象上，当面积为时，求点坐标；
12．综合与探究
如图，已知在平面直角坐标系中，一次函数的图像经过点A、B，反比例函数的图像也经过点A，且点A横坐标是2.

(1)求一次函数的解析式．
(2)点C是x轴正半轴上的一点，连接，，过点C作轴分别交反比例函数和一次函数的图像于点D、E，求点D、E的坐标．
(3)在（2）的条件下，一次函数的图像上是否存在一点F使得和相似？若存在，请直接写出点F坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．(1)，
(2)点D的坐标为
（1）利用待定系数法即可解答；
（2）求得点的横坐标，再代入反比例函数即可解答．
（1）解：把分别代入和，得，
；
（2）解：，
∴一次函数的解析式是：，反比例函数的解析式是：，
设点D的横坐标为a，由题意得，
，
解得．
反比例函数的表达式为，
∴把代入，
得，
∴点D的坐标为．
2．（1）；（2）1或9
（1）把A(－2，b)的坐标分别代入一次函数和反比例函数表达式，求得k、b的值，即可得一次函数的解析式；
（2）直线AB向下平移m(m＞0)个单位长度后，直线AB对应的函数表达式为y＝x＋5－m，根据平移后的图象与反比例函数的图象有且只有一个公共点，把两个解析式联立得方程组，解方程组得一个一元二次方程，令 =0，即可求得m的值．
解：(1)根据题意，把A(－2，b)的坐标分别代入一次函数和反比例函数表达式，得，
解得，
所以一次函数的表达式为y＝x＋5；
(2)将直线AB向下平移m(m＞0)个单位长度后，直线AB对应的函数表达式为y＝x＋5－m，
由得x2＋(5－m)x＋8＝0，
Δ＝(5－m)2－4××8＝0，
解得m＝1或9．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解．
3．(1) k=2（2）y=2x-4
（1）由点A的纵坐标求得m，即点A的坐标，把点A的坐标代入反比例函数中即可；
（2）先求出PM，再求出BN然后用锐角三角函数求出OB，即可．
(1)∵点A(m,2)在直线y=2x上，
∴2=2m，
∴m=1，
∴点A(1,2)，
∵点A(1,2)在反比例函数y=上，
∴k=2，
(2)如图，

设平移后的直线与y轴相交于B，过点P作PM⊥OA，BN⊥OA，AC⊥y轴
由(1)知,A(1,2)，
∴OA=,sin∠BON=sin∠AOC=，
∵S△POA=OA×PM=×PM=2，
∴PM=，
∵PM⊥OA，BN⊥OA，
∴PM∥BN，
∵PB∥OA，
∴四边形BPMN是平行四边形，
∴BN=PM=，
∵sin∠BON=，
∴OB=4，
∵PB∥AO，
∴B(0, 4)，
∴平移后的直线PB的函数解析式y=2x 4.
【点睛】此题是反比例函数和一次函数的交点问题，涉及的知识有：一次函数与坐标轴的交点，待定系数法求函数解析式，平行四边形的判定和性质，坐标与图形变化-平移，锐角三角函数的意义，解本题的关键是作出辅助线.
4．(1)，
(2)或
(3)12
（1）把代入可得反比例函数解析式，求解，再利用待定系数法求解一次函数解析式即可；
（2）利用数形结合的方法解题即可；
（3）设与x轴交于点D，连接，求解，，再进一步求解即可．
（1）解：∵反比例函数过，
∴，
∴反比例解析式：．
将代入：，即．
把、代入：
∴，
解得：，
一次函数解析式：．
（2）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象都经过、两点．
∴结合函数图象，的解集：或．
（3）解：设与x轴交于点D，连接，
由题意可知，点A与点C关于原点对称，
，
在中，当时，，
，
轴于点D，
．
5．(1)，
(2)点的坐标是或
(3)或
（1）用待定系数法求出反比例函数表达式，进而求出点的坐标，再利用待定系数法求出一次函数表达式即可求解；
（2）先设点的坐标为，（），再得出，最后根据三角形面积公式即可求解；
（3）根据图象求出的解集即可．
（1）解：∵点在反比例函数的图象上，
∴将代入得，，
，
∴反比例函数的关系式为．
∵点在反比例函数的图象上，轴于点，且，
∴当时，即，
解得，，
∴点的坐标为，
根据题意，将，分别代入得，
，
解得，，
∴一次函数的关系式为．
（2）解：根据题意，设点的坐标为，（），
把代入，解得，即，
．
∵的面积等于，
∴，即，
解得，，
∴当时，；
当时，，
∴点的坐标是或．
（3）解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，且，，
由图象可知，当或时，，
当一次函数的值大于反比例函数的值时，的取值范围是或．
6．(1)一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为
(2)
(3)点的坐标为
（1）将代入得出，将代入得出，进而待定系数法求得一次函数的表达式；
（2）设直线交轴于点，交轴于点．求得，，进而根据三角形的面积公式即可求解．
（3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则的最小值等于的长，得出，求得直线的表达式为，令，即可求解．
（1）解：在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的表达式为．
在反比例函数的图象上，
，
．
设一次函数的表达式为，代入，
，
一次函数的表达式为．
（2）如图，设直线交轴于点，交轴于点．
直线为，
，．
，．
．
（3）点的坐标为．
如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则的最小值等于的长．
点与点关于轴对称，
点的坐标为．
又，
设直线的表达式为
代入，得
解得：
∴直线的表达式为．
令，得，
．
7．(1)一次函数表达式为，反比例函数表达式为
(2)
（1）根据反比例函数图象与性质，由待定系数法及解一元二次方程求解得到反比例函数表达式，进而求出点坐标，即可得到一次函数表达式；
（2）先求出一次函数与反比例函数图象的另一个交点的坐标，再作出图象，数形结合表示出的面积计算即可．
（1）解：一次函数与反比例函数图象的一个交点坐标为，
，
则，
解得或；
在反比例函数中，当时，随的增大而减小，
，
即，
反比例函数表达式为；
，
一次函数的图象经过点，
，
解得，
一次函数表达式为；
（2）解：联立，
消去得，即，
，
解得或，
则一次函数与反比例函数图象的另一个交点坐标为，如图所示：
一次函数与轴的交点为，、，
．
8．(1)，
(2)
本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及待定系数法求函数解析式等知识点，正确求出函数解析式是解题的关键．
（1）将点A坐标分别代入两个解析式得到k、m值即可；
（2）将分别代入两个解析式求出点B、C坐标，根据三角形面积公式计算即可．
（1）解：∵点在反比例函数图象上，
∴，
∴反比例函数解析式为：，
∵的图象过点，
∴，解得，
∴一次函数解析式为：．
（2）解：∵轴于点D，，
∴，
∴将代入得，
∴，
将代入得，
∴，
∴，
∴．
9．(1)；；
(2)或
（1）先将点代入反比例函数求出表达式，进而得出点 ，再利用待定系数法求出一次函数的表达式即可；
（2）结合图象，找出反比例函数图象在一次函数图象上方部分的自变量取值即可得解．
（1）解：将点代入反比例函数得，，
解得：，
反比例函数的表达式为；
当时，，
，
将点、代入直线得
，解得：，
一次函数的表达式为；
（2）解：由图象可知，当或时，反比例函数图象在一次函数图象上方，
则反比例函数大于一次函数的x的取值范围为或．
10．（1），；（2）或；（3）．
（1）由△AOC的面积为4，可求出a的值，确定反比例函数的关系式，把点B坐标代入可求b的值．
（2）根据图象观察当自变量x取何值时，一次函数图象位于反比例函数图象的上方即可，注意由两部分．
（3）由对称点A关于y轴的对称点A′，直线A′B与y轴交点就是所求的点P，求出直线与y轴的交点坐标即可．
（1）由题意得：
∴，
又∵反比例函数图象经过第二、四象限
∴，
当时，；当时，，解得
（2）由图象可以看出的解集为或
（3）如图，作点A关于y轴的对称点A′，直线A′B与y轴交于P，此时PA-PB最大（PB-PA=PB-PA′≤A′B，共线时差最大）
∵关于轴的对称点为，
又，则直线与轴的交点即为所求点．
设直线的解析式为
则解得
∴直线的解析式为
∴直线与轴的交点为．
即点的坐标为．
11．(1)
(2) 或
(3)或
（1）先求出点A的坐标，然后把A的坐标代入求解即可；
（2）根据到到轴的距离小于，得出，把代入，得出，然后解不等式即可；
（3）联立一次函数与反比例函数表达式，求出点B的坐标，分点D在点A的左侧和右侧讨论，过点D作轴交于E，设，则，然后根据面积为构建关于x的方程求解即可．
（1）解：∵一次函数的图象经过，
∴，
∴，
代入，得，
解得，
∴
（2）解：∵点在该反比例函数的图象上，且它到轴的距离小于，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴或；
（3）解：联立方程组，
解得或，
∴，
当点D在点A的左侧时，
过点D作轴交于E，
设，则，
∵面积为
∴，
解得或（舍去），
∴
∴；
当点D在点A的右侧时，
过点D作轴交于E，
设，则，
∵面积为
∴，
解得或（舍去），
∴
∴；
综上，点D的坐标为或．
12．(1)
(2)
(3)，
（1）根据反比例函数的图象也经过点，点横坐标是 2 ，求得 ，解方程组即可得到结论；
（2）过作轴于，则，，根据三角函数的定义得到 ，求得 ，把 分别代入和即可得到结论；
（3）如图，设 ，根据相似三角形的性质列方程即可得到结论；
（1）∵反比例函数 的图象也经过点，点横坐标是 2，
把代入得：
，
解得：
一次函数的解析式为；
（2）过作轴于
则
把代入得 ，
把代入得

（3）设 ，
当 ，
∴
∴
解得 或 (不合题意舍去)
当
∴
∴
解得 或 (不合题意舍去)
∴点坐标为 或
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