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解答题中解直角三角形的应用高频考点押题练
2026学年初中数学中考复习备考
1．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，，试管倾斜角为．
(1)求酒精灯与铁架台的水平距离的长度；
(2)实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点，且（点在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度．（参考数据：，，）
2．为进一步优化区域交通网络，提升京平高速的通行效率与承载能力，满足日益增长的出行需求，京平高速路段启动扩建升级工程．施工过程中，需使用起重机将钢筋、水泥等修路建材精准吊装至指定作业区域．当货物M被吊起并在空中保持静止时．货物M与吊臂转轴点O的连线恰好平行于地面（水平方向）．如图1，吊臂末端B到货物M的竖直距离米，，（参考数据：， ，结果精确到1米）
(1)求直吊臂的长；
(2)为配合路面施工高度调整，立吊臂与钢索的长度保持不变，在同一竖直平面内将提升至如图2的位置，当时，货物M上升了多少米？
3．民桥位于河南省信阳市浉河区，横贯浉河，是信阳重要交通枢纽，也是河南省唯一的一座独塔斜拉式桥梁．某数学兴趣小组进行测量民桥主塔高度的实践活动，淇淇、萍萍两位同学分别制定了不同的测量方案，并完成了实地测量，测量方案与数据如下表：
课题 测量民桥主塔高度
测量方案 淇淇的方案 萍萍的方案
测量示意图
测量数据
说明 民桥主塔的高为，所有点在同一竖直平面内，图中，测角仪垂直于水平地面，测角仪的高度．
请任选一种方案计算民桥主塔高度．（结果精确到1m．参考数据：，）
4．机器人竞走比赛是对机器人运动控制、环境适应等技术的极限测试，能推动技术迭代，还能普及科技知识，点燃大众对前沿科技的热情．如图，在某次机器人竞走比赛中，机器人从点A沿北偏东方向直行到点B，然后从点B沿南偏西方向直行到点C． 若点C在点A的正东方向，求A，C两点间的距离．（结果精确到；参考数据： ， ， ，）
5．大玉米楼位于郑州市郑东新区如意湖畔千玺广场，是河南省最高城市观景层．建筑以嵩岳寺塔为设计原型，圆柱形塔身夜间呈现金色玉米造型，成为郑州现代城市景观的代表性地标，是中原第一高楼．某综合实践小组欲测量大玉米楼的高度，他们提出了用物理课上学过的《光的反射定律》来解决该问题．
步骤：如图，成员在地面上的点O处放置了一块平面镜，向后移动到点D处，恰好通过镜子反射看到大玉米楼的顶端A，眼睛到地面的距离，测得为，成员距大玉米楼的距离．（点A，B，C，D在同一平面内，，均与地面垂直）
(1)的度数为_____________．
(2)求大玉米楼的高度．（结果精确到．参考数据：）
6．数学小组研究如下问题：吉林油田第十二中学的纬度约为北纬，求北纬纬线的长度？为完成任务，小组成员查阅了相关资料，得到三条信息：
信息一 在地球仪上，与南，北极距离相等的大圆圈，叫赤道，所有与赤道平行的圆圈叫纬线．
信息二 如图，是经过南、北极的圆，地球半径约为．弦，过点O作于点K，连接．若，则以KB为半径的圆的周长是北纬纬线的长度．
信息三 参考数据：取3，，，
根据以上信息，求北纬的纬线的长度？（结果保留整数）
7．如图，某数学活动小组用高度为米的测角仪，对垂直于地面的建筑物的高度进行测量，于点C．在B处测得A的仰角，然后将测角仪向建筑物方向水平移动6米至处，于点G，测得A的仰角，的延长线交于点E，求建筑物的高度（结果保留小数点后一位）．（参考数据：）
8．风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在一处坡角为的坡地新安装了一架风力发电机，如图1．某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图2为测量示意图．已知斜坡长16米，在地面点处测得风力发电机塔杆顶端点的仰角为，利用无人机在点的正上方53米的点处测得点的俯角为，求该风力发电机塔杆的高度．（参考数据：，，）

9．综合与实践：测量黄旗山灯笼所在位置的高度
【实践背景】
黄旗山是东莞的标志性景观，山顶的灯笼是该景区的核心标识．某中学九年级学生开展数学综合实践活动，计划利用测角仪、卷尺等工具，结合解直角三角形的知识，测量灯笼所在位置的高度（即将灯笼视为一个点，求该点相对山脚地面的垂直高度），以提升实践操作与数学应用能力．
【实践器材】
测角仪、卷尺．（本次测量忽略测角仪高度，即测角仪视线与观测点地面齐平）
【实践过程】
如图，小明在山脚地面上的点A处，测得灯笼所在位置P的仰角为；然后他沿着坡度为的斜坡向后（远离灯笼方向）行走，到达观景台点B处，再次测得灯笼所在位置P的仰角为．测量时，点A、B、C与灯笼底部的投影点Q在同一竖直平面内．
【实践探究】
(1)求斜坡的垂直高度（即长度）和水平宽度（即长度）；
(2)根据测量数据，求出灯笼所在位置的高度（结果保留整数）．
（参考数据：；．）
10．遂宁涪江六桥是全国首座复杂曲线荷花瓣形钢混组合索塔斜拉桥．某数学活动小组为测量涪江六桥主桥塔顶到桥面的距离，设计了如下测量方案：
实物图
测量工具 无人机
测量方法及数据 在桥面点用无人机测得主桥塔顶点的仰角为，将无人机垂直上升米至处，测得主桥塔顶点的仰角为．
测量示意图
参考数据 ，，，，，．
请根据上表提供的信息，求涪江六桥主桥塔顶到桥面的距离即的长．（精确到1米）
11．在我们的生活中，处处都蕴含着数学．小刚所在的数学社团开展了一项关于学校门锁的调查研究．他们发现，学校的门锁主要有两类：一类是常见的防盗门锁（如图），另一类是洗手间内的旋转门锁（如图）．
数学社团的同学们画出了两种类型门锁“工作”时的平面示意图．
(1)图是图门锁工作时的平面结构图，锁身可以看作由，和矩形组成，且，圆心是倒锁按钮点，若的弓形高，，请求出此时图中圆心到的距离．
(2)图是图门锁的工作简化图，锁芯固定在门边右侧，在自然状态下，把手竖直向下，底端到达处，把手绕锁芯旋转一定角度，使得把手底端正好卡在门边点处，此时．将绕点顺时针旋转得到，过点作于点．若所在圆的半径，请求出此时的长度（结果保留小数点后一位）．（参考数据：，，）
12．海南东方市是海南省重要的风电基地，其沿海风电场的巨型风电机组将源源不断的清洁海风转化为电能．某校初三数学兴趣小组在完成解直角三角形应用知识的学习后，围绕“风叶长度的实地测算”这一课题开展数学实践活动．已知三片风叶两两所成的角为，在实地测量中（如图2），当其中一片风叶与塔杆重合时（即O，C，D在一直线上），在与塔底D水平距离为120米的E处，测得塔干顶部O的仰角为，风叶的端点A的仰角为，点A，B，C，D，E，O在同一平面内．（参考数据）
(1)填空： °， 米；
(2)求塔杆的长度；
(3)求风叶的长度．（精确到1米）
参考答案
1．(1)酒精灯与铁架台的水平距离的长度为
(2)线段的长度为
本题主要考查了三角函数的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键．
（1）过点作于点，根据题意可得，，利用三角函数可得（），易得，即可获得答案；
（2）过点作于点H，于点，过点作于点，利用三角函数可解得，的值，再证明为等腰直角三角形，并解得，然后由求解即可．
（1）解：过点作于点，如下图，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
答：酒精灯与铁架台的水平距离的长度为；
（2）解：如图，过点作于点H，于点，过点作于点，
则，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
答：线段的长度为．
2．(1)13米
(2)上升了约6米
本题考查了解直角三角形的应用，读懂题意是解题的关键．
（1）理解题意，根据在中，米，，代入数值到进行计算，即可作答．
（2）理解题意，把数值代入进行计算，得的长，再结合，得出的长，即可作答．
（1）解：在中，米，，
∴（米），
∴直吊臂的长约为13米；
（2）解：延长交水平线于点C，
则水平线，
在中，米，，
∴（米），
∵米，
∴（米），
∴当时，货物M上升了约6米．
3．民桥主塔高度为
本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质；理解题意，正确求解是关键．
选淇淇的方案：延长交于点，则四边形为矩形，；设，在中，得，在中利用正切函数求得，由建立方程即可求解：
选萍萍的方案：设交于G，则得四边形和四边形是矩形，得，；设，在中，得，在中利用正切函数求得，由建立方程即可求解：
解：选淇淇的方案：
如图，延长交于点，
由题意知，，，，
∴，
∴四边形为矩形，
∴；
设，
在中，，
；
在中，，
；
，
，
即，
解得；
．
选萍萍的方案：
如图，设交于G，
∵，
∴四边形和四边形是平行四边形，
∵，
即，
∴四边形和四边形是矩形，
∴，；
设，
在中，，
∴，
∴；
在中，，
∴
∴；
∵，
∴，
解得：，
答：民桥主塔高度为．
4．
过点 B 作，交的延长线于点 D，求得
作差求解即可；
解：过点 B 作，交的延长线于点 D，
根据题意，得，
在 中，
；
，
在中，，
．
5．(1)
(2)大玉米楼的高度约为
（1）根据光的反射定律即可解答；
（2）解求得的长，即可求得的值，解即可求得．
（1）解：根据光的反射定理可得；
（2）解：在中，，
，
，
，
由题意得：，
在中，．
答：大玉米楼的高度约为．
6．约为
由平行线的性质，锐角三角函数的定义求解即可．
解： ，
．
∵
∴在中，，，
∴北纬纬线的半径：
∴
答：纬线长度约为．
7．17.5米
本题主要考查了矩形的性质与判定，解直角三角形的实际应用，由题意可得四边形是矩形，则．解直角三角形得到，进而得到，据此求出即可得到答案．
解：根据题意可知四边形是矩形，
．
如图，．
，
．
，
．
（米）
答：建筑物的高度约为米．
8．该风力发电机塔杆的高度为32米
过点P作于点F，延长交延长线于点E，先根据含角直角三角形的性质得出，设米，则米，进而得出米，证明四边形为矩形，则米，米，根据线段之间的和差关系得出米，最后根据，列出方程求解即可．
解：过点P作于点F，延长交延长线于点E，
根据题意可得：、垂直于水平面，，，，
∴，
∵米，
∴（米），
设米，则米，
∵，，
∴米，
∵，，，
∴四边形为矩形，
∴米，米，
∵米，
∴米，
∵，
∴，
∴，即，
解得：，
答：该风力发电机塔杆的高度为32米．

9．(1)斜坡的垂直高度为14.5米，水平宽度为48米
(2)灯笼所在位置的高度为205米
（1）由题意可得，在中利用解直角三角形即可求解；
（2）过点作于点，设米，在和中分别计算出，，利用建立方程即可求解．
（1）解：由题意得，，，
在中，（米），
（米），
答：斜坡的垂直高度为14.5米，水平宽度为48米．
（2）解：如图，过点作于点，
由题意可得，，，，
∴四边形是矩形，
∴，米，
设米，则（米），
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
解得，
∴灯笼所在位置的高度为205米．
10．
过点作，构造矩形证，，设塔高为，然后表示出，再根据两个仰角的正切值表示出并列方程，求解得到塔高．
解：如图，过点作，
根据题意可知，，，，
，
四边形为矩形，
，，
设，则，
在中，，
，
，
在中，，
，
，
，
解得，
答：涪江六桥主桥塔顶到桥面的距离的长为86米．
11．(1)
(2)
（1）连接，延长交于点，设的半径为，由可得，；根据垂径定理可得，在中，利用勾股定理构造方程并解出的值，进而计算出的长；
（2）延长，交于点，易证明四边形是矩形，则，在和中，利用三角函数计算出和即可．
（1）解：如图，连接，延长交于点，设的半径为，
由题意可知，，
，，
，
弓形高，，
，，
在中，，
，
解得，
，
即圆心 到的距离为．
（2）解：如图，延长，交于点，
由题意可知，，，
在中，，
，
将绕点顺时针旋转得到，
，，
，
，，
，
，
在中，，
，
，
四边形是矩形，
．
即的长度约为．
12．(1)米
(2)塔杆的长度是90米
(3)风叶的长为59米
（1）由题意可知答案；
（2）在中，利用和，计算即可；
（3）设，作辅助线构造矩形，利用推出，用x表示和的长度，再根据列方程求解，得到长度．
（1）解：由题意可知：米；
（2）根据题意，可知，
，
米，
塔杆的长度是90米；
（3）如下图，过点A作于点H，过点O作于点G，
设风叶的长度为米，
，
四边形为矩形，
米，
，
，
，
，
，
解得：，
风叶的长为59米．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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