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浙教版（2024）八上一周一测（十二）
第4章《图形与坐标》单元综合测试
（满分：120分 时间：120分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）在平面直角坐标系中，下列四个点在第一象限的是（　　）
A．（﹣1，﹣2） B．（6，﹣4） C．（﹣3，2） D．（3，5）
2．（3分）若点P（x，y）的坐标满足xy＝0，则点P位于（　　）
A．原点上 B．x轴上 C．y轴上 D．坐标轴上
3．（3分）根据下列表述，能够确定位置的是（　　）
A．甲地在乙地的正东方向上
B．一只风筝飞到距A处20米处
C．某市位于北纬30°，东经120°
D．影院座位位于一楼二排
4．（3分）已知点P（3﹣m，m﹣1）在第二象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
5．（3分）在平面直角坐标系中，将点P（m+1，2m﹣1）向左平移3个单位，向下平移1个单位得到点Q，若点Q恰好落在x轴上，则点Q的坐标是（　　）
A．（0，2） B．（5，0） C．（﹣2，0） D．（﹣1，0）
6．（3分）如图，四盏相同的灯笼放置在平面直角坐标系中，坐标分别是A（﹣3.5，b），B（﹣2，b），C（﹣1，b），D（1，b），将其中一盏灯笼向右平移m个单位，使得y轴两侧的灯笼对称，则m的值可以是（　　）
A．3 B．4 C．4.5 D．5.5
7．（3分）点M（﹣5，y）向下平移6个单位长度后所得到的点与点M关于x轴对称，则y的值是（　　）
A．﹣6 B．6 C．﹣3 D．3
8．（3分）在平面直角坐标系中，下列说法：①若点A（a，b）在坐标轴上，则ab＝0；②若m为任意实数，则点（2，m2）一定在第一象限；③若点P到x轴的距离与到y轴的距离均为2，则符合条件的点P有2个；④已知点M（2，3），点N（﹣2，3），则MN∥x轴．其中正确的是（　　）
A．①④ B．②③ C．①③④ D．①②④
9．（3分）预备知识：线段中点坐标公式：在平面直角坐标系中，已知A（x1，y1），B（x2，y2），设点M为线段AB的中点，则点M的坐标为（）应用：设线段CD的中点为点N，其坐标为（3，2），若端点C的坐标为（7，3），则端点D的坐标为（　　）
A．（﹣1，1） B．（﹣2，4） C．（﹣2，1） D．（﹣1，4）
10．（3分）如图，弹性小球从点P（0，1）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到正方形的边时的点为P1（2，0），第2次碰到正方形的边时的点为P2…，第n次碰到正方形的边时的点为Pn，则点P2025的坐标是（　　）
A．（2，0） B．（4，3） C．（2，4） D．（0，3）
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）在平面直角坐标系中，点P（3，﹣2）到x轴的距离等于 　 　 ．
12．（3分）若B地在A地的南偏东30°方向，距离A地30km处，则A地在B地的 　 　 方向，距离B地 　 　 km处．
13．（3分）若点N的坐标为（a，2a﹣1），则点N一定不在第 　 　 象限．
14．（3分）已知点A（3，﹣1），直线AB∥y轴，且AB＝5，则点B的坐标为 　 　 ．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点A的坐标为（﹣7，3），点C的坐标为（﹣2，0），则点B的坐标是 　 　 ．
16．（3分）如图，A、B的坐标分别为（1，0）、（0，2），若将线段AB平移到至A1B1，A1、B1的坐标分别为（2，a）、（b，3），则a+b＝　 　 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）已知点A（a，5），B（﹣3，b），根据下列条件求出a，b的值．
（1）点A，B关于x轴对称；
（2）点A，B关于y轴对称；
（3）AB∥y轴．
18．（8分）如图是北京市三所大学位置的平面示意图，图中小方格都是边长为1个单位长度的正方形，若清华大学的坐标为（0，3），北京大学的坐标为（﹣3，2）．
（1）请在图中画出平面直角坐标系，并写出北京语言大学的坐标：　 　 ；
（2）若中国人民大学的坐标为（﹣3，﹣4），请在坐标系中标出中国人民大学的位置．
19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点坐标分别为A（2，3），B（2，﹣1）．
（1）作出线段AB关于y轴对称的线段CD．
（2）怎样表示线段CD上任意一点P的坐标？
20．（8分）已知点P（﹣3a﹣4，2+a），解答下列各题：
（1）若点P在x轴上，则点P的坐标为　 　 ；
（2）若Q（5，8），且PQ∥y轴，则点P的坐标为　 　 ；
（3）若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求a2+2025的值．
21．（8分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点．已知A（0，a），B（b，b），C（c，a），其中a、b满足关系式|a﹣4|+（b﹣2）2＝0，c＝a+b．
（1）求A、B、C三点的坐标，在坐标系中画出△ABC，并求出其面积；
（2）在坐标轴上是否存在点Q，使三角形COQ的面积与三角形ABC的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
22．（10分）△ABC与△A′B'C'在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）分别写出下列各点的坐标：A　 　 ；B　 　 ：C　 　 ；
（2）△ABC由△A'B′C'经过怎样的平移得到？答：　 　 ；
（3）若点P（x，y）是△ABC内部一点，则△A′B′C′内部的对应点P′的坐标为 　 　 ；
（4）求△ABC的面积．
23．（10分）阅读下列一段文字，然后回答下列问题．
已知在平面内两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），其两点间的距离，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|．例如P1（2，﹣4）、P2（7，8），其两点间的距离．
（1）已知A（2，4）、B（﹣3，﹣8），试求A、B两点间的距离；
（2）已知A、B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为﹣1，试求A、B两点间的距离．
（3）已知一个三角形各顶点坐标为A（﹣1，5）、B（﹣3，1）、C（7，1），你能判定此三角形的形状吗？说明理由．
（4）在平面坐标系内A（1，4）、B（5，1），在x轴上是否存在点P使得△ABP为等腰三角形？如果存在，直接写出点P的坐标，如果不存在请说明理由．
24．（12分）已知在直角坐标系xOy中，点A（0，4），B（4，0），C（0，3），由线段OC绕原点O顺时针转动某个角度得到线段，线段OP顺时针转动90°得到线段OQ，连接PQ，作直线AP，BQ交于点R．
（1）如图1，当点P在第一象限；
①若∠AOP＝45°时，求点P坐标；
②求证：△AOP≌△BOQ；
③求证：∠PRQ＝90°；
（2）在线段OC绕原点转动的过程中，当△PQR为等腰三角形时，求点P坐标．中小学教育资源及组卷应用平台
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第4章《图形与坐标》单元综合测试
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）在平面直角坐标系中，下列四个点在第一象限的是（　　）
A．（﹣1，﹣2） B．（6，﹣4） C．（﹣3，2） D．（3，5）
【分析】根据各象限内点的坐标特征对各选项分析判断即可．
【解答】解：A．（﹣1，﹣2）在第三象限，故不符合题意；
B．（6，﹣4）在第四象限，故不符合题意；
C．（﹣3，2）在第二象限，故不符合题意；
D．（3，5）在第一象限，故符合题意；
故选：D．
2．（3分）若点P（x，y）的坐标满足xy＝0，则点P位于（　　）
A．原点上 B．x轴上 C．y轴上 D．坐标轴上
【分析】根据0乘以任何数都等于0求出x＝0或y＝0，再根据坐标轴上的点的坐标特征解答．
【解答】解：∵xy＝0，
∴x＝0或y＝0，
∴P（x，y）在坐标轴上．
故选：D．
3．（3分）根据下列表述，能够确定位置的是（　　）
A．甲地在乙地的正东方向上
B．一只风筝飞到距A处20米处
C．某市位于北纬30°，东经120°
D．影院座位位于一楼二排
【分析】根据在平面内，要有两个有序数据才能清楚地表示出一个点的位置，即可得答案．
【解答】解：根据题意可得，
A．甲地在乙地的正东方向上，无法确定位置，故选项A不合题意；
B．一只风筝飞到距A处20米处，无法确定位置，故选项B不合题意；
C．某市位于北纬30°，东经120°可以确定一点的位置，故选项C符合题意；
D．影院座位位于一楼二排，无法确定位置，故选项D不合题意
故选：C．
4．（3分）已知点P（3﹣m，m﹣1）在第二象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据点P（3﹣m，m﹣1）在第二象限，得到，求出解集并表示在数轴上即可．
【解答】解：∵点P（3﹣m，m﹣1）在第二象限，
∴，
解得m＞3，
将解集表示在数轴上为：
，
故选：A．
5．（3分）在平面直角坐标系中，将点P（m+1，2m﹣1）向左平移3个单位，向下平移1个单位得到点Q，若点Q恰好落在x轴上，则点Q的坐标是（　　）
A．（0，2） B．（5，0） C．（﹣2，0） D．（﹣1，0）
【分析】根据平移坐标的变化规律，用含有m的代数式表示出点Q的坐标，再令点Q的纵坐标为0，求出m的值，进而确定点Q的坐标．
【解答】解：∵点P（m+1，2m﹣1）向左平移3个单位，向下平移1个单位得到点Q，
∴点Q（m﹣2，2m﹣2），
又∵点Q落在x轴上，
∴2m﹣2＝0，
解得m＝1，
当m＝1时，m﹣2＝﹣1，
∴点Q（﹣1，0），
故选：D．
6．（3分）如图，四盏相同的灯笼放置在平面直角坐标系中，坐标分别是A（﹣3.5，b），B（﹣2，b），C（﹣1，b），D（1，b），将其中一盏灯笼向右平移m个单位，使得y轴两侧的灯笼对称，则m的值可以是（　　）
A．3 B．4 C．4.5 D．5.5
【分析】由图可知点C、D关于y轴对称，所以要使y轴两侧灯笼对称，需移动A、B两盏灯笼，然后问题可求解．
【解答】解：∵A，B，C，D这四个点的纵坐标都是b，
∴这四个点在一条直线上，这条直线平行于x轴，
∵C（﹣1，b），D（1，b），
∴C，D关于y轴对称，只需要A，B关于y轴对称即可，
∵A（﹣3.5，b），B（﹣2，b），
∴可以将点A（﹣3.5，b）向右平移到（2，b），平移5.5个单位，
或可以将B（﹣2，b）向右平移到（3.5，b），平移5.5个单位，
故选：D．
7．（3分）点M（﹣5，y）向下平移6个单位长度后所得到的点与点M关于x轴对称，则y的值是（　　）
A．﹣6 B．6 C．﹣3 D．3
【分析】直接利用平移的性质得出平移后点的坐标，再利用关于x轴对称点的性质得出答案．
【解答】解：∵点M（﹣5，y）向下平移6个单位长度，
∴平移后的解析式为：（﹣5，y﹣6），
∵点M（﹣5，y）向下平移6个单位长度后所得到的点与点M关于x轴对称，
∴y+y﹣6＝0，
解得：y＝3．
故选：D．
8．（3分）在平面直角坐标系中，下列说法：①若点A（a，b）在坐标轴上，则ab＝0；②若m为任意实数，则点（2，m2）一定在第一象限；③若点P到x轴的距离与到y轴的距离均为2，则符合条件的点P有2个；④已知点M（2，3），点N（﹣2，3），则MN∥x轴．其中正确的是（　　）
A．①④ B．②③ C．①③④ D．①②④
【分析】①坐标轴上的点的特征是横坐标为0或纵坐标为0，由此可判断；②由m2≥0，可得点（2，m2）在第一象限或x轴正半轴上；③点P到x轴的距离与到y轴的距离均为2，则点P在四个象限内都有符合条件的点；④由题可知MN在直线y＝3上，由此可判断．
【解答】解：①∵点A（a，b）在坐标轴上，
∴a＝0或b＝0，
∴ab＝0，
故①符合题意；
②∵m2≥0，
∴点（2，m2）在第一象限或x轴正半轴上，
故②不符合题意；
③点P到x轴的距离与到y轴的距离均为2，
∴P点坐标为（2，2）或（2，﹣2）或（﹣2，2）或（﹣2，﹣2），
∴P点共有4个，
故③不正确；
④∵点M（2，3），点N（﹣2，3），
∴M、N两点在y＝3的直线上，
∴MN∥x轴，
故④符合题意；
故选：A．
9．（3分）预备知识：线段中点坐标公式：在平面直角坐标系中，已知A（x1，y1），B（x2，y2），设点M为线段AB的中点，则点M的坐标为（）应用：设线段CD的中点为点N，其坐标为（3，2），若端点C的坐标为（7，3），则端点D的坐标为（　　）
A．（﹣1，1） B．（﹣2，4） C．（﹣2，1） D．（﹣1，4）
【分析】根据线段的中点坐标公式即可得到结论．
【解答】解：设D（x，y），
由中点坐标公式得：3，2，
∴x＝﹣1，y＝1，
∴D（﹣1，1），
故选：A．
10．（3分）如图，弹性小球从点P（0，1）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到正方形的边时的点为P1（2，0），第2次碰到正方形的边时的点为P2…，第n次碰到正方形的边时的点为Pn，则点P2025的坐标是（　　）
A．（2，0） B．（4，3） C．（2，4） D．（0，3）
【分析】按照反弹角度依次画图，探索反弹规律，即可求出答案．
【解答】解：如图，
由题意得，P2（4，1），P3（0，3），P4（2，4），P5（4，3），最后再反射到P（0，1），由此可知，每6次循环一次，
∴2025÷6＝337 3，
∴点P2025的坐标与P3相同，
∴P2025（0，3）．
故选：D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）在平面直角坐标系中，点P（3，﹣2）到x轴的距离等于 　2　 ．
【分析】直接利用点到x轴的距离为纵坐标的绝对值，即可得出答案．
【解答】解：点P（3，﹣2）到x轴的距离为|﹣2|＝2．
故答案为：2．
12．（3分）若B地在A地的南偏东30°方向，距离A地30km处，则A地在B地的 　北偏西30°　 方向，距离B地 　30　 km处．
【分析】描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西，直接利用方向角的定义解答即可．
【解答】解：因为B地在A地的南偏东30°方向，距离A地30km处，
所以A地在B地的北偏西30°方向，距离B地30km处．
故答案为：北偏西30°，30．
13．（3分）若点N的坐标为（a，2a﹣1），则点N一定不在第 　二　 象限．
【分析】根据点在各个象限的坐标符号可建立不等式组，求出无解的不等式组即可．
【解答】解：由题意可得：或或或，
解这四组不等式组可知无解，
∴点N的横坐标是负数，纵坐标是正数，不能同时成立，即点N一定不在第二象限．
故答案为：二．
14．（3分）已知点A（3，﹣1），直线AB∥y轴，且AB＝5，则点B的坐标为 　（3，4）或（3，﹣6）　 ．
【分析】由AB∥y轴，A、B两点横坐标相等，又AB＝5，B点可能在A点上方或者下方，根据距离确定B点坐标即可．
【解答】解：∵AB∥y轴，
∴A、B两点的横坐标相同，都为3，
又AB＝5，
∴B点纵坐标为：﹣1+5＝4，或﹣1﹣5＝﹣6，
∴B点的坐标为：（3，4）或（3，﹣6）．
故答案为：（3，4）或（3，﹣6）．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点A的坐标为（﹣7，3），点C的坐标为（﹣2，0），则点B的坐标是 　（1，5）　 ．
【分析】先证明△ACD≌△CBE，然后即可得到AD＝CE，DC＝EB，然后再根据点A的坐标为（﹣7，3），点C的坐标为（﹣2，0），即可得到点B的坐标．
【解答】解：作AD⊥x轴于点D，作BE⊥x轴于点E，如图所示，
则∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠ACD+∠CAD＝90°，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，
∴∠CAD＝∠BCE，
在△ACD和△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴AD＝CE，DC＝EB，
∵点A的坐标为（﹣7，3），点C的坐标为（﹣2，0），
∴OD＝7，AD＝3，OC＝2，
∴CE＝3，BE＝OD﹣OC＝7﹣2＝5，
∴OE＝CE﹣OC＝3﹣2＝1，
∴点B的坐标为（1，5），
故答案为：（1，5）．
16．（3分）如图，A、B的坐标分别为（1，0）、（0，2），若将线段AB平移到至A1B1，A1、B1的坐标分别为（2，a）、（b，3），则a+b＝　2　 ．
【分析】根据平移前后的坐标变化，得到平移方向，从而求出a、b的值．
【解答】解：∵A（1，0）转化为A1（2，a）横坐标增加了1，
B（0，2）转化为B1（b，3）纵坐标增加了1，
则a＝0+1＝1，b＝0+1＝1，
故a+b＝1+1＝2．
故答案为：2．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）已知点A（a，5），B（﹣3，b），根据下列条件求出a，b的值．
（1）点A，B关于x轴对称；
（2）点A，B关于y轴对称；
（3）AB∥y轴．
【分析】关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，平行于y轴横坐标相等，分别进行分析即可．
【解答】解：（1）∵点A（a，5），B（﹣3，b），点A，B关于x轴对称，
∴a＝﹣3，b＝﹣5；
（2）∵点A，B关于y轴对称，
∴a＝3，b＝5；
（3）∵AB∥y轴，
∴a＝﹣3，b≠5．
18．（8分）如图是北京市三所大学位置的平面示意图，图中小方格都是边长为1个单位长度的正方形，若清华大学的坐标为（0，3），北京大学的坐标为（﹣3，2）．
（1）请在图中画出平面直角坐标系，并写出北京语言大学的坐标：　（3，1）　 ；
（2）若中国人民大学的坐标为（﹣3，﹣4），请在坐标系中标出中国人民大学的位置．
【分析】（1）利用清华大学的坐标为（0，3），北京大学的坐标为（﹣3，2）画出直角坐标系；
（2）根据点的坐标的意义描出中国人民大学所表示的坐标．
【解答】解：
（1）
北京语言大学的坐标：（3，1）；
故答案为：（3，1）；
（2）中国人民大学的位置如图所示：
19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点坐标分别为A（2，3），B（2，﹣1）．
（1）作出线段AB关于y轴对称的线段CD．
（2）怎样表示线段CD上任意一点P的坐标？
【分析】（1）据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数确定出点C、D的位置，然后连接CD即可；
（2）线段CD上所有点的横坐标都是﹣2；
【解答】解：（1）如图线段CD；
（2）P（﹣2，y）（﹣1≤y≤3）．
20．（8分）已知点P（﹣3a﹣4，2+a），解答下列各题：
（1）若点P在x轴上，则点P的坐标为　（2，0）　 ；
（2）若Q（5，8），且PQ∥y轴，则点P的坐标为　（5，﹣1）　 ；
（3）若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求a2+2025的值．
【分析】（1）根据x轴上点的坐标特征即可解决问题．
（2）根据平行于y轴的直线上点的坐标特征即可解决问题．
（3）根据到坐标轴距离相等的点的坐标特征即可解决问题．
【解答】解：（1）因为点P在x轴上，
所以2+a＝0，
解得a＝﹣2，
所以﹣3a﹣4＝2，
所以点P的坐标为（2，0）．
故答案为：（2，0）．
（2）因为点Q坐标为（5，8），且PQ∥y轴，
所以﹣3x﹣4＝5，
解得a＝﹣3，
则2+a＝﹣1，
所以点P的坐标为（5，﹣1）．
故答案为：（5，﹣1）．
（3）因为点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，
所以﹣3a﹣4+2+a＝0，
解得a＝﹣1，
所以a2+2025＝2026．
21．（8分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点．已知A（0，a），B（b，b），C（c，a），其中a、b满足关系式|a﹣4|+（b﹣2）2＝0，c＝a+b．
（1）求A、B、C三点的坐标，在坐标系中画出△ABC，并求出其面积；
（2）在坐标轴上是否存在点Q，使三角形COQ的面积与三角形ABC的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用非负数的性质求出a，b，的值，可得结论．根据A，B，C的坐标画出三角形即可．
（2）分点Q在x轴或y轴两种情形分别求解即可．
【解答】解：（1）∵|a﹣4|+（b﹣2）2＝0，c＝a+b，
又∵|a﹣4|≥0，（b﹣2）2≥0，
∴a＝4，b＝2，c＝6，
∴A（0，4），B（2，2），C（6，4），
△ABC如图所示，S△ABC6×2＝6．
（2）存在．当点Q在x轴上时，设Q（m，0），由题意，|m|×4＝6，
解得m＝±3，
∴Q（3，0）或（﹣3，0），
当点Q在y轴上时，设Q（0，n），由题意，|n|×6＝6，
解得n＝±2，
∴Q（0，2）或（0，﹣2）．
综上所述，Q（3，0）或（﹣3，0）或（0，2）或（0，﹣2）．
22．（10分）△ABC与△A′B'C'在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）分别写出下列各点的坐标：A　（1，3）　 ；B　（2，0）　 ：C　（3，1）　 ；
（2）△ABC由△A'B′C'经过怎样的平移得到？答：　先向右平移4个单位，再向上平移2个单位　 ；
（3）若点P（x，y）是△ABC内部一点，则△A′B′C′内部的对应点P′的坐标为 　（x﹣4，y﹣2）　 ；
（4）求△ABC的面积．
【分析】（1）根据平面直角坐标系写出各点的坐标即可；
（2）根据对应点A、A′的变化写出平移方法即可；
（3）根据平移规律逆向写出点P′的坐标；
（4）利用△ABC所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，列式计算即可得解．
【解答】解：（1）A（1，3）；B（2，0）；C（3，1）；
故答案为：（1，3）； （2，0）；（3，1）；
（2）先向右平移4个单位，再向上平移2个单位；
故答案为：先向右平移4个单位，再向上平移2个单位；
（3）P′（x﹣4，y﹣2）；
故答案为：（x﹣4，y﹣2）；
（4）△ABC的面积＝2×31×31×12×2
＝6﹣1.5﹣0.5﹣2
＝2．
23．（10分）阅读下列一段文字，然后回答下列问题．
已知在平面内两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），其两点间的距离，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|．例如P1（2，﹣4）、P2（7，8），其两点间的距离．
（1）已知A（2，4）、B（﹣3，﹣8），试求A、B两点间的距离；
（2）已知A、B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为﹣1，试求A、B两点间的距离．
（3）已知一个三角形各顶点坐标为A（﹣1，5）、B（﹣3，1）、C（7，1），你能判定此三角形的形状吗？说明理由．
（4）在平面坐标系内A（1，4）、B（5，1），在x轴上是否存在点P使得△ABP为等腰三角形？如果存在，直接写出点P的坐标，如果不存在请说明理由．
【分析】（1）根据两点间的距离公式，来求A、B两点间的距离；
（2）根据两点间的距离公式|y2﹣y1|来求A、B两点间的距离；
（3）先将A、B、C三点置于平面直角坐标系中，然后根据两点间的距离公式分别求得AB、BC、AC的长度；最后根据三角形的三条边长和勾股定理的逆定理来判断该三角形的形状；
（4）假设存在P（a，0），分三种情况进行讨论，①当PB＝PA时，②当PB＝BA时，③当PA＝AB时，分别求出满足△ABP是等腰三角形时a的值．
【解答】解：（1）∵A（2，4）、B（﹣3，﹣8），
∴|AB|13，即A、B两点间的距离是13；
（2）∵A、B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为﹣1，
∴|AB|＝|﹣1﹣5|＝6，即A、B两点间的距离是6；
（3）△ABC是直角三角形．理由如下：
∵一个三角形各顶点坐标为A（﹣1，5）、B（﹣3，1）、C（7，1），
∴AB＝2，BC＝10，AC＝4，
∵（2）2+（4）2＝102，
∴△ABC是直角三角形．
（4）假设存在P（a，0），
①当PB＝PA时，，
解得a，
此时P点坐标为（，0），
②当PB＝BA时，，
解得a＝5±2，
此时P点坐标为（5±2，0），
③当PA＝AB时，
，
解得a＝﹣2或4，
此时P点坐标为（﹣2，0）或（4，0）．
综上所述，满足条件P的坐标（，0），（5+2，0），（5﹣2，0），（﹣2，0），（4，0）．
24．（12分）已知在直角坐标系xOy中，点A（0，4），B（4，0），C（0，3），由线段OC绕原点O顺时针转动某个角度得到线段，线段OP顺时针转动90°得到线段OQ，连接PQ，作直线AP，BQ交于点R．
（1）如图1，当点P在第一象限；
①若∠AOP＝45°时，求点P坐标；
②求证：△AOP≌△BOQ；
③求证：∠PRQ＝90°；
（2）在线段OC绕原点转动的过程中，当△PQR为等腰三角形时，求点P坐标．
【分析】（1）①作轴于点N，证明△PON是等腰直角三角形，利用勾股定理即可求解；
②先求得∠AOP＝∠BOQ，利用SAS证明△AOP≌△BOQ即可；
③由△AOP≌△BOQ可得∠APO＝∠BQO，推出∠BQO+∠OPR＝180°，再由四边形内角和定理即可证明∠PRQ＝90°；
（2）分四种情况讨论，点P与点C重合、点P与点C关于x轴对称点重合时，画出图形即可求解；以及点P在第一象限时，点P在第二象限时，利用勾股定理以及三角形面积公式求解即可．
【解答】（1）①解：作PN⊥y轴于点N，
∵∠AOP＝45°，
∴△PON是等腰直角三角形，且OP＝OC＝3，
∴ON＝PN，
由勾股定理得，
∴点P坐标为；
②证明：∵∠AOB＝∠POQ＝90°，
∴∠AOP＝∠BOQ，
∵OA＝OB＝4，OP＝OQ＝3，
∴△AOP≌△BOQ（SAS）；
③证明：∵△AOP≌△BOQ，
∴∠APO＝∠BQO，
∵∠APO+∠OPR＝180°，
∴∠BQO+∠OPR＝180°，
∵∠POQ＝90°，
∴∠PRQ＝360°﹣∠POQ﹣（∠BQO+∠OPR）＝90°；
（2）解：由③知，∠PRQ＝90°，
要使△PQR为等腰三角形，
必定PR＝QR，
∴∠QPR＝∠PQR＝45°，
当点P与点C重合时，显然△PQR为等腰直角三角形，
此时，P（0，3）；
当点P与点C关于x轴对称点重合时，显然△PQR为等腰直角三角形，
此时，P（0，﹣3）；
当点P在第一象限时，
∵△POQ为等腰直角三角形，
∴∠OPQ＝∠OQP＝45°，
∴∠OPR＝∠OPQ+∠QPR＝90°，即∠OPR＝∠OPC＝90°，
∴四边形OPRQ是矩形，
∵OP＝OQ＝3，
∴矩形OPRQ是正方形，
由勾股定理得，
作PN⊥y轴于点N，
∵，
∴，
∴，
由勾股定理得，
点P坐标为；
当点P在第二象限时，
同理可证四边形OPRQ是正方形，
由勾股定理得，
作PN⊥y轴于点N，
同理求得，
由勾股定理得，
点P坐标为；
综上，点P坐标为（0，3）或（0，﹣3）或或．

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