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4.6　正弦定理、余弦定理
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.(2025·北京模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若asin B-sin A=0，则b等于(　　)
A. B.2 C.1 D.2
2.(2025·全国Ⅱ卷)在△ABC中，BC=2，AC=1+，AB=，则A等于(　　)
A.45° B.60° C.120° D.135°
3.(2025·齐齐哈尔模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若=4，sin A=，则△ABC的面积为(　　)
A. B. C. D.
4.(2025·杭州期末)在△ABC中，cos2=(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为(　　)
A.正三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.等腰三角形或直角三角形
5.(2026·吉林模拟)记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b=7，a=4，D为边AB上靠近点B的三等分点，若CD2=19，则c等于(　　)
A.4 B.5 C.6 D.7
6.(2024·全国甲卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B=，b2=ac，则sin A+sin C等于(　　)
A. B. C. D.
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.在△ABC中，角A，B，C所对的边依次为a，b，c，已知sin A∶sin B∶sin C=2∶3∶4，则下列结论中正确的是(　　)
A.A∶B∶C=2∶3∶4
B.△ABC为钝角三角形
C.若a+b+c=18，则△ABC的面积是6
D.若△ABC的外接圆半径是R，内切圆半径为r，则5R=16r
8.已知△ABC中，AB=1，AC=4，BC=，D在BC上，AD为∠BAC的平分线，E为AC的中点，则(　　)
A.BC边上的高线长为
B.AD=
C.BD=
D.BE=
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.(2025·永州模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A=60°，b=1，c=4，则=　　　　.
10.在平面四边形ABCD中，BC⊥CD，∠B=，AB=3，AD=2，若AC=3，则CD=　　　　　.
四、解答题(共27分)
11.(13分)(2025·天津)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asin B=bcos A，c-2b=1，a=.
(1)求A的值；(4分)
(2)求c的值；(4分)
(3)求sin(A+2B)的值.(5分)
12.(14分)(2026·潍坊模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知acos C+b=0，b=c.
(1)求cos C；(6分)
(2)若△ABC的面积为，D是BC上的点，且∠ADB=，求AD的长.(8分)
[13题6分，14题5分，共11分]
13.(多选)(2025·漳州模拟)在△ABC中，AC=2，tan A=2，向量在向量上的投影向量为，则(　　)
A.边BC上的高为3
B.sin∠ACB=
C.·=-8
D.边AB上的中线长为
14.已知△ABC的面积S=(b2+c2)(其中b，c为△ABC的边长)，则△ABC的形状为　　　　.
4.6　正弦定理、余弦定理
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.(2025·北京模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若asin B-sin A=0，则b等于(　　)
A. B.2 C.1 D.2
答案　A
解析　因为asin B-sin A=0，即asin B=sin A，由正弦定理得ab=a，又a≠0，所以b=.
2.(2025·全国Ⅱ卷)在△ABC中，BC=2，AC=1+，AB=，则A等于(　　)
A.45° B.60° C.120° D.135°
答案　A
解析　方法一　由余弦定理得cos A=
==，
又0°方法二　由题意得BC所以A<60°，结合选项可知A正确.
3.(2025·齐齐哈尔模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若=4，sin A=，则△ABC的面积为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　由余弦定理得b2+c2-a2=2bccos A，代入=4，
整理可得bc=2，所以S=bcsin A=×2×=.
4.(2025·杭州期末)在△ABC中，cos2=(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为(　　)
A.正三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.等腰三角形或直角三角形
答案　B
解析　因为cos2=，
所以=，整理得cos B=，
方法一　由余弦定理得=，
化简得a2+b2=c2，所以C=.
故△ABC的形状为直角三角形.
方法二　由正弦定理==，
得cos B=，
所以sin Ccos B=sin A=sin(B+C)
=sin Bcos C+cos Bsin C，
得sin Bcos C=0，
又B∈(0，π)，所以sin B>0，
所以cos C=0，又C∈(0，π)，
所以C=.
故△ABC的形状为直角三角形.
5.(2026·吉林模拟)记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b=7，a=4，D为边AB上靠近点B的三等分点，若CD2=19，则c等于(　　)
A.4 B.5 C.6 D.7
答案　C
解析　设BD=x，则AD=2x，
在△ADC中，得cos∠ADC
=
=，
在△BDC中，
得cos∠BDC==，
因为∠ADC+∠BDC=π，所以cos∠ADC+cos∠BDC=0，
即+=0，解得x=2或x=-2(舍去)，所以c=3x=6.
6.(2024·全国甲卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B=，b2=ac，则sin A+sin C等于(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　因为B=，b2=ac，
则由正弦定理得sin Asin C=sin2B=.
由余弦定理可得，
b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-ac=ac，
即a2+c2=ac，
根据正弦定理得
sin2A+sin2C=sin Asin C=，
所以(sin A+sin C)2=sin2A+sin2C+2sin Asin C=，
因为A，C为三角形内角，则sin A+sin C>0，
则sin A+sin C=.
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.在△ABC中，角A，B，C所对的边依次为a，b，c，已知sin A∶sin B∶sin C=2∶3∶4，则下列结论中正确的是(　　)
A.A∶B∶C=2∶3∶4
B.△ABC为钝角三角形
C.若a+b+c=18，则△ABC的面积是6
D.若△ABC的外接圆半径是R，内切圆半径为r，则5R=16r
答案　BD
解析　因为sin A∶sin B∶sin C=2∶3∶4，
由正弦定理可得a∶b∶c=2∶3∶4，A错误；
设a=2x，b=3x，c=4x，x>0，
由题意可知，C为最大角，0因为cos C===-<0，故C为钝角，故B正确；
若a+b+c=18，则a=4，b=6，c=8，
又cos C=-，所以sin C==，
所以S△ABC=absin C=×4×6×=3，故C错误；
由正弦定理得2R===，即R=，
由面积公式可得(a+b+c)r=absin C，
即×9x×r=×2x×3x×，
所以r=x，所以=，故5R=16r，故D正确.
8.已知△ABC中，AB=1，AC=4，BC=，D在BC上，AD为∠BAC的平分线，E为AC的中点，则(　　)
A.BC边上的高线长为
B.AD=
C.BD=
D.BE=
答案　ACD
解析　在△ABC中，由余弦定理
cos∠BAC===，
∴∠BAC=60°，
设BC边上的高为h，
则S△ABC=AB·AC·sin 60°=·BC·h，
解得h=，故A正确；
又S△ABD+S△ACD=S△ABC，故AB·AD·sin 30°+AC·AD·sin 30°=AB·AC·sin 60°，
解得AD=，故B不正确；
∵AD平分∠BAC，由角平分线定理知=，
∴=，∴BD=DC=BC=，
故C正确；
∵E为AC的中点，∴AE=2，在△ABE中，
由余弦定理得BE2=AB2+AE2-2AB·AE·cos∠BAC
=1+4-2×1×2×=3，∴BE=，故D正确.
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.(2025·永州模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A=60°，b=1，c=4，则=　　　　.
答案　
解析　由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=1+16-8×=13，即a=，
由正弦定理===2R(R为△ABC外接圆的半径)，
可得==2R===.
10.在平面四边形ABCD中，BC⊥CD，∠B=，AB=3，AD=2，若AC=3，则CD=　　　　　.
答案　1或5
解析　因为在△ABC中，∠B=，AB=3，AC=3，
由正弦定理可得=，所以sin∠ACB===，
又BC⊥CD，所以∠ACB与∠ACD互余，因此cos∠ACD=sin∠ACB=，
在△ACD中，AD=2，AC=3，
由余弦定理可得cos∠ACD===，
所以CD2-6CD+5=0，解得CD=1或CD=5.
四、解答题(共27分)
11.(13分)(2025·天津)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asin B=bcos A，c-2b=1，a=.
(1)求A的值；(4分)
(2)求c的值；(4分)
(3)求sin(A+2B)的值.(5分)
解　(1)已知asin B=bcos A，
由正弦定理得sin Asin B=sin Bcos A，
显然cos A≠0，sin B≠0，
则tan A=，
由0(2)由(1)知，cos A=，且c=2b+1，a=，
由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A，
得7=b2+(2b+1)2-2b(2b+1)×=3b2+3b+1，即b2+b-2=0，
解得b=1(b=-2舍去)，
故c=3.
(3)由正弦定理=，且b=1，a=，sin A=，得sin B==，且a>b，则角B为锐角，
故cos B=，
又sin 2B=2sin Bcos B=，
且cos 2B=1-2sin2B=1-2×=，
故sin(A+2B)=sin Acos 2B+cos Asin 2B=×+×=.
12.(14分)(2026·潍坊模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知acos C+b=0，b=c.
(1)求cos C；(6分)
(2)若△ABC的面积为，D是BC上的点，且∠ADB=，求AD的长.(8分)
解　(1)因为acos C+b=0，
所以a·+b=0，
即a2+3b2-c2=0，
因为b=c，则c=2b，
即a2+3b2-8b2=a2-5b2=0，
又a>0，b>0，故a=b，
由余弦定理可得cos C=
==-.
(2)因为cos C=-，
则sin C===，
因为S△ABC=absin C=ab=，
可得ab=，
又因为a=b，c=2b，
故a=，b=，c=，
由b=c，
得sin B=sin C=×=，
在△ABD中，
由正弦定理可得=，
故AD===.
[13题6分，14题5分，共11分]
13.(多选)(2025·漳州模拟)在△ABC中，AC=2，tan A=2，向量在向量上的投影向量为，则(　　)
A.边BC上的高为3
B.sin∠ACB=
C.·=-8
D.边AB上的中线长为
答案　ABD
解析　如图，过点C作CD⊥AB于点D，
则向量在向量上的投影向量为，
由已知=，所以AD=AB，
设AD=x，则BD=2x，又tan A=2，所以CD=2x，所以B=，
在Rt△ACD中，AC=x=2，所以x=2，
所以AD=2，BD=4，CD=4，所以AB=6，
在Rt△BCD中，易得BC==4，
所以边BC上的高为AB·sin B=3，故选项A正确；
在△ABC中，由余弦定理的推论得cos∠ACB==，
又因为∠ACB∈(0，π)，所以sin∠ACB==，故选项B正确；
·=||||cos∠ACB=2×4×=8，故选项C错误；
设AB的中点为M，则=+)，
所以=++2·)=×(20+32+2×8)=17，
则||=，即CM=，故选项D正确.
14.已知△ABC的面积S=(b2+c2)(其中b，c为△ABC的边长)，则△ABC的形状为　　　　.
答案　等腰直角三角形
解析　依题意，△ABC的面积S=(b2+c2)，
则bcsin A=(b2+c2)，即2bcsin A=b2+c2，
由于0所以0<2bcsin A≤2bc，
即0由基本不等式可知b2+c2≥2bc，
当且仅当b=c时等号成立，
所以b2+c2=2bc，b=c，所以sin A=1，A=，所以△ABC是等腰直角三角形.

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