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期末复习检测试题 2026学年初中数学人教版（2024）七年级下册
一、单选题
1．下列实数，是无理数的是（ ）
A． B． C． D．
2．3月21日是世界睡眠日，良好的睡眠状况是保持身体健康的重要基础，某初中为了解全校900名七年级学生的睡眠时间，从18个班级中随机抽取100名学生进行调查，下列说法正确的是（ ）．
A．900名七年级学生的睡眠时间是总体 B．900是样本容量
C．18个班级是抽取的一个样本 D．每名七年级学生是个体
3．在平面直角坐标系中，点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．如图，下列条件能判断的是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列命题中，是真命题的是（　　）
A．相等的角是对顶角 B．两直线平行，同位角相等
C．有理数和数轴上的点一一对应 D．的立方根是3
6．如图，将实数表示在数轴上为（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
7．随着交通安全意识的增强，某城镇居民开始积极购买头盔以保证骑行安全．某商店购进A种头盔40个和B种头盔50个共需资金5450元，A种头盔的单价比B种头盔的单价高8元．设A种头盔的单价为x元，B种头盔的单价为y元，根据题意，可列方程组（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，动点P在平面直角坐标系中按箭头所示方向运动，第1次从运动到，第2次运动到，第3次运动到，第4次运动到，…，按照这样的规律，经过第2026次运动后，点P的横坐标是（ ）
A．2531 B．2529 C．507 D．506
9．将一张长方形纸片折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，为折痕，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．已知为关于的多项式，且，其中 ，，，， ，为正整数，且．给出下列说法：
①当时，，交换任意两项的系数，得到的6个不同的多项式；
②若，则的所有系数之和为 或1；
③若 ， ，且多项式的值为的平方根，则满足条件的非正数的值有5个．
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
11．写出一个大于2的无理数__________．
12．为了解某校七年级学生对“黄河文化”校本课程的学习情况，根据以下四个步骤完成调查：
①收集数据；②整理和分析数据；③制作并发放调查问卷；④得出结论，提出建议．
你认为这四个步骤合理的先后排序为______．
13．已知关于x，y的二元一次方程组，的解满足，则m的取值范围为______．
14．如图，将一张长方形纸条折成图中的形状，若，则的度数为______．
15．嘉嘉探究线段的中点的坐标时，发现如下结论：在平面直角坐标系中，已知两点，，则线段的中点的坐标为，例如：点，，则线段AB的中点M的坐标为，即．请利用以上结论解决问题：在平面直角坐标系中，若点，，线段的中点恰好位于轴上，且到轴的距离是，则的值等于______．
16．关于x，y的方程组的解，满足，则k的取值范围是___________．
三、解答题
17．解答下列问题：
(1)计算：；
(2)解方程组：．
18．以下为小颖在解不等式组时草稿纸上所写的解不等式②的过程．
解：…第一步 …第二步 …第三步 ．…第四步
(1)小颖发现解不等式②的过程不对，她是从第______步开始出现错误的．
(2)请你完成本题的解答：
解：解不等式①，得______．解不等式②，得______．
在数轴上表示不等式①和②的解集，如图所示：
所以原不等式组的解集为______．
19．如图，三角形的三个顶点的坐标分别为，，．若将三角形向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到三角形，且点A，B，C的对应点分别是，，．
(1)画出平移后的三角形，并直接写出点的坐标；
(2)若三角形内有一点经过上述平移后的对应点为，则点的坐标为______．
(3)求出三角形的面积．
20．某市为响应“低碳环保，绿色出行”的号召，投放“公共自行车”供市民出行时租用．某校数学兴趣小组随机从七年级学生中抽取部分学生，对他们每月使用公共自行车的次数进行了调查，并把调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)本次调查共随机抽取了 名学生，在扇形统计图中“10次以下”所在扇形的圆心角的度数是 ；
(2)请补全条形统计图；
(3)若该校七年级有1200名学生，估计有多少名学生每月使用公共自行车次数是“16至20次”．
21．如图，在三角形ABC中，点D，F在BC边上，点E在AB边上，点G在AC边上，EF与GD的延长线交于点H，，．
(1)求证：．
请补全以下证明过程．
证明：∵（已知），∴（ ）．
∴______（两直线平行，内错角相等）．
∵（已知），∴______（ ）．∴（ ）．
(2)若，，求的度数．
22．某快递企业为提高工作效率，拟购买A，B两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下：
信息一：
A型智能机器人台数 B型智能机器人台数 总费用/万元
1 3 260
3 2 360
信息二：
A型智能机器人每台每天可分拣快递22万件； B型智能机器人每台每天可分拣快递18万件．
(1)分别求出A，B两种型号智能机器人的单价．
(2)现该企业准备用不超过660万元购买A，B两种型号智能机器人共10台（两种都购买），则该企业有哪几种购买方案？要使每天分拣快递的件数最多，应选择哪种购买方案？每天最多分拣快递多少万件？
23．问题情境：小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：
解方程组．
观察发现：
(1)如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．
设，，则原方程组可化为______，解关于m，n的方程组，得所以，解方程组，得______．
探索猜想：
(2)运用上述方法解方程组：；
拓展延伸：
(3)已知关于x，y的二元一次方程组的解为，则关于x，y的方程组的解是______．
24．如图，以直角的直角顶点为原点，以，所在直线为轴和轴建立平面直角坐标系，点，，并且满足．

(1)直接写出点 ，点 的坐标；
(2)如图，坐标轴上有两动点 ，同时出发，点 从点 出发沿轴负方向以每秒个单位长度的速度匀速运动，点从点出发沿 轴正方向以每秒个单位长的速度匀速运动，当点 到达点整个运动随之结束；点 的坐标是，设运动时间为 秒；是否存在 ，使与的面积相等？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由；
(3)如图，在（2）的条件下，若，点是第二象限中一点，并且平分，点 是线段上一动点，连接交于点 ，当点 在上运动的过程中，
说明的理由；
直接写出，，之间的数量关系．
25．如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标为，将线段向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度得到对应线段，连接，，．
(1)点的坐标为_____，点的坐标为_____；
(2)在轴上是否存在一点，使得三角形的面积等于三角形面积的一半？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图2，若是射线上的一个动点，连接，，当点运动时，请求出之间的数量关系．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A D D B D C B D C
1．B
【分析】无理数是无限不循环小数，根据定义对各选项逐一判断即可．
【详解】解：∵是有限小数，属于有理数，∴选项A错误；
∵ 是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数，∴选项B正确；
∵ ，2是整数，属于有理数，∴选项C错误；
∵ ，2是整数，属于有理数，∴选项D错误；
2．A
【详解】解：对于A，因为本次调查的对象是全校900名七年级学生的睡眠时间，因此总体就是900名七年级学生的睡眠时间，所以A选项符合题意；
对于B，因为样本容量是样本中包含的个体的数目，本次抽取了100名学生，样本容量为，不是，所以B选项不符合题意；
对于C，抽取的样本是100名七年级学生的睡眠时间，不是18个班级，所以C选项不符合题意；
对于D，每名七年级学生的睡眠时间是个体，不是每名七年级学生，所以D选项不符合题意．
3．D
【分析】根据各象限内点的坐标特征解答．
【详解】解：∵，，
故点在第四象限，
故选：D．
【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．
4．D
【分析】本题主要考查的是平行线的判定，利用同位角，内错角，同旁内角判定平行线是解决本题的关键．
【详解】A.和不是和这两条直线形成的内错角，所以不能判定，所以选项A不符合题意．
B.当时，不是和形成的同位角，所以不能判定，所以选项B不符合题意．
C.当时，可以判定，所以选项C不符合题意．
D.当时，可以利用同旁内角互补，判定，所以D选项正确．
5．B
【详解】解：A、对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，则此项命题是假命题；
B、两直线平行，同位角相等，则此项命题是真命题；
C、实数与数轴上的点一一对应，有理数只是实数的一部分，则此项命题是假命题；
D、因为，所以的立方根是，则此项命题是假命题．
6．D
【分析】先估计，进而得到的范围，在数轴上找到该点所在的区间即可．
【详解】解：，
，即，
实数表示在数轴上，对应的点可能是T点．
7．C
【详解】解：根据题意列方程组得．
8．B
【分析】根据题意可得每4次运动为一个循环，每个循环内横坐标增加5，纵坐标增加1，据此求出2026除以4的商和余数即可得到答案．
【详解】解：由题意得，每4次运动为一个循环，每个循环内横坐标增加5，纵坐标增加1，
∵，
∴经过第2026次运动后，点P的横坐标是．
9．D
【分析】根据折叠可得，，，，再根据平行线的性质，可得，最后计算即可．
【详解】解：由题可得，，，，
，，
，
，
，
．
10．C
【分析】根据有4个系数，交换任意两项系数，有6种方式可判断①；令，则系数和，据此可判断②；先求出 ，然后分类讨论可判断③．
【详解】解：判断①：∵有4个系数，交换任意两项系数，有6种方式，即：，
∴有6个不同的多项式，故①正确，符合题意；
判断②：∵，令，则系数和，
当为偶数时，系数之和为1，当为奇数时，系数之和为，故②正确，符合题意；
判断③：，则是小于4的正整数，即或或，．
∵，9的平方根为，
∴，
要求为非正数：
当时，，要求为非正数，即，则，解得，又是小于4的正整数，所以，此时，共1个解．
当时，，对任或或，均为负数，共3个解．
总共有个满足条件的，不是5个，因此③错误．
综上，有2个说法正确．
11．（答案不唯一）
【分析】此题主要考查了无理数的估算，其中无理数包括开方开不尽的数，和有关的数，有规律的无限不循环小数．首先2可以写成，由于开方开不尽的数是无理数，由此即可求解．
【详解】解：，大于2的无理数只要被开方数大于4即可，如（答案不唯一）．
故答案为：（答案不唯一）
12．③①②④
【分析】本题考查统计调查的一般步骤，根据统计调查的流程对四个步骤进行排序即可．
【详解】统计调查的合理流程为：先制作并发放调查问卷，再收集数据，接着整理和分析数据，最后得出结论，提出建议．
因此合理的先后排序为③①②④．
13．
【分析】得，得出，结合已知可得，据此即可求解．
【详解】解：，
得，，
∴，
∵，
∴，
解得：．
14．/59度
【详解】解：如图，
∵，
∴，
由折叠得，，
∵，
∴．
15．或
【分析】先根据中点公式表示出点的坐标，再根据题意得出点的横坐标为，纵坐标为，分别计算即可．
【详解】解：∵点，，
∴线段的中点的坐标为，
∵点位于轴上，且到轴的距离是，
∴，，
当时，
解得，
∴；
当时，
解得，
∴；
综上所述，或．
16．
【分析】先将方程组的两个方程相加，整理得到关于k的表达式，再代入不等式求解即可．
【详解】解：
由①②得：，
等式两边同除以得：，
，
，
移项解得：．
17．(1)
(2)
【详解】（1）解：
；
（2）解：，
得，
解得．
把代入①，得，
解得．
所以这个方程组的解为．
18．(1)一
(2)，
【详解】（1）解：她是从第一步开始出现错误的；
（2）解：解不等式①，得．
解不等式②，得．
在数轴上表示不等式①和②的解集，略：
所以原不等式组的解集为．
19．(1)三角形如图，
，
(2)
(3)
【分析】（1）利用平移的性质画出图形即可；
（2）利用平移的性质写出点的坐标即可；
（3）利用割补法求解即可．
【详解】（1）略
（2）解：三角形内有一点经过上述平移后的对应点为，
则点的坐标为；
（3）解：．
20．(1)200；
(2)补全条形统计图如图：
(3)该校七年级约有240名学生每月使用公共自行车次数是“16至20次”．
【分析】（1）根据统计图得到“20次以上”的人数和占比，即可求得本次调查共随机抽取学生人数；根据统计图可知“10次以下”的人数，再用乘以其占比即可得到答案；
（2）利用（1）中求得的本次调查总人数减去其它分类的学生人数得到“10至15次”人数，补全条形统计图即可；
（3）利用七年级人数乘以本次调查“10至15次”人数所占百分比即可．
【详解】（1）解：根据统计图可知，“20次以上”的人数有80人，占比，
∴本次调查共随机抽取学生人数为 （人）
根据统计图可知“10次以下”的人数为20人，
∴“10次以下”所在扇形的圆心角的度数是；
（2）解： （人），
条形统计图补全略；
（3）解：（人）
答：该校七年级约有240名学生每月使用公共自行车次数是“16至20次”．
21．(1)同位角相等，两直线平行；；；等量代换；同旁内角互补，两直线平行
(2)
【分析】（1）根据题意补全以下证明过程即可；
（2）利用平行线的性质求得，，据此求解即可．
【详解】（1）略
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，，
∴．
22．(1)A型智能机器人的单价为80万元/台，B型智能机器人的单价为60万元/台
(2)共有3种购买方案：方案一：购买A型智能机器人1台，B型智能机器人9台；方案二：购买A型智能机器人2台，B型智能机器人8台；方案三：购买A型智能机器人3台，B型智能机器人7台；该企业选择购买A型智能机器人3台，B型智能机器人7台，能使每天分拣快递的件数最多，每天最多分拣快递192万件
【分析】（1）设A型智能机器人的单价为x万元/台，B型智能机器人的单价为y万元/台，根据题意列二元一次方程组求解；
（2）设购买A型智能机器人a台，则购买B型智能机器人台，根据题意列一元一次不等式求解即可．
【详解】（1）解：设A型智能机器人的单价为x万元/台，B型智能机器人的单价为y万元/台．
根据题意，得，
解得，
答：A型智能机器人的单价为80万元/台．B型智能机器人的单价为60万元/台．
（2）解：设购买A型智能机器人a台，则购买B型智能机器人台，
根据题意，得，
解得，
∵a为正整数，
∴a的值可以为1，2，3，对应的值分别为9，8，7．
∴共有3种购买方案：
方案一：购买A型智能机器人1台，B型智能机器人9台．每天分拣快递的件数为（万件）；
方案二：购买A型智能机器人2台，B型智能机器人8台，每天分拣快递的件数为（万件）；
方案三：购买A型智能机器人3台，B型智能机器人7台，每天分拣快递的件数为（万件）．
∵，
∴该企业选择购买A型智能机器人3台，B型智能机器人7台，能使每天分拣快递的件数最多，每天最多分拣快递192万件．
23．(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）根据换元法和加减消元法可得答案；
（2）利用换元法将原方程组变形，解关于m，n的方程组，然后得到关于x，y的新的二元一次方程组，再解方程组可得答案；
（3）将所求方程组变形，然后得出，进而可得答案．
【详解】（1）解：原方程组可化为；
方程组，得；
（2）解：设，．
则原方程组可化为，
解得，
∴，
解得；
（3）解：方程组整理得，
∵关于x，y的二元一次方程组的解为，
∴，
解得．
24．(1)，
(2)存在，
(3)①证明：轴轴，
，，
又，
，
轴平分，
，
，
∴；
②
【分析】（1）利用非负数的性质求出 ， ，即可得出答案；
（2）先表示出， ，利用面积相等，建立方程求解即可得出结论；
（3）①先判断出，结合角平分线的定义可得，进而可得；
②判断出，，即可得出结论．
【详解】（1）解：，
，，
，，
，；
（2）解：由（1）知，，，
，，
由运动知，，，
，
，
，，
与的面积相等，
，
，
存在时，使得与的面积相等；
（3）①证明：略；
②解：猜想：，
理由如下：如图，过点 作交轴于 ，

∵，
∴，
，
，
即．
25．(1)
(2)存在，点的坐标为或
(3)当点在线段上时，；当点在的延长线上时，
【分析】本题主要考查了平移变换，坐标与图形，平行线的性质等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键．
（1）直接根据平移规律即可解答；
（2）先求出，再根据三角形的面积等于三角形面积的一半列方程求得，然后再根据点的坐标确定点的坐标即可；
（3）点在线段上，的延长线上两种情况，分别做辅助线，构造平行线并运用平行线的性质即可解答．
【详解】（1）解：根据题意可得，点的横坐标为，纵坐标为，即点的坐标为；点的横坐标为，纵坐标为，即点的坐标为．
故答案为：．
（2）解：存在．
由（1）可知，点到轴的距离为3，．
．
点到轴的距离为3，
．
．
点的坐标为，
点的横坐标为或．
点的坐标为或．
（3）解：如图1，当点在线段上时，过点作轴，则．
．
又，
．
如图2，当点在的延长线上时，过点作轴，则，连接．
．
又，
．
综上，当点在线段上时，；当点在的延长线上时，．
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