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山西吕梁市交城县2025-2026学年第一学期期末质量监测试题 九年级数学
一、单选题
1．剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，入选中国国家级非物质文化遗产名录．下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．将一元二次方程化为一般形式，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．若，，是反比例函数图象上的点，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，弦的长为8，圆心O到的距离，则的半径长为（ ）
A．4 B． C．5 D．
5．语文课上，同学们以“并州犹是诗故乡——唐代山西诗人群像”为主题展开研习活动．小彬和小颖计划从王维、柳宗元、白居易、王勃四位唐代山西诗人中任选一位撰写研习报告，则他们恰好选择的是同一位诗人的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度所得到的抛物线的解析式为（　　）
A． B．
C． D．
7．如图，已知，以为直径的交于点D，与相切于点A，连接．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，直线，直线、与，，分别交于点、、和点、、，若，，则的长为（ ）
A．3 B． C．6 D．9
9．已知二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，已知是边长为6的等边三角形，分别以点B，点C为圆心，以的长为半径画弧AC，弧，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．已知是方程的一个解，那么a的值为 ．
12．如图，2025年1月5日发行的第九届亚洲冬季运动会10元纪念币为30克正六边形银质纪念币，外接圆直径为40毫米，是我国首枚六边形金属纪念币，这个六边形纪念币的边长为 毫米．
13．某公司生产的桶装水在2025年7月的销售量约为20万桶，9月的销售量增长至约万桶，若设这两个月销售量的平均增长率为x，则可列方程 ．
14．如图，点A，B是反比例函数图象上的两点，轴于点C，轴于点D，连接．若点C的坐标为，，的面积为3，则的面积是 ．
15．如图，在正方形中，，点E是对角线的中点，点F在线段上，且．以F为旋转中心，将线段逆时针旋转得到，此时点G恰好落在线段上，则的长为 ．
三、解答题
16．解方程：
(1)；
(2)．
17．如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题：
(1)画出关于原点对称的，并写出点的坐标；
(2)将绕点A顺时针旋转得到，画出，并写出点的坐标．
18．如图，为厚植学生的家国情怀，某校专门举办了“国之重器·强军梦”主题国防教育展．展厅里陈列着4件等比例缩小的立体模型，分别是A东风高超音速导弹、B巨浪潜射洲际导弹、C红旗反导系统、D歼隐身舰载战斗机，学校还制作成与模型一一对应的四张小卡片，参观活动设置惊喜福利：每位同学可以从A、B、C、D四张卡片中随机抽取2张即赠送对应的2件小模型（除图案外每张卡片完全相同，背面朝上）．
(1)甲同学第一次就抽到模型A的概率是______；
(2)若按照“先抽1张不放回，再抽第2张”的方式赠送2件模型，请用列表或画树状图的方法，求乙同学抽到的2件模型中包含A的概率；
(3)甲、乙两名同学都很想拿到模型A，两人约定都从四张卡片中随机抽取1张，直接写出至少有一人抽到模型A的概率．
19．如图，在中，点在的延长线上，连接交于点．
(1)求证：；
(2)若的面积为9，，求的面积．
20．世界的面食之根就在山西．山西面食，不仅是中华民族饮食文化中的重要组成部分，也是世界饮食文化中的一朵奇葩．厨师将一定质量的面团做成拉面时，面条的总长度是面条横截面面积的反比例函数，其图象经过，两点（如图）．
(1)求与之间的函数表达式；
(2)求的值，并解释它的实际意义；
(3)某厨师拉出的面条最细时的横截面面积不超过，求这根面条的总长度至少有多长．
21．如图，为⊙O的直径，过圆上一点作⊙O的切线交的延长线于点，过点作，交于点，连接．

(1)求证：直线与⊙O相切．
(2)若，求的长．
22．点茶是宋代传统文化技艺，它的重现具有历史、文化、艺术、科学等多重价值和意义．小华在体验点茶文化时，发现倒茶时的情景（图1）可以抽象为平面图形，并建立平面直角坐标系，如图2所示，已知某种茶壶的壶嘴由线段与曲线组成，壶口为点C，曲线与茶水可视作在同一条抛物线上．若点B，C所在直线与x轴（桌面）平行并交y轴于点D，且茶碗边沿（厚度忽略不计）点E与壶口点C所在直线垂直于x轴．已知线段，线段，，茶碗的直径为，高度为．若点A相对桌面的高度时，抛物线水流恰好落在茶碗水面中心F点．
(1)求点B，点C的坐标；
(2)求图中抛物线的解析式；
(3)为展现精湛的技术，小华手持茶壶稳稳向上提起（视作向上平移），要求茶水一滴都不能洒到茶碗外，求理论上茶壶在向上平移过程中点A相对桌面的高度的取值范围．
23．【问题情境】
如图1，点E为正方形内一点，，，，将直角三角形绕点A逆时针旋转，点B，E的对应点分别为点，．
【问题解决】
(1)如图2，在旋转的过程中，点落在了线段上，求此时的长；
(2)若，如图3，得到（此时与D重合），延长交于点F，试判断四边形的形状，并说明理由；
(3)在绕点A逆时针旋转过程中，当点，，C三点共线时，直接写出线段的长度．
《山西吕梁市交城县2025-2026学年第一学期期末质量监测试题 九年级数学》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A D B A A D C B B
1．C
解析：解：A选项，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不满足题意；
B选项，是轴对称图形，不是中心对称图形，不满足题意；
C选项，既是轴对称图形，又是中心对称图形，满足题意；
D选项，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不满足题意．
故选：C ．
2．A
解析：解：，
，
故选：A．
3．D
解析：解：由题意知，，，，
，
故选：D．
4．B
解析：解：∵在中，弦的长为8，圆心O到的距离，
∴，，
在中，，
故选：B．
5．A
解析：解：王维、柳宗元、白居易、王勃四位唐代山西诗人分别用A、B、C、D表示，列表如下：
小明小颖
由表格可知，一共有16种等可能性的结果数，其中他们选择的诗人相同的结果数有4种，
∴他们选择的诗人相同的概率为，
故选：A．
6．A
解析：解：将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，
可得，
故选：A．
7．D
解析：解：∵，
∴．
∵以为直径的与相切于点A，
∴，
∴．
故选：D．
8．C
解析：解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选C．
9．B
解析：解：二次函数图象开口向下，
；
二次函数函数的对称轴，
，
二次函数的图象与轴的交点在轴负半轴上，
，
一次函数经过第二、三、四象限，
，，
，
反比例函数位于第一、三象限.
故选：B．
10．B
解析：解：过点A作交于点D，如图，
∵等边的边长为6，
∴，，
∴，
∴，
∴阴影①的面积为，
阴影②的面积为，
∴阴影部分的面积为 ．
故选：B ．
11．2
解析：解：∵是方程的一个解，
∴，
解得，
故答案为：2．
12．20
解析：解：如图所示，设这个正六边形银质纪念币的外接圆圆心为点O，连接，
∵正六边形银质纪念币的外接圆直径为40毫米，
∴毫米，
∵，
∴是等边三角形，
∴毫米，
∴这个六边形纪念币的边长为20毫米，
故答案为：20．
13．
解析：解：设这两个月销售量的平均增长率为x，
由题意得，，
故答案为：．
14．4
解析：解：，
，
，的面积为3，轴，
∴，
，
，
，
∵点A是反比例函数图象上的一点，且轴，
，
故答案为：4．
15．
解析：解：过点作于点，
∵四边形是正方形，
∴，，
又∵点E是对角线的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
由旋转得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
16．(1)，
(2)，
解析：（1）解：
解得，；
（2）解：
或
解得，．
17．(1)图见解析，
(2)图见解析，
解析：（1）解：如图所示，即为所求，则点的坐标为；
（2）解：如图所示，即为所求，则点的坐标为．
18．(1)
(2)
(3)
解析：（1）解：∵一共有4个模型，且每个模型被抽到的概率相同，
∴甲同学第一次就抽到模型A的概率是；
（2）解：列表如下：
由表格可知，一共有12种等可能性的结果数，其中乙同学抽到的2件模型中包含A的结果数有6种，
∴乙同学抽到的2件模型中包含A的概率为；
（3）解：列表如下：
甲乙
由表格可知，一共有16种等可能性的结果数，其中至少有一人抽到模型A的结果数有7种，
∴至少有一人抽到模型A的概率为．
19．(1)见解析
(2)
解析：（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
20．(1)
(2)，且其表示的实际意义为面条的总长度为时，其横截面积为
(3)
解析：（1）解：设与之间的函数表达式为：，
将代入可得：，
与之间的函数表达式为；
（2）解：点在反比例函数上，
，
解得：，
，
且其表示的实际意义为面条的总长度为时，其横截面积为；
（3）解：当时，
，
，
随增大而减小，
当厨师拉出的面条最细时的横截面面积不超过时，这根面条的总长度至少为．
21．(1)证明见解析；
(2)的长为．
解析：（1）如图，连接，

∵直线与相切与点，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，即，
又∵是半径，
∴直线与相切；
（2）设的半径为，
在中，，即，
解得：，
∴，
∴，
由（）得，
∴，
在中，，即，
∴，
解得：，
∴的长为．
22．(1)点B的坐标为，点C的坐标为；
(2)
(3)
解析：（1）解：∵，
∴可设，
在中，由勾股定理，得，
∴，
解得或（舍去），
∴，．
又∵，
∴，．
∴点B的坐标为，点C的坐标为；
（2）解：∵点B的坐标为，点C的坐标为，
∴抛物线的对称轴是直线．
∵茶碗的直径为，高度为，
∴．
设抛物线的解析式为，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为；
（3）解：设抛物线向上平移m个单位（），
∴平移后抛物线的解析式为．
当抛物线经过点时，
解得．
又∵水一滴都不能洒到茶碗外，
∴．
又∵，
∴．
∵原始高度为
∴．
∴的取值范围为．
23．(1)
(2)四边形是正方形，理由见解析
(3)2或10
解析：（1）解：在中，，，
∴，
∴在正方形中，，
∴，
∵将直角三角形绕点A逆时针旋转得到直角三角形，
∴，
∴；
（2）解：四边形是正方形，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
由旋转的性质可得，
∴四边形是正方形；
（3）解：点，，C三点共线时，如图4，
由旋转的性质可得，，
∵，
在中，，，
∴，
∴；
当点，，C三点共线时，如图5，
同理可求，
∵，
∴；
综上，线段的长度为2或10．

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