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4.7　解三角形中的最值与范围问题
一、单项选择题(每小题5分，共20分)
1.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b，a，c成等差数列，则A的最大值为(　　)
A. B. C. D.
2.(2026·秦皇岛模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a=2，B=的三角形有两个，则b的取值范围为(　　)
A.(0，2) B.(2，4)
C.(2，4) D.(2，2)
3.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=3，A=，则b的取值范围是(　　)
A.(0，2) B.(，2)
C.(，3) D.(，3)
4.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知=，则的最小值为(　　)
A.1 B.
C.4-5 D.2-2
二、多项选择题(共6分)
5.(2025·济宁模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=，且2c-b=2acos B，则下列结论正确的是(　　)
A.A=
B.△ABC外接圆的面积为π
C.△ABC面积的最大值为
D.△ABC周长的最大值为3
三、填空题(共5分)
6.(2025·成都模拟)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a=1，b=2，则B+C的取值范围是　　　　　　　.
四、解答题(共29分)
7.(14分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知acos B-bcos A-a+c=0.
(1)求B的值；(6分)
(2)若M为AC的中点，且a+c=4，求BM的最小值.(8分)
8.(15分)(2025·深圳模拟)记锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知csin B=.
(1)求B；(6分)
(2)若b=，求△ABC面积的取值范围.(9分)
4.7　解三角形中的最值与范围问题
一、单项选择题(每小题5分，共20分)
1.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b，a，c成等差数列，则A的最大值为(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　依题意b+c=2a.
则cos A==
=≥=，
当且仅当b=c时，等号成立，
又A∈(0，π)，
所以A的最大值为.
2.(2026·秦皇岛模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a=2，B=的三角形有两个，则b的取值范围为(　　)
A.(0，2) B.(2，4)
C.(2，4) D.(2，2)
答案　D
解析　在△ABC中，a=2，B=，由△ABC有两解，得
即解得2所以b的取值范围为(2，2).
3.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=3，A=，则b的取值范围是(　　)
A.(0，2) B.(，2)
C.(，3) D.(，3)
答案　B
解析　由正弦定理得=，
即b===2sin B，
又△ABC为锐角三角形，C=π-A-B=-B，
又0则0<-B<，
解得故sin B∈，
所以b=2sin B∈(，2).
4.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知=，则的最小值为(　　)
A.1 B.
C.4-5 D.2-2
答案　C
解析　因为=，
则sin B=cos Acos B-sin Asin B
=cos(A+B)=-cos C=sin，
所以C=+B，即有A=-2B，
所以B∈，
由正弦定理得=
=
=
=4cos2B+-5≥2-5=4-5.
当且仅当cos2B=时取等号，
所以的最小值为4-5.
二、多项选择题(共6分)
5.(2025·济宁模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=，且2c-b=2acos B，则下列结论正确的是(　　)
A.A=
B.△ABC外接圆的面积为π
C.△ABC面积的最大值为
D.△ABC周长的最大值为3
答案　BCD
解析　对于选项A，因为2c-b=2acos B，
由余弦定理得2c-b=2a×=，整理得b2+c2-a2=bc，
则cos A===，
又A∈(0，π)，所以A=，故A错误；
对于选项B，由正弦定理可得△ABC外接圆的半径R===1，
所以△ABC外接圆的面积为πR2=π，故B正确；
对于选项C，由b2+c2-a2=bc可得b2+c2=a2+bc=3+bc，
且b2+c2≥2bc，即3+bc≥2bc，解得bc≤3，当且仅当b=c=时，等号成立，
所以△ABC面积的最大值为×3×=，故C正确；
对于选项D，由b2+c2=3+bc可得(b+c)2=3+3bc，即bc=，
又bc≤，则≤，
解得(b+c)2≤12，即b+c≤2，当且仅当b=c=时，等号成立，
所以△ABC周长的最大值为2+=3，故D正确.
三、填空题(共5分)
6.(2025·成都模拟)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a=1，b=2，则B+C的取值范围是　　　　　　　.
答案　
解析　根据三角形三边关系可得|a-b|又cos A===，
因为函数y=x+在(1，)上单调递减，在(，3)上单调递增，
所以=+=2，
又1+=4，3+=4，
所以2≤c+<4，所以≤cos A<1，
又A为三角形的内角，
所以0四、解答题(共29分)
7.(14分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知acos B-bcos A-a+c=0.
(1)求B的值；(6分)
(2)若M为AC的中点，且a+c=4，求BM的最小值.(8分)
解　(1)由正弦定理及acos B-bcos A-a+c=0，
得sin Acos B-sin Bcos A-sin A+sin C=0，
又sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B，
∴2sin Acos B-sin A=0，
又A∈(0，π)，∴sin A>0，
∴2cos B-1=0，即cos B=，
又B∈(0，π)，∴B=.
(2)由M为AC的中点，得=+，
而a+c=4，
∴=
=++·
=c2+a2+accos∠ABC
=[(a+c)2-ac]
=(16-ac)=4-ac≥4-=3，
当且仅当
即a=c=2时等号成立，∴BM的最小值为.
8.(15分)(2025·深圳模拟)记锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知csin B=.
(1)求B；(6分)
(2)若b=，求△ABC面积的取值范围.(9分)
解　(1)因为csin B=，
由正弦定理可得sin Csin B=
==，
因为C∈，则sin C>0，
所以sin Bcos C+sin Bsin C=sin A，
又因为sin A=sin(π-B-C)=sin(B+C)
=sin Bcos C+cos Bsin C，
所以sin Bsin C=cos Bsin C，
则sin B=cos B，
因为B∈，则sin B=cos B>0，
即tan B=1，所以B=.
(2)因为C是锐角△ABC的内角，B=，
所以解得由正弦定理得
====2，
所以a=2sin A=2sin，c=2sin C，
所以S△ABC=acsin B
=sin Csin
=sin C
=sin Ccos C+sin2C=sin 2C-cos 2C+
=sin+，
由所以即S△ABC=sin+∈，
所以△ABC面积的取值范围是.

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